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第22章 二次函数
22.1.1
二次函数
授课：
时间：
球员在投篮时,球出手后在空中飞行
受重力影响,形成的一条弧线轨迹.
喷泉喷出的水柱都会以优美的曲线汇集到水池中心.
面临多种商品选择时,分析购买不同商品的数量组合以达到最优的花费或效益.
问题思考
下列问题中, 变量之间的关系是函数关系吗
如果是, 写出下列问题中的函数解析式(不用写取值范围).
(1)魔方的边长是x cm, 表面积是y cm2;
是函数关系,
函数解析式: y＝6x2.
问题思考
(2)如图, 用长为10 m的篱笆, 一面靠墙(墙的长度超过10 m), 围成一个矩形花圃, 设矩形垂直于墙的一边长为x m, 花圃面积为S m2.
是函数关系, 函数解析式: S＝－2x2＋10x.
分析: 若垂直于墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为_________m,则花圃面积为_________m2.
(10－2x)
x(10－2x)
问题思考
(3) 某种产品现在的年产量是20t, 计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加 倍, 那么两年后这种产品的产量P将随计划所定的 的值而确定.
是函数关系,
函数解析式: P＝20x2＋40x＋20.
分析: 一年后的产量为_________t,再经过一年后的产量为_____________t.
20(1＋x)
20(1＋x)(1＋x)
问题思考
(1)这些函数解析式是一次函数吗？
y＝6x2
S＝－2x2＋10x
P＝20x2＋40x＋20
这些函数都含有一个二次项.
(2)这些函数解析式有什么共同特征？
不满足一次函数y＝kx＋b(k≠0)的形式.
问题思考
一般地, 形如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常数, a≠0)的函数, 叫做二次函数.
y＝6x2
S＝－2x2＋10x
P＝20x2＋40x＋20
y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c
一次项
二次项
二次函数的一般形式
常数项
问题思考
一般地, 形如y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常数, a≠0)的函数, 叫做二次函数.
y＝6x2
S＝－2x2＋10x
P＝20x2＋40x＋20
y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c
一次项
二次项
二次函数的一般形式
常数项
例如二次函数
二次项为____,二次项系数为___;
一次项为____,一次项系数为___;
常数项为____.
20x2
20
40x
40
20
明察秋毫
;
;
;
;
.
;
练习1.下列函数中是二次函数有___个.
3
(1)如何判断一个式子是否为二次函数
①函数解析式是整式;
②整理后自变量的最高次数是2;
③二次项系数不等于0.
(2)二次函数和一次函数有什么区别与联系
类比思考
(2)二次函数和一次函数有什么区别与联系
二次函数 一次函数
一般形式
相同点
不同点
y ＝ ax2＋bx＋c (a≠0)
y ＝ kx＋b(k≠0)
函数解析式都是整式.
自变量最高次数为2次;
二次项系数不等于0.
自变量最高次数为1次;
一次项系数不等于0.
进一步思考
(3) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中若b,c为0, 它还是二次函数吗
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y=ax2＋c
y=ax2＋bx
若b＝0
若c＝0
若b＝0且c＝0
y＝ax2
二次函数二次项系数不得为0.
典例精析
例1.已知关于x的函数.
(1) 若它是二次函数, 则m应该取哪个值？
(2) 若它是一次函数,则m应该取哪个值？
需要满足x的最高次数为2且二次项系数≠0.
需要满足x的最高次数为1且一次项系数≠0.
解: (1)由题意得m2－2＝2,m＋2≠0, 解得m＝2;
(2)由题意得m2－2＝1,m＋2≠0, 解得m＝.
小试锋芒
练习2.关于x的函数是二次函数, 则___.
2
练习3.已知函数y＝(m2 m)x2＋(m 1)x 2(m为常数).
(1)若这个函数是关于x的一次函数, 求m的值;
(2)若这个函数是关于x的二次函数, 求m的取值范围．
解: (1)m＝0;
(2)m≠0且m≠1.
典例精析
例2.如图, 用长为10 m的篱笆, 一面靠墙(墙的长度超过10 m), 围成一个矩形花圃, 设矩形垂直于墙的一边长为x m, 花圃面积为S m2.
(1) 求S与x的函数关系式;
解: S＝－2x2＋10x(0 < x < 5).
(2) 若x＝1.5m, 求花圃的面积;
当x＝1.5时, S＝－2×1.52＋10×1.5＝10.5,
∴花圃面积为10.5m2.
(3) 若花圃的面积为12.5 m2, 求x的值.
当S＝12.5时, －2x2＋10x ＝12.5,解得x＝2.5,
∴x的值为2.5m.
小试锋芒
练习4.如图, 矩形绿地的长宽各增加x m, 扩建后绿地的面积为y m2.
求y与x的函数解析式;
若扩建后的绿地面积是原来绿地面积的2倍, 求x的值.
30m
20m
x
x
解: (1)y＝x2＋50x＋600(x≥0);
(2)x＝10m.
典例精析
例3.在等边△ABC中, AB＝a, △ABC的面积为S.
A
B
C
(1) 求S与a的函数关系式;
(2) 若AB＝2, 则△ABC的面积为____;
(3) 若△ABC的面积为, 求△ABC的周长.
解: S＝(a > 0).
当S＝时, ＝,
解得a1＝, a2＝(舍去)
∴△ABC的周长为.
小试锋芒
练习5.如图, 已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm, AC与MN在同一直线上, 开始时点A与点N重合, 让△ABC以每秒2cm的速度沿NM运动, 最终点A与点M重合.
(1)求重叠部分面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数解析式, 并写出t的取值范围;
(2)当t＝5时, 求y的值;
(3)当y＝128时, 求t的值.
答案: (1) y＝2t2－40t＋200(0≤t≤10);
(2) y＝50;
(3) t＝2.
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