资源简介

(共27张PPT)
第22章 二次函数
22.1.2
y=ax2的图象与性质
授课：
时间：
知识回顾
(1)描述函数的三种方法是什么
解析式法、列表法、图象法
(2)如何画函数的图象
描点法：列表、描点、连线.
(3)二次函数的一般形式是怎样的
y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
问题探索
探索1.画出二次函数y＝x2的函数图象.
解：①列表;
②描点;
③连线.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
1
0
9
4
1
4
9
类比一次函数的图象性质，你能说说二次函数的图象性质吗？
y＝x2
性质探索
(1) 这个函数图象是什么形状？
二次函数y＝x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
(2) 函数图象开口向_____；
(3) 函数图象顶点坐标为______;
(3) 函数图象是否具有对称性？
二次函数y＝x2的图象关于y轴(即x＝0)对称.
(4) 当x＝____时, y有最____值____;
(5) 当x<0时,y随x的增大而_____;
当x>0时,y随x的增大而_____.
上
(0,0)
0
0
小
减小
增大
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
y＝x2
进一步思考
函数解析式 y=x2
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
探索1.二次函数y＝x2的函数图象与性质.
开口向上
(0,0)
关于y轴(x＝0)对称
当x＝0时, y有最小值0.
当x<0时, y随x的增大而减小;
当x>0时, y随x的增大而增大.
进一步探索: 画出y＝0.5x2和y＝2x2,
总结归纳y＝ax2(a>0)的函数图象与性质.
y＝x2
归纳总结
y＝2x2
y＝x2
y＝0.5x2
函数解析式 y=ax2(a>0)
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
探索1.二次函数y＝ax2(a>0)的函数图象与性质.
开口向上
(0,0)
关于y轴(x＝0)对称
当x＝0时, y有最小值0.
当x<0时, y随x的增大而减小;
当x>0时, y随x的增大而增大.
开口大小和a有怎样的关系
归纳总结
y＝2x2
y＝x2
y＝0.5x2
函数解析式 y=ax2(a>0)
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
探索1.二次函数y＝ax2(a>0)的函数图象与性质.
开口向上(a越大,开口越小)
(0,0)
关于y轴(x＝0)对称
当x＝0时, y有最小值0.
当x<0时, y随x的增大而减小;
当x>0时, y随x的增大而增大.
开口大小和a有怎样的关系
小组探索
探索2: 画出y＝－x2,y＝－0.5x2和y＝－2x2的函数图象,
总结归纳y＝ax2(a<0)的函数图象与性质.
①开口方向
⑤增减性
③对称性
②顶点坐标
④最值
五维分析
归纳总结
y＝－2x2
y＝－x2
y＝－0.5x2
函数解析式 y=ax2(a<0)
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
探索2.二次函数y＝ax2(a<0)的函数图象与性质.
开口向下
(0,0)
关于y轴(x＝0)对称
当x＝0时, y有最大值0.
当x<0时, y随x的增大而增大;
当x>0时, y随x的增大而减小.
开口大小和a有怎样的关系
(a越小,开口越小)
归纳总结
函数解析式 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0)
函数图象
开口方向
顶点坐标 对称性 最值
增减性
二次函数y＝ax2的函数图象与性质.
开口向上(a越大,开口越小)
(0,0)
关于y轴(x＝0)对称
当x＝0时, y有最小值0.
当x<0时, y随x的增大而减小;
当x>0时, y随x的增大而增大.
开口向下(a越小,开口越小)
当x＝0时, y有最大值0.
当x<0时, y随x的增大而增大;
当x>0时, y随x的增大而减小.
进一步归纳
a有什么作用
①决定开口方向,
a>0,开口向上;a<0,开口向下;
②决定开口大小,
|a|越大, 开口越小;
|a|越小, 开口越大;
开口大小相同,
a的值相等或互为相反数.
开口向上
(a越大,开口越小)
开口向下
(a越小,开口越小)
③决定最值,
a>0, 二次函数有最小值;
a<0, 二次函数有最大值.
小试锋芒
说一说这些抛物线的性质;
(2) 这些抛物线开口最大的是_____;开口最小的是_____.
练习1.根据以下抛物线回答问题.
① y＝5x2,
② y＝ x2,
④ y＝ x2.
③ y＝ －3x2,
②
①
典例精析
例1.已知函数为二次函数.
(1) 若其图象开口向上, 求函数的表达式, 并写出其对称轴和顶点坐标;
(2)若当x≥0时, y随x的增大而减小, 求函数的表达式.
解: 由题意得m2＋3m－2＝2,m＋1>0, 解得m＝1,
解得m＝1;
∴函数表达式为y＝2x2, 对称轴为y轴, 顶点坐标为(0,0).
由题意得m2＋3m－2＝2,m＋1<0,
解得m＝－4;
∴函数表达式为y＝－3x2.
小试锋芒
练习2.已知函数是关于x的二次函数.
(1)当m为何值时, 该函数图象的开口向下
(2) 已知函数有最小值, 且与y=nx2开口大小相同, 求y=nx2的函数解析式.
