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(共18张PPT)
第24章 圆
24.1.4.1
圆周角定理
授课：
时间：
问题思考
甲
足球框
运动员甲直接射门好 还是传给乙, 让乙来射门好
乙
问题思考
C
A
B
O
(1) 连接OA,OB, 则∠AOB是什么角
顶点在☉O上, 角的两边分别交☉O于A、B两点.
(2) ∠C的顶点和边有哪些特点
∠AOB是圆心角.
探索新知
顶点在圆上, 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
判断下列角是否为圆周角
C
A
B
O
如图, ∠C是圆O的圆周角.
思考: 圆周角应满足什么条件
①角的顶点在圆上; ②角的两边都与圆相交.
圆周角的两个要素:
探索新知
如图, ∠C是圆O的圆周角.
C
A
B
O
(1)∠AOB所对的弦是_____,所对的弧是____;
∠C所对的弦是_____,所对的弧是____;
(2) 同弧所对的圆心角和圆周角有什么区别与联系？
弦AB
弦AB
(3)你还能画出所对的其它圆周角吗 有多少个？
这些圆周角与圆心O有哪些位置关系
圆心角 圆周角
区别
联系
顶点在圆心
顶点在圆上
角的两边都与圆相交.
提出猜想
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心O在∠C一条边上
圆心O在∠C外部
(3)量一量∠AOB,∠C的度数, 猜想∠AOB,∠C的数量关系.
数量关系: ∠C ＝ ∠AOB,
文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
A
B
O
圆心O在∠C内部
验证猜想
猜想: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
证明: ∵OB=OC,
∴∠B＝∠C,
∵∠AOB＝∠B＋∠C,
∴∠AOB＝2∠C，
即∠C＝∠AOB.
C
A
B
O
(4)当圆心O在∠C一条边上时, 如何证明∠C＝∠AOB
(5)当圆心O在∠C内部或外部时, 如何证明
验证猜想
C
A
B
O
C
A
B
O
圆心O在∠C一条边上
圆心O在∠C外部
C
A
B
O
圆心O在∠C内部
猜想: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
D
得出结论
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
C
A
B
O
符号语言:
∵,
∴∠C＝∠AOB(∠AOB＝2∠C).
练习1.如右图, 填空.
(1)若∠AOB＝50°, 则∠C＝____;
(2)若∠C＝26°, 则∠AOB ＝____.
25°
52°
典例精析
例1.如图, 圆O的直径CD⊥AB, 垂足为M,连接OA,BC, 若∠C＝30°, 求∠AOD.
解:连接OB,
∵ ＝,
∴ ∠BOD＝2∠C＝60°,
∵直径CD⊥AB,
∴ ＝,
∴∠AOD＝∠BOD＝60°.
等弧所对的圆心角与圆周角有什么关系
同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
小试锋芒
练习2.如图, 点A, B, C都在⊙O上.若∠AOB＝50°, ∠B＝55°, 求∠A.
答案:∠A＝30°.
进一步探索
如图, 在圆O中, ∠O＝60°.
解: ∠C1＝∠C2＝∠C3＝ ∠O＝30°.
(1)∠C1, ∠C2, ∠C3所对的弧是_____;
(2)如何求∠C1, ∠C2, ∠C3的度数
(3)同弧所对的圆周角有怎样的数量关系？
等弧有这样的数量关系吗？
得出结论
圆周角定理的推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等.
符号语言:
∵,
∴∠C1＝∠C2=∠C3 .
小试锋芒
练习3.如图, A,B,C,D是圆O上的四个点, 连接AB,BC,CD,AD,AC,BD.
说一说图中有哪些相等的角
答案: 对应的圆周角: ∠6＝∠3,
对应的圆周角: ∠1＝∠4,
对应的圆周角: ∠2＝∠7,
对应的圆周角: ∠5＝∠8.
典例精析
例2.如图所示, ⊙O中, 弦AB与CD相交于点E, AB＝CD, 连接AD, BC.
求证: (1) ＝ ; (2)AE＝CE.
证明:(1)∵AB＝CD,
∴ ,
∴ ,
即 .
(2)∵,
∴∠D＝∠B,
∵AD＝BC,∠AED＝∠CEB,
∴△AED≌△CEB(AAS),
∴AE＝CE.
小试锋芒
练习4.如图, AB是⊙O的直径, CD是⊙O的一条弦, 且CD⊥AB于点E.
(1)求证: ∠BCO＝∠D;
(2)若CD＝, OE＝1, 求⊙O的半径.
答案:(1) 证明略; (2) 半径为3.
问题回顾
甲
足球框
运动员甲直接射门好 还是传给乙, 让乙来射门好
乙
因为甲的射门角度比乙小, 所以传给乙, 让乙来射门更好.
谢 谢 观 看

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