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北师版八年级数学上册第二、三、四章综合检测试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．25的算术平方根是（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
【答案】A
【详解】∵，
∴25的算术平方根是5．
故选A．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为，，所以点在第四象限．
【详解】解：，，
点在第四象限．
故选：D．
3．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，1），则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【答案】B
【分析】把（2，1）代入y=kx中即可计算出k的值．
【详解】解：把（2，1）代入y=kx
得：2k=1，
解得：k=．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查二次根式加减乘除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意；
故选：D
某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如下表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，
则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是（ ）
凳子的数量n（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度h（厘米） 52 57 62 67
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数关系式．由表格中的数据可知，每增加一个凳子，增加的高度是5厘米，据此作答即可．
【详解】解：由表格中的数据可得，
，

由此，凳子按图中的方式叠放在一起，凳子总高度与数量满足的函数关系，
故选：D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上
B．已知点，，则轴
C．若满足，则点P在x轴上
D．点一定在第二象限
【答案】C
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
【详解】A．若，则x，y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，原说法正确，故此选项不符合题意；
B．点P，Q的纵坐标相等，∴轴，原说法正确，故此选项不符合题意；
C．若满足，则点P在x轴或y轴上，原说法不正确，故此选项符合题意；
D．，，点一定在第二象限，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C
如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）
之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下：
甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距；
乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇；
丙：嘉嘉的速度比淇淇慢．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【答案】C
【分析】本题考查通过函数图像获取信息，熟练掌握通过函数图像获取信息是解题关键．根据函数图像的意义解答．
【详解】解：①从图中可以看出，时，，，，即起跑前嘉嘉、淇淇相距，正确；
②从图中可以看出，时，，时，，8秒后嘉嘉超过了淇淇，正确；
③从图中可以看出，，，，
即嘉嘉的速度比淇淇快，错误．
故选C．
8．一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
B、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
C、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意；
D、如图所示：
假设①的表达式为，则，
，
对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意；
故选：D．
随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，
它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，
聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发
C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象的分析，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象结合速度、路程、时间之间的关系，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、从慧慧出发直至送餐结束，共需，故A正确，不符合题意；
B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B正确，不符合题意；
C、聪聪的速度为，故C正确，不符合题意；
D、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故D错误，不符合题意，
故选：D．
10．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个， 第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解一次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键，根据计算归纳总结出规律，第个等边三角形的边长为是解决问题的难点．先求出，，，则，，根据等边三角形性质得，则，在中，由勾股定理得，则第1个等边三角形的边长为，再分别计算出，，则，在中，得，则第2个等边三角形的边长为，同理第3个等边三角形的边长为，，依次类推，第个等边三角形的边长为，由此可得第2024个等边三角形的边长．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
在中，由勾股定理得：，
，则，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
即第1个等边三角形的边长为：，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
在中，，，
，
即第2个等边三角形的边长为：，
同理：第3个等边三角形的边长为：，
，依次类推，第个等边三角形的边长为：，
第2024个等边三角形的边长等于．
故选：B．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．比较大小： （填“”，“”或“”）．
【答案】
【分析】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
12．若则， ．
【答案】-1
【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】解：∵，
∴a-1=0，b+2=0，c-3=0，
∴a=1，b=-2，c=3，
∴．
13.平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴上点坐标的特征熟练掌握轴上点坐标的横坐标为是解题的关键．
由点在轴上，可得, 计算求解，进而可得点的坐标
【详解】点在轴上，
解得．
在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴
不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．
机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，
将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克，
∴，
故答案为：．
如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，
沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，由一次函数与坐标轴的交点求得点A和点B，即可求得对应的长度，根据折叠有和，利用勾股定理即可求得点M的坐标．
【详解】解：由一次函数得：当时，；当时，；
则点，，
即，
∴，
由折叠可得；，，
∴，
设，则，
∵,
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
故答案为：．
如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，
按此作法进行下去，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键．
根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点、，探究规律利用规律即可解决问题．
【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，
，
在中，，
，
∴点的坐标为，
，
在中，，
，
∴点的坐标为，
同理，可得出：点的坐标为，
由此可知的坐标为，
故点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各数分别填入相应的集合里：
，，，，，，
（1）负数集合： { }；
（2）非负整数集合：{ }；
（3）无理数集合： { }．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由实数可分为：正实数， 负实数，从而可得答案；
（2）由非负整数分为正整数与 从而可得答案；
（3）由无理数的定义：无限不循环小数，从而可得答案.
