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(共22张PPT)
第22章 二次函数
22.1.4.1
y=ax2+bx+c的图象与性质
授课：
时间：
知识回顾
(1) 回顾二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质;
(2) 二次函数中的a,k,h有什么作用
知识回顾
a的取值 a>0 a<0
h的取值 h>0 h<0 h>0 h<0
k的取值 k>0 k<0 k>0 k<0 k>0 k<0 k>0 k<0
函数图象
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
二次函数y＝a(x－h)2＋k的函数图象与性质.
开口向上
(h,k)
关于x＝h对称
当x＝h时, y有最小值k.
当x当x>h时, y随x的增大而增大.
开口向下
当x＝h时, y有最大值k.
当x当x>h时, y随x的增大而减小.
知识回顾
y＝a(x－h)2＋k
(a≠0, a,h,k为常数)
顶点式
y＝ax2＋bx+c
(a≠0, a,b,c为常数)
一般式
我们已经知道二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质, 能否利用这些知识来讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c图象和性质
问题探索
探索1.探索二次函数y＝ x2－6x＋21的图象与性质.
能否将y＝ x2－6x＋21转化为y＝a(x－h)2＋k的形式
配方法
＝ (x2－12x)＋21
＝ (x2－12x＋36－36)＋21
＝ [(x－6)2－36]＋21
＝ (x－6)2－18＋21
＝ (x－6)2＋3
配一次项系数一半的平方.
问题探索
探索1.探索二次函数y＝ x2－6x＋21的图象与性质.
①列表;
②描点;
③连线.
x … 2 4 6 8 10 …
y … …
y＝ x2－6x＋21可以看作y＝ x2怎样平移得到 你还有其他画y＝ x2－6x＋21图象的方法吗
3
5
11
5
11
y＝x2－6x＋21
解: 配方可得y＝ (x－6)2＋3;
描点法
问题探索
探索1.探索二次函数y＝ x2－6x＋21的图象与性质.
将y＝ x2的图象先向右平移6个单位, 再向上平移3个单位.
解: 配方可得y＝ (x－6)2＋3;
还有其它的平移方法吗
平移法
y＝x2－6x＋21
y＝x2
y＝(x-6)2
将y＝ x2的图象先向上平移3个单位, 再向右平移6个单位.
问题探索
一般式 y＝ x2－6x＋21
顶点式
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
二次函数y＝ x2－6x＋21的函数图象与性质.
开口向上
(6,3)
关于x＝6对称
当x＝6时, y有最小值3.
当x<6时, y随x的增大而减小;
当x>6时, y随x的增大而增大.
y＝ (x－6)2＋3
y＝x2－6x＋21
问题探索
探索2.探索二次函数y＝－2x2－4x＋1的图象与性质.
①列表;
②描点;
③连线.
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … …
y＝－2x2－4x＋1可以看作y＝－2x2怎样平移得到 你还有其他画y＝－2x2－4x＋1图象的方法吗
3
1
-5
1
-5
y＝－2x2－4x＋1
解: 配方可得y＝－2(x＋1)2＋3;
问题探索
一般式 y＝－2x2－4x＋1
顶点式
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
二次函数y＝－2x2－4x＋1的函数图象与性质.
开口向下
(－1,3)
关于x＝－1对称
当x＝－1时, y有最大值3.
当x<－1时, y随x的增大而增大;
当x>－1时, y随x的增大而减小.
y＝－2(x＋1)2＋3
y＝－2x2－4x＋1
归纳总结
y＝ x2－6x＋21
y＝－2x2－4x＋1
y＝ (x－6)2＋3
y＝－2(x＋1)2＋3
配方法
一般式
顶点式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
配方法
将不熟悉的一般式通过配方法转化成熟悉的顶点式.
小试锋芒
练习1.抛物线y＝x2 2x＋2的顶点坐标为( ).
A. (1,1) B. ( 1,1) C. (1,3) D. ( 1,3)
A
练习2.二次函数y＝ 2x2＋4x 5的对称轴、顶点坐标分别为( ).
A. 直线x＝1, (1, 3) B. 直线x＝ 1, ( 1, 3)
C. 直线x＝1, (1,3) D. 直线x＝ 1, ( 1,3)
A
顶点坐标为 .
进一步探索
探索3.二次函数(为常数)的图象与性质.
配方法
,
配一次项系数一半的平方.
,
,
,
.
对称轴为 ;
决定开口方向.
归纳总结
函数解析式 (一般式) (顶点式)
a的取值 a>0 a<0
函数图象
开口方向
顶点坐标
对称性
最值
增减性
开口向上
开口向下
(,)
关于对称
当时, y有最小值.
当时, y有最大值.
当时, y随x的增大而减小;
当时, y随x的增大而增大.
当时, y随x的增大而增大;
当时, y随x的增大而减小.
典例精析
例1.已知抛物线y＝3x2＋2x.
(1) 求抛物线的开口方向, 对称轴和顶点坐标;
解: 由题意得a＝3,b＝2,c＝0;
∵a>0,∴开口向上;
, .
∴对称轴为顶点坐标为( , ).
(2) 求抛物线与x轴的交点坐标.
解: 令y＝0,得3x2＋2x＝0,
解得x1＝0, x2＝,
∴交点坐标为(0,0), ( ,0).
小试锋芒
练习3.写出下列抛物线的开口方向, 对称轴和顶点坐标.
