资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 函数应用--高中数学北师大版必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列区间中，一定包含函数的零点的是( )
A. B. C. D.
2．函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
3．函数零点所在区间为( )
A. B. C. D.
4．已知函数,用二分法求的零点近似值,零点所在大致区间为( )
A. B. C. D.
5．已知函数.下列区间中包含零点的是( )
A. B. C. D.
6．某商场“双十二”期间搞促销活动，规定如表：如果顾客购物的总金额不超过600元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过600元，那么超过600元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按如表计算.
享受折扣的购物金额 折扣优惠
超过600元不超过1200元的部分
超过1200元的部分
李女士在商场获得的折扣优惠金额为60元，则她实际所付金额为( )
A.1600元 B.1540元 C.1400元 D.1340元
7．方程的根所在的区间为( )
A. B. C. D.
8．已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数图象与x轴均有交点,其中能用二分法求其零点的是( )
A. B.
C. D.
10．如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:）与时间t（单位:月）的关系为,则( )
A. B.第4个月时,浮萍面积超过
C.浮萍每月增加的面积都相等 D.浮萍每月的增长率为2
11．已知函数在定义域R上单调递增，，，，则函数的一个误差不超过0.05的零点可以为( )
A.0.6 B.0.68 C.0.7 D.0.72
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．用二分法求函数在区间上的零点的近似值,由计算得,,,.下一个求,则_____________.
13．设实数a,b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根,且,则abc的取值范围是_________________.
14．若函数在区间内至少有3个零点,则的最小值是___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（例题）求证：函数至少有一个零点.
16．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
①函数是区间上的增函数；
③每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
④每天运动时间为20分钟时，当天得分为2分；
⑤每天运动时间为60分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：
（Ⅰ），
（Ⅱ），
（Ⅲ）.
(1)请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于3分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）.
17．渔场中鱼群的最大养殖量为,为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量小于,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比,比例系数为.
（1）写出y关于x的函数关系式,并求鱼群年增长量y的最大值;
（2）当鱼群年增长量y达到最大值时,求实数k的取值范围.
18．据报道，青海湖的湖水量在最近50年内减少了，如果按此规律（即每50年减少），设2010年的湖水量为m，从2010年起过x年后湖水量为y.试写出y与x的函数关系式.
19．已知函数的值域为M，函数.
（1）求M；
（2）求函数的值域；
（3）当时，若函数有零点，求b的取值范围，并讨论零点的个数.
参考答案
1．答案：C
解析：因为的定义域为R，且连续，
，，
，，
所以函数的零点所在区间为
故选：C.
2．答案：B
解析：定义域为R,且在R上单调递增,
又,,
在上存在唯一零点.
故选：B.
3．答案：B
解析：函数的定义域为,且连续.
因为在单增,在单增,
所以在单增.
,, .
所以函数零点所在区间为.
故选：B.
4．答案：B
解析：由函数的解析式可得函数的定义域为,且函数单调递增,
因为,
,
,,
结合函数零点存在定理可知函数的零点位于的区间为,
故选：B.
5．答案：B
解析：函数,
当时,,,则,,
,,因此在区间内有函数的零点,
当时,,,
当时,,,
所以数的零点在区间内.
故选：B.
6．答案：D
解析：设李女士在商场购物的总金额为x元，
由题意可得：，
则，
解得，
即她实际所付金额为元.
故选：D
7．答案：C
解析：令,
故函数为定义在R上的连续函数,且显然为增函数,
因为,,,
由零点存在定理可知,方程的根所在的区间为.
故选:C.
8．答案：C
解析：函数存在2个零点，函数的图象与的图象有2个交点.
如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，直线与的图象有2个交点.故选C.
9．答案：AC
解析：由二分法的定义知,若函数在区间上连续,且满足,
则可以利用二分法求函数的零点的近似值,
所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号,不能用二分法求函数零点,
选项A、C中函数零点左右函数值变号,能用二分法求函数零点.
故选:AC.
10．答案：ABD
解析：由图可知,函数过点,将其代入解析式,可得,A正确;
所以,可得第4个月的浮萍面积为,超过了,B正确;
前3个月的浮萍面积,分别为,,,
从前3个月浮萍面积可看出,每月增加的面积不相等,C不正确;
每月增长率为,故每月增长率为2,D正确.
故选:ABD
11．答案：BCD
解析：因为，，，
所以函数的零点所在的区间为，
而，
所以函数的一个误差不超过0.05的零点可以为0.68或0.7或0.72.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由二分法的求解过程知,下一个为,所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意知,在上,函数的图象和直线有两个不同交点,
,所以,,所以abc的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：由,可得,结合正弦函数图象可知,,
则的最小值为.
故答案为：.
15．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以，因此，，即结论成立.
16．答案：(1)选项模型（Ⅲ），；
(2)37分钟
解析：（1）由图可知，该函数的增长速度较慢，
对于模型（1），，为线性增长，不合题意；
对于模型（2），是指数型的函数，其增长是先慢后爆炸型增长，不合适；
对于模型（3），对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型（3），
此时，所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意
综上所述，函数的解析式为
（2）由（1）得，因为每天得分不少于3分，
所以，即，
所以，即，
所以每天得分不少于3分，至少需要锻炼37分钟
17．答案：（1）,,;
（2）
解析：（1）由题意,空闲率为,
关于x的函数关系式是:,
,,,
则函数在上单调递增,在上单调递减,
当时,.
（2）由（1）知,当鱼群年增长量y达到最大值时,,
由题意有,即,
,
又,的取值范围为.
18．答案：
解析：设每年湖水减小的面积百分比为a，
则，即，
.
19．答案：（1）
（2）
（3）；当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点
解析：（1）函数是减函数，当时，；
函数是增函数，当时，，
.
（2）设，则.
，或，.
当时，；
当时，.
故函数的值域为.
故函数的值域为.
（3）函数有零点等价于方程有实数根，即方程有实数根，
等价于直线与函数的图象有交点.
由（2）知，
所以当且仅当时，函数有零点.
结合一元二次函数的图象与性质及（2）可得，
当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递增.
所以当或时，函数只有一个零点；
当时，函数有两个零点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