【详解】解：（1）负数集合：；
（2）非负整数集合：；
（3）无理数集合：
故答案为：；；.
18．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查的是利用平方根的含义，立方根的含义解方程；
（1）把方程化为：，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）由，再利用立方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：或．
（2）解：，
∴，
∴．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式计算求解即可；
（3）先计算乘除，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的边AB的位置如图所示．
（1）点A坐标为 　 　；点B坐标为 　 　；
（2）若点C的坐标为（﹣1，4），请在图中画出△ABC；
（3）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（4）直接写出点C1的坐标为 　 　 ．
【答案】（1）（-3，1），（1，3）；（2）△ABC为所求；见详解（3）△A1B1C1为所求；见详解（4）（-1，-4）．
【分析】（1）根据网格点A、B的位置即可写出其坐标；
（2）在平面直角坐标系中描点C，顺次连结AB、BC、CA即可；
（3）根据轴对称性质求出点A1（-3，-1），B1（1，-3），C1（-1，-4），在平面直角坐标系中描点A1（-3，-1），B1（1，-3），C1（-1，-4），顺次连结A1B1， B1C1，C1A1即可；
（4）直接写出点C1坐标即可．
【详解】解：（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴根据网格点A、B的位置其坐标分别为A（-3，1），B（1，3），
故答案为（-3，1），（1，3）；
（2）在平面直角坐标系中描点C（-1，4），
顺次连结AB、BC、CA，
则△ABC为所求；
（3）关于x轴对称点的坐标特征为，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∵A（-3，1），B（1，3），C（-1，4），
∴点A1（-3，-1），B1（1，-3），C1（-1，-4），
在平面直角坐标系中描点A1（-3，-1），B1（1，-3），C1（-1，-4），
然后顺次连结A1B1， B1C1，C1A1，
则△A1B1C1为所求；
（4）点C1的坐标为（-1，-4）．
故答案为（-1，-4）．
21．已知点，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)在（2）的条件下，直线轴，且，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键．
（1）y轴上的点的横坐标为0，从而可求得m的值，则问题可解；
（2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据题意解答即可．
【详解】（1）解：点在轴上，
（2）解：点的纵坐标比横坐标大5，
解得，
点的坐标为；
（3）解：，直线轴，
，
22．观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
按上面规律填空：_________________；
(2) 利用以上规律计算：；
(3) 求的值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算，
（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果；
解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
【详解】（1）解：，
故答案为：；；；
（2）
；
（3）
．
在庆祝中国成立75周年之际，某学校组织学生绘制以“我爱祖国”为主题的手抄报．
学校需要为学生购买一些绘画工具，有两个商场可以选择，每套绘画工具标价均为30元．
甲商场的优惠条件是：每套均按标价的8折销售；乙商场的优惠条件是：如果一次购买10套以上，
超过10套的部分按标价的6折销售．设学校需购买套绘画工具时，
甲商场收费为元，乙商场收费为元．
分别求出，与x之间的关系式；
当甲、乙两个商场的收费相同时，所购买绘画工具为多少套
如果学校有50名学生参加活动，每人一套绘画工具，学校应选择哪个商场更优惠 请说明理由．
【答案】(1)，
(2)20套
(3)学校应选择乙商场更优惠，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意写出函数关系式是解题的关键．
（1）分别根据“甲商场收费折扣每套绘画工具标价购买绘画工具的套数”和“乙商场收费每套绘画工具标价折扣每套绘画工具标价（购买绘画工具的套数”分别写出，与之间的关系式即可；
（2）当时，解方程求出的值即可；
（3）将分别代入，与之间的关系式，求出对应的函数值并比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，，，
与之间的关系式为，．
（2）解：，
解得．
答：当甲、乙两个商场的收费相同时，所购买绘画工具为20套．
（3）解：学校应选择乙商场更优惠．理由如下：
当时，，，
，
学校应选择乙商场更优惠．
24．阅读下列材料，回答问题
在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，
我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：
① 若，则直线的斜率；
② 若直线：，直线：，
则当，时，；当时，直线；
我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题：
若直线l经过点
如图1，直线l的斜率 ；
如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且．
① 连接，试探究直线与直线有何位置关系；
② 求的面积；
(3) 在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，
若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；
(3)或
【分析】题目主要是新定义题意，考查一次函数的性质，
（1）直接根据题意求斜率即可；
（2）①先确定点，，然后求出，依据题意即可得出结果；②根据题意确定直线的解析式，然后得出，结合图形求三角形面积即可；
（3）根据题意分两种情况：①当时，②当时，结合题意利用当时，直线，即可求解；
