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第21章 一元二次方程
21.2.4
根与系数的关系
授课：
时间：
问题思考
一元二次方程 一般形式 方程的两个根 x1,x2 两根之和 x1＋x2 两根之积
x1·x2
解下列方程, 填表.
(x＋1)(x＋3)＝0
(x＋2)(x－5)＝0
(x－6)(x－4)＝0
x2＋4x＋3＝0
x2－3x－10＝0
x2－10x＋24＝0
x1＝－1,x2＝－3
x1＝－2,x2＝5
x1＝6,x2＝4
－4
3
10
3
－10
24
x2＋px＋q＝0
猜想两根之和、两根之积与p,q有何关系
验证猜想
猜想: 两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.
已知: 关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1, x2.
求证: x1＋x2＝－p, x1·x2＝q.
证明: ∵x1, x2是关于x的一元二次方程的两个根,
∴(x－x1)(x－x2)＝0,
化为一般式为x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0,
∴p＝ －(x1＋x2), q＝ x1·x2,
即x1＋x2＝－p, x1·x2＝q.
验证猜想
两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.
如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1, x2,
那么x1＋x2＝－p, x1·x2＝q.
使用结论时应注意什么？
①一元二次方程需要化为一般式, 且二次项系数为1;
②方程有两个根, 即△≥0.
典例精析
例1.求下列方程两根之和, 两根之积.
解: △＝( 6)2 4×1×( 15)＝96>0,
设方程的两个实数根为 1, 2,
则 1＋ 2＝ ( 6)＝6, 1· 2＝ 15.
(2) x2－4x＋4＝0.
解: △＝(－4)2－4×4＝0,
设方程的两个实数根为 1, 2,
则 1＋ 2＝ ( 4)＝4, 1· 2＝4.
练习1.下列方程有实数根吗 若有, 求下列方程两根之和, 两根之积.
(2) －x2＋6x－10＝0.
(1) x2－6x－15＝0;
(1) x2＋2x－8＝0;
解: △＝22－4×(－8)＝36>0,
设方程的两个实数根为 1, 2,
则 1＋ 2＝ 2, 1· 2＝ 8.
解: △＝62－4×(－1)×(－10) ＝－4<0,
∴该方程无实数根.
进一步思考
如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根为x1, x2,
那么x1＋x2＝－p, x1·x2＝q.
如果二次项系数不为1, 上述结论还成立吗
思考: 方程2x2－4x－10＝0两根之和为_____, 两根之积为_____.
分析: 方程可化为x2－2x－5＝0,
△＝( 2)2 4×1×(－5)＝24>0.
2
－5
进一步探索
一元二次方程 二次项系数化为1 两根之和x1＋x2 两根之积x1·x2
3x2＋6x－1＝0
7x2－x－7＝0
－5x2＋4x＋8＝0
根据思考, 完成填表.
ax2＋bx＋c＝0
我们如何计算它的两根之和, 两根之积
两根之和为 , 两根之积为 .
归纳总结
如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1, x2,
那么x1＋x2＝ , x1·x2＝ .
(1) “韦达定理”使用的前提条件是什么？
一元二次方程根与系数的关系
①一元二次方程需要化为一般式;
②方程有两个根, 即△≥0.
(2) 你能用求根公式验证“韦达定理”吗？
典例精析
例2.已知m,n是方程3x2＋4x－1＝0的两个根.
(1)m＋n＝____,mn＝____;
(2)求m2＋n2的值.
解: 原式 .
练习2.方程ax2－x＋1＝0的有两个根x1,x2,其中x1＝－1.
(1) 求a的值; (2) 求的值.
答案: (1) a＝－2;(2)原式＝1.
小试锋芒
练习3.若x2＋px＋q的两个实数根为－1,3,那么p＝___,q＝____.
－2
－3
练习4.若a、b是方程x2＋x 2024＝0的两个实数根, 则a2＋2a＋b的值是( ).
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
B
典例精析
例3.已知关于x的一元二次方程x2 x＋2m 4＝0有两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若方程的两根满足(x1 3)(x2 3)＝m2 1, 求m的值.
解: 由题意得△＝(－1)2－4×1×(2m－4)≥0,
解得m ≤ .
由题意得x1＋x2＝1,x1·x2＝2m－4,
∴x1x2－3(x1＋x2)＋9＝m2－1,
∴2m－4－3×1＋9＝m2－1,
即m2－2m－3＝0,
解得m1＝－1,m2＝3(舍去).
小试锋芒
练习5.已知关于x的方程x2 2x＋2k 1＝0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)设方程的两根分别是x1, x2, 且, 试求k的值.
答案: (1) k≤1;(2)k＝－.
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