答案: (1) m＝－4;
(2) y=4x2或y=－4x2.
典例精析
例2.已知二次函数 ＝ 2函数图象经过点( 2, 8), 求此二次函数解析式.
解: 将( 2, 8)代入 ＝ 2得
×( 2)2＝ 8
解得a＝－2,
∴y＝－2x2.
练习3: 如图, 二次函数图象顶点在原点上, 求此二次函数解析式.
答案: y＝x2.
典例精析
例3.如图, 已知一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1,m)和B( 2,4).
(1)求两个函数的解析式;
解: 将点A,B代入y＝ax2得a＝1,m＝1,
将点A,B代入y＝kx＋b得k＋b＝1, －2k＋b＝4,
解得k＝－1,b＝2.
∴一次函数解析式为y＝－x＋2,
二次函数解析式为y＝x2.
(2)求△AOB的面积.
典例精析
例3.如图, 已知一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1,m)和B( 2,4).
解: 设一次函数与y轴交于点C(0,2),
∴S△AOB＝|1－(－2)|×|2－0|× ＝ 3.
(2)求△AOB的面积.
C
铅垂法
小试锋芒
练习4.如图所示, 直线l过A(4,0)和B(0,4)两点, 它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P, 若△AOP的面积为4.5.
(1)求点P的坐标;
(2)求二次函数的解析式．
答案:(1) P( , );
(2) y＝ x2.
问题思考
y＝x2
抛物线y＝x2的函数图象如图所示.
(1)当y＝1时, 的值为_______,坐标为____________,到对称轴距离为__;
1或－1
(1,1)或(－1,1)
1
(2)当y＝4时, 的值为_______,坐标为____________,到对称轴距离为__.
2或－2
(2,4)或(－2,4)
2
(3)在抛物线y＝x2上, 点(3,9)的对称点是_______.
(－3,9)
典例精析
例4.已知抛物线 ＝ 2.
(1)若点(5, )在该抛物线图象上, 则下列哪个点一定在该抛物线图象上( ).
A.(b,5) B.(－5,b) C.(b,－5) D.(5,－b)
B
(2)若a>0,点(3,y1), (2,y2),在该抛物线图象上, 则y1____y2;
分析①: 当a>0时, 开口向____, 当x>0时, y随x的增大而_____,
∵3>2,∴y1___y2.
上
增大
>
>
增减性法
典例精析
例4.已知抛物线 ＝ 2.
(2)若a>0,点(3,y1), (2,y2)在该抛物线图象上, 则y1____y2;
分析②: 构造函数图象,
由图象可得y1___y2.
>
y2
y1
2
3
>
变式: 若a>0,点(－3,y1), (－2,y2)在该抛物线图象上, 则y1____y2.
>
分析③: 当a>0时,距离对称轴越远, y的值越大.
∵|3|>|2|,∴ y1>y2.
点在对称轴同侧, 直接判断大小.
图象法
距离法
典例精析
例4.已知抛物线 ＝ 2.
(3)若a>0,点(－3,y1), (2,y2)在该抛物线图象上, 则y1____y2.
>
y2
y1
2
－3
分析: ∵该抛物线图象点(－3,y1)的对称点为______,
∵3>2,∴y1___y2.
(3,y1)
>
由函数图象或距离法亦可.
3
变式: 若a>0,点(1,y1), (－2,y2)在该抛物线图象上, 则y1____y2.
<
点在对称轴异侧, 先根据对称性变为同侧, 再判断大小.
小试锋芒
练习5.已知二次函数y＝ 2x2, 根据以下条件将y1,y2,y3按从小到大排序.
(1)点(1,y1), (2,y2), (3,y3)在该函数的图象上, 则________;
(2)点(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)在该函数的图象上,且x2(3)点(－4,y1), (7,y2), (－6,y3)在该函数的图象上, 则________.
y3y2y2距离法两种情况
增减性法、图象法
前提条件: 同侧比较大小;
注意：若点在异侧需根据二次函数对称性转化为同侧.
a>0, 距离对称轴越远值越大.
a<0, 距离对称轴越远值越小.
典例精析
例5.抛物线y＝x2的函数图象如图所示.
y＝x2
(1)当1≤x≤2时,求y的取值范围;
解: 当x>0时, y随x的增大而增大,
∴当x＝1时,y有最小值1,
当x＝2时,y有最大值4,
∴1≤y≤4.
(2)当－3 < x <－0.5时,求y的取值范围;
当x<0时, y随x的增大而减小,
∴当x＝－3时,y有最大值9,
当x＝－0.5时,y有最小值0.25,
∴0.25 < y < 9.
典例精析
例5.抛物线y＝x2的函数图象如图所示.
y＝x2
(3)当－1解: 当x＝0时, y有最小值0,
当x＝2时,y有最大值4,
∴0≤y≤4.
小雯: 当x＝－1时,y有最小值1,当x＝2时, y有最大值4, ∴ 1小雯的解法对吗 为什么？
小试锋芒
练习6.已知抛物线y＝ x2, 当 1≤x≤3时, y的取值范围是( ).
A. 1≤y≤0 B. 9≤y≤0 C. 9≤y≤ 1 D. 1≤y≤3
B
练习7.抛物线y＝ax2与直线y＝2x 3相交于点(2,b).
(1)求a与b的值;
(2)二次函数y＝ax2中, 当 2≤x≤4时, 直接写出y的最小值与最大值．
答案: (1) a＝,b＝1;
(2) 0≤y≤4.
谢 谢 观 看

展开更多......

收起↑