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湖北省孝感市孝南区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）．
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．无法确定
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作”的方式进行学习，值周班长小兵每周对各小组合作学习的情况进行综合评分，下表是其中一周的评分结果．
组别 一 二 三 四 五 六 七
分值 90 96 89 90 91 85 90
“分值”这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95
5．若，，则函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
6．将一次函数的图象向下平移4个单位长度后的图象解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
8．如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
9．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点P．则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为 ．
12．如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．

13．若函数，则当自变量时，函数值 ．
14．如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点处，若，，则 ．
15．如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则的面积为 ．
三、解答题
16．计算：．
17．已知，，求代数式的值．
18．如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．
求证：．
19．每年的4月15日是我国全民国家安全教育日，某中学为了解七年级学生对“国家安全法”知识的掌握情况，对七年级A，B两个班进行了“国家安全法”知识测试，满分10分，测试成绩都为整数，测试成绩不低于9分的为优秀．
【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，随机从A，B两个班各抽取10名学生的测试成绩．
【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两个班级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
A班 10
B班 p 9
根据以上信息，解答下列问题：
(1)_____，______；并补全条形统计图；
(2)A班共有50人参加测试，估计A班测试成绩优秀的有多少人？
(3)请从众数和方差这二个统计量中任意选一个，对两个班的测试成绩进行评价．
20．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．
（1）请你写出这一结论：　 　，并给出验证过程；
（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．
21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
22．国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：
水果单价 甲 乙
进价（元/千克）
售价（元/千克） 20 25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．
(1)探究猜想：如图1，当点D在线段上时．
①与的位置关系为_______；
②之间的数量关系为：________；
(2)深入思考：如图2，当点D在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段的延长线上时，正方形对角线交于点O，若，，求长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C．
(1)求点A、B两点的坐标；
(2)若已知的面积为40．
①求点C的坐标及直线的解析式；
②点P是平面内一点，且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，已知D是的中点，若E是直线上一点，且，求点E的坐标；
参考答案
1．C
解：选项A：，根指数为2，但被开方数的正负未知．若，则为二次根式；否则无意义．因题目未限定的范围，无法确定，故排除．
选项B：，根指数为2，但被开方数为（负数），在实数范围内无意义，故排除．
选项C：，根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式定义，故正确．
选项D：，根指数为3（三次根式），不符合二次根式的根指数要求，故排除．
故选：C
2．B
如图，连接AQ，
∵，分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵为定点，
∴的长不变，
∴的长不变，
故选：
3．B
【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误.
故选：B.
4．B
解：将数据从小到大排列为：85，89，90，90，90，91，96，中位数为第4个数，即90；
数据中90出现3次，次数最多，故众数为90；
故选：B．
5．B
解：∵，，
∴的图象在一、三、四象限，
故选B．
6．A
解：将一次函数的图象向下平移4个单位长度后的图象解析式为：
，
故选：A．
7．D
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
8．A
解：根据函数图象可知，当时，，
即不等式的解集为，
故选：A．
9．D
根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；
因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,
所以在均匀注水的前提下是先快后慢；
故选D.
10．C
解：在正方形中，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，故①正确；
，故②错误；
∵，
∴，，
在中，，
∴，故③正确；
由①全等可得四边形的面积与面积相等，
∴正方形面积是四边形的面积为的4倍，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故选：C．
11．（答案不唯一）
解：∵正比例函数（是常数，），随的增大而减小，
∴，
∴的值可以取（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：在中，，，
，
，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
，
故答案为：．
13．3
解：当自变量时，
函数值．
故答案为：3
14．4
解：∵四边形是矩形，
，
∵点是边的中点，且，
，
根据折叠的性质可知，，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为： 4 ．
15．
解：如图所示，作BE⊥AD，垂足为E，
在下图中标注点M、N，且M（6,6），N（12,10），
当点P从点A运动到点B时，对应于OM线段，
∴AB=x=6，
当点P从点B运动到点D时，对应于曲线MN，
∴AB+BD=x=12，
∴BD=6，
当点P到点D时，对应于图中的点N，
∴AD=AP=y=10，
在 ABD中，
AB=BD=6，AD=10，BE⊥AD，
∴AE=DE=5，
在Rt ABE中，
，
∴平行四边形的面积为：，
故答案为：．
16．2
解：原式
．
17．17
解：，，
，，
原式．
18．见解析
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
19．(1)20，9，图见解析；
(2)25人；
(3)见解析．
（1）解：，则，
∵抽取了 10 名学生的测试成绩，
∴中位数为第 5，6 名学生的平均成绩，
6分、7分和8分共人，
9分人，
∴第 5，6 名学生的成绩都是9分，
，
∴，
A班9分人，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：A班得9分人数为1人，得10分人数为4人，
A班的优秀率为：，
估计A班测试成绩优秀的有：（人）；
（3）解：从众数来看：样本中A班得10分人数为4人，B班得9分人数是4人，故A班满分人数比B班多；
从方差来看：B班成绩波动较大，这说明B班的成绩比A班稳定．
20．（1）；（2）29．
解：（1）结论：．
验证：阴影部分的面积，
阴影部分的面积=，
，
即．
故答案为：．
（2）如图，连接AC，
∵∠B＝∠D＝90°
∴，，
又∵，，，，
∴，
又∵甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17
∴，
∴．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC．
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF．
∴AF=BC．
∵在Rt△AFE和Rt△BCA中，AF=BC，AE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL）．
∴AC=EF．
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD．
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．
∴EF//AD．
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD．
∴四边形ADFE是平行四边形．
22．（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元
解：（1）由题意可知：
，
解得：x=16，
经检验：x=16是原方程的解；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，
由题意可知：
y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100-m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，
∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
23．(1)①；②；
(2)不成立，正确结论为：，证明见解析；
(3)．
（1）解：①∵四边形是正方形，
，
，
，
即：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：图2中，结论①成立，结论②不成立，正确结论为：；
证明：在正方形中，，
，
，
在与中，，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
故结论①仍然成立；
，
，
，
，
故结论②不成立，正确结论是：；
（3）解：在等腰直角中，，
，
，
，
，
同理：，
，
，
在中，，
在正方形中，，
在中，．
24．(1)；
(2)①；②或或；
(3)或．
（1）解：令，得，
令，得，
∴
（2）①设点，则
∴，
解得
∴；
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
②∵，
∴
当为边时，
如图，当四边形是平行四边形时，
∴且，
∵，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，
同理可得；
当为对角线时，
如图，此时四边形是平行四边形，
连接交于N，作交于M，
由平行四边形的性质可知，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或；
（3）如图，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点E、作交于点G，交于点H，
∵，
∴
∵点D是直线的中点，轴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴，E、均为所求，
在和中
∴（）
设
∴，，
∴横坐标为：，纵坐标为：，
∴，
把代入直线中得：，
∴，
∴，，
即点E的坐标为或．

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