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第三章 指数运算与指数函数--高中数学北师大版必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．函数是指数函数，则有( )
A.或 B. C. D.且
2．已知,则( )
A. B. C. D.
3．若函数（,且）的图象恒过定点A,则A的坐标为( )
A. B. C. D.
4．若,,,则( )
A. B. C. D.
5．已知函数（，）在其定义域上递减，则函数( )
A.在上递增，在上递减 B.在上递减，在上递增
C.在上递减，在上递增 D.在上递增，在上递减
6．若函数和都是指数函数，则( )
A. B.1 C.9 D.8
7．函数的值域为( )
A. B. C. D.
8．函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设,,,则( )
A. B. C. D.
10．已知定义在R上的单调函数,满足,,,则下列说法正确的是( )
A. B.可能是单调递减函数
C.为奇函数 D.若,则
11．已知函数，，则，满足( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．变量y随变量x变化的数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6
y 2 4 8 16 32 64
现有三种函数模型:①,②,③最符合上表变化规律的函数模型序号是__________.
13．函数（，且）的图象必经过点__________.
14．函数的图象恒过定点________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．比较下列各组数中两个数的大小：
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
16．已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）讨论在区间上的最小值.
17．回答下面两个题：
(1)化简：;
(2)若,求下列各式的值：
①;
②
18．（1）求值:.
（2）若,求的值.
19．（1）计算：；
（2）已知且，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：由指数函数的概念，得且，解得.故选B.
2．答案：D
解析：.
故选:D
3．答案：D
解析：因为,所以函数的图象恒过定点.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,,
所以,因为,,
所以,所以.
故选:D.
5．答案：C
解析：由解得，即函数的定义域为，
因为在其定义域上递减，所以，当时，单调递增，单调递减，所以单调递减；当时，单调递减，单调递减，所以单调递增.故选C.
6．答案：D
解析：根据题意得解得，则.故选D.
7．答案：A
解析：易知为减函数,
所以.
所以函数的值域为,
故选：A.
8．答案：B
解析：令，则的定义域为，且，为奇函数，排除C；，排除A，D.故选B.
9．答案：BD
解析：由,,,
又为减函数,所以.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：因为定义在R上的单调函数,则,.
对于A,令,则或,
若,则对,取,都有,不满足单调函数性质,
故,故A正确;
对于B,令,则或（舍）,则,
因,结合为定义在R上的单调函数,则只能是单调递增函数;
对于C,令,则（舍）,
则,取,,取,,
则,又定义为R,则为奇函数,故C正确;
对于D,令,,则,令,
则,
则,故D正确.
故选:ACD
11．答案：AB
解析：函数，，
对于A，
，
，A正确；
对于B，，
，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，
则，D错误.
故选：AB
12．答案：①
解析：根据表格数据可知最符合变量y随变量x变化规律.
故答案为:①
13．答案：
解析：当时，无论a为何值，，
函数的图象必经过点.
14．答案：
解析：令,解得,此时,
所以函数的图象恒过定点.
故答案为:.
15．答案：(1);
(2);
(3);
(4).
解析：(1)因为函数在R上单调递增,且,所以,综上所述：;
(2)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(3)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
(4)因为函数在R上单调递减,且,所以,综上所述：;
16．答案：（1）
（2）当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为
解析：（1）由题意得，所以.
（2）.
令，，则，
原函数等价于，其图象的对称轴为直线.
当时，在上单调递增，
所以，即当时，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即当时，；
当时，在上单调递减，
所以，即当时，.
综上，当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为.
17．答案：(1)
(2)①;②
解析：(1).
(2)①,所以;
②,且,
所以
18．答案：（1）4;
（2）
解析：（1）原式.
（2）因为,
所以.
19．答案：（1）8.3
（2）
解析：（1）原式
.
（2），，
.
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