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
开口向下
开口向下
开口向上
x＝－1
x＝2
x＝4
(－1,1)
(2,0)
(4,－5)
小试锋芒
练习3.写出平移后的函数解析式.
解析式 向上平移1个单位 向下平移3个单位
你有什么发现？
一般式上下平移时, c的值上加下减.
小试锋芒
练习3.写出平移后的函数解析式.
解析式 向左平移3个单位 向右平移1个单位
你有什么发现？
一般式左右平移时, 先化为顶点式, 再平移(左加右减).
小试锋芒
练习5.已知二次函数y＝ax2 2ax 1(a<0)的图象经过点A( 1.5,y1)和点B(2,y2),
则y1__ y2.
<
练习4.把二次函数y＝x2 4x 1的图象向左平移3个单位, 再向上平移2个单位后, 得到的图象所对应的二次函数表达式为( ).
A. y＝x2＋2x＋3 B. y＝(x 1)2＋3 C. y＝x2 2x 3 D. y＝x2＋2x 2
D
小试锋芒
练习6.已知y＝ x2＋6x 3, 当 1≤x≤4时, y的取值范围为__________.
－10≤y≤6
练习7.若抛物线y＝x2 (m 2)x 2m的顶点在y轴上, 则m＝__.
2
大展身手
练习8.已知二次函数y＝x2 4x＋m.
(1)若二次函数y＝x2 4x＋m的图象与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧), 且AB＝2, 求m的值;
(2)若对于每一个x值, 它所对应的函数值都不小于1, 求m的取值范围．
答案: (1) m＝3;
(2) m≥5.
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第22章 二次函数
22.1.4.2
y=ax2+bx+c拓展
授课：
时间：
知识回顾
(1) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)如何化为顶点式
(2) 顶点式的对称轴, 顶点坐标是什么
通过配方可得: .
顶点坐标为 .
对称轴为 ;
(3) 若不考虑顶点坐标的位置, 对称轴的位置有几种情况
对称轴在y轴上(x＝0), 在y轴右侧(x>0) , 在y轴左侧(x<0).
问题探索
探索1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象.
x
y
O
顶点式: .
①当对称轴在y轴时:
对称轴为,
∵a>0,∴b＝0.
问题探索
探索1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象.
x
y
O
顶点式: .
②当对称轴在y轴右侧时:
对称轴为,
∵a>0,∴b<0.
问题探索
探索1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象.
x
y
O
顶点式: .
②当对称轴在y轴左侧时:
对称轴为,
∵a>0,∴b>0.
归纳总结
探索1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象.
顶点式: .
x
y
O
x
y
O
x
y
O
a>0,b＝0
a>0,b<0
a>0,b>0
问题探索
探索2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象.
顶点式: .
x
y
O
x
y
O
x
y
O
a<0,b___0
a<0,b___0
a<0,b___0
=
>
<
归纳总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质.
x
y
a>0,b＝0
x
y
a>0,b<0
x
y
a>0,b>0
x
y
x
y
x
y
a<0,b＝0
a<0,b>0
a<0,b<0
a,b有什么关系
a>0,开口向上; a<0, 开口向下.
对称轴在y轴上,b＝0.
对称轴在y轴左侧,a,b同号;
对称轴在y轴右侧,a,b异号;
问题探索
探索3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(1)若x＝0,则y＝___,则二次函数与y轴的交点坐标为_____;
(2)若不考虑顶点坐标与对称轴的位置, 二次函数与y轴的交点位置有几种情况
c
(0,c)
3种, 交于原点, 与y轴正半轴相交, 与y轴负半轴相交.
问题探索
探索3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
二次函数与y轴的交点坐标为(0,c).
x
y
O
x
y
O
x
y
O
c=0
c>0
c<0
交点在原点
交点在y轴正半轴
交点在y轴负半轴
小试锋芒
练习1.根据下列二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象, 判断a,b,c的正负.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
a__0, b__0, c__0
>
<
>
a__0, b__0, c__0
>
>
=
a__0, b__0, c__0
<
<
<
典例精析
例1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝ax＋c(a≠0)在同一直角坐标系内的图象可能是( ).
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
A
小试锋芒
练习2. 在同一直角坐标系中, 直线y＝ax＋1与二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象可能是( ).
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
1
1
1
1
B
进一步思考
x
y
O
探索4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,与x轴交于(1,0),(3,0).
1
-1
(1)根据图象, 当x＝1时, 探索y的值;
令x＝1,得y＝a＋b＋c＝0.
(2)若x＝－1呢 x＝2呢 x＝－2呢
令x＝－1,得y＝a－b＋c>0;
令x＝2,得y＝4a＋2b＋c<0;
令x＝－2,得y＝4a－2b＋c>0.
3
当二次函数中给定x的值时, 可根据图象判断a,b,c组成的代数式的正负.
典例精析
例2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示, 下列结论:
①abc＞0;
②2a－b＜0;
③4a－2b＋c＜0;
④(a＋c)2＜b2.
其中正确的是_________(填序号).
x
y
O
1
-1
-2
①②③④
小试锋芒
练习3.对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数, 且a≠0)如图所示, 小雯同学得出了以下结论:
①abc<0,
②b2>4ac,
③4a＋2b＋c>0,
④3a＋c>0,
⑤a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数),
⑥当x< 1时, y随x的增大而增大.
其中正确的是_________(填序号).
②④⑤
小试锋芒
练习4.已知a>b>c, 且a＋b＋c＝0, 则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是下列图象中的( ).
A
B
C
D
C
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