理解题意是解题关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）①∵点D是y轴正半轴上的点且，过点作轴于C，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
∴，
当时，，
如图所示：
，
∴的面积为：；
（3）设点，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分两种情况：①当时，
∵，
∴，
根据题意得，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∵，
∴，
根据题意得，
∴，
解得：；
∴；
综上可得：或 ．
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北师版八年级数学上册第二、三、四章综合检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．25的算术平方根是（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．
2．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，1），则k的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如下表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，
则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是（ ）
凳子的数量n（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度h（厘米） 52 57 62 67
A． B． C． D．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上
B．已知点，，则轴
C．若满足，则点P在x轴上
D．点一定在第二象限
如图，射线，分别表示嘉嘉和淇淇两名同学运动路程（米）与运动时间（秒）
之间的函数图像，根据函数图像三人的说法如下：
甲：开始时，嘉嘉和淇淇两人相距；
乙：8秒后嘉嘉超过了淇淇；
丙：嘉嘉的速度比淇淇慢．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
8．一次函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，
它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，
慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，
聪聪和慧慧行走的路程分别为关于x的函数图象如图所示，
则下列说法不正确的是（ ）
A．从慧慧出发直至送餐结束，共需 B．慧慧比聪聪晚出发
C．聪聪的速度为 D．客人距离厨房门口
10．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个， 第3个，…则第2024个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．比较大小： （填“”，“”或“”）．
12．若则， ．
13.平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ．
在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴
不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．
机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，
将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 ．
如图，一次函数的图象与x轴、y轴交点分别为A、B两点，M是上一点，
沿直线对折，使B刚好落到x轴上的处，则点M的坐标是 ．
如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，
以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，
按此作法进行下去，点的坐标为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．把下列各数分别填入相应的集合里：
，，，，，，
（1）负数集合： { }；
（2）非负整数集合：{ }；
（3）无理数集合： { }．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的边AB的位置如图所示．
（1）点A坐标为 　 　；点B坐标为 　 　；
（2）若点C的坐标为（﹣1，4），请在图中画出△ABC；
（3）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（4）直接写出点C1的坐标为 　 　 ．
21．已知点，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)在（2）的条件下，直线轴，且，直接写出点Q的坐标．
22．观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
按上述规律，回答以下问题：
按上面规律填空：_________________；
(2) 利用以上规律计算：；
(3) 求的值．
在庆祝中国成立75周年之际，某学校组织学生绘制以“我爱祖国”为主题的手抄报．
学校需要为学生购买一些绘画工具，有两个商场可以选择，每套绘画工具标价均为30元．
甲商场的优惠条件是：每套均按标价的8折销售；乙商场的优惠条件是：如果一次购买10套以上，
超过10套的部分按标价的6折销售．设学校需购买套绘画工具时，
甲商场收费为元，乙商场收费为元．
分别求出，与x之间的关系式；
当甲、乙两个商场的收费相同时，所购买绘画工具为多少套
如果学校有50名学生参加活动，每人一套绘画工具，学校应选择哪个商场更优惠 请说明理由．
24．阅读下列材料，回答问题
在一次函数中，x的系数k与其图象的倾斜方向与倾斜程度有关，
我们把k叫做直线的斜率，关于斜率，有以下结论：
① 若，则直线的斜率；
② 若直线：，直线：，
则当，时，；当时，直线；
我们可以直接利用斜率来解决许多关于直线位置关系的问题：
若直线l经过点
如图1，直线l的斜率 ；
如图2，过点作轴于C，若点D是y轴正半轴上的点且．
① 连接，试探究直线与直线有何位置关系；
② 求的面积；
(3) 在y轴上是否存在一点M，使是以为直角边的直角三角形，
若有，请直接写出所有符合要求的点M的坐标，若无，请说明理由．
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