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易混易错练
易错点1　混淆绳上的“活结”和“死结”
1.如图,在水平地面上,质量为m1的小球(视为质点)用轻绳跨过光滑的半球形碗连接质量分别为m2和m3的物体,平衡时小球恰好与碗之间没有弹力作用,则m1、m2和m3的比值为 (　　)
A.1∶2∶3　　　　　　　　B.2∶1∶1
C.2∶1∶　　　　　　　　D.2∶∶1
2.如图,悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处;绳的一端固定在墙上,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时,O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°,则β等于 (　　)
A.45°　　　　B.55°　　　　C.60°　　　　D.70°
易错点2　混淆“动杆”和“定杆”
3.如图所示,两个质量均为m的物体分别挂在支架上的B点(如图甲所示)和跨过滑轮的轻绳BC上(如图乙所示),图甲中轻杆AB可绕A点转动,图乙中水平轻杆一端A插在墙壁内,已知θ=30°,则图甲中轻杆AB受到绳子的作用力F1和图乙中滑轮受到绳子的作用力F2分别为(重力加速度为g) (　　)
A.F1=mg、F2=mg
B.F1=mg、F2=mg
C.F1=mg、F2=mg
D.F1=mg、F2=mg
思想方法练
一、图解法
方法概述
在求解物体的动态平衡问题时,将各力的变化用矢量图表示出来的方法即图解法。图解法也叫图形法,是一种利用几何图形规律求解物理问题的方法。
1.如图所示,挡板A与B中间有一个重为G的光滑球,开始时A竖直,A、B间成α角,则在α角缓慢增大至90°的过程中 (　　)
A.若A板固定,则小球对A板的压力不断增大
B.若A板固定,则小球对A板的压力先减小后增大
C.若B板固定,则小球对A板的压力先减小后增大
D.若B板固定,则小球对A板的压力不断减小
2.如图所示,倾角θ=30°的斜面体A静止在水平地面上,一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮,绳两端分别系有质量均为m的小物块a、b,整个装置处于静止状态。现给物块b施加一个水平向右的力F,使b缓慢移动直到轻绳与竖直方向成30°角(不计绳与滑轮间的摩擦),对此过程下列说法正确的是 (　　)
A.水平拉力F保持不变
B.b受到绳的拉力先增大后减小
C.小物块a受到的摩擦力先减小后增大
D.水平地面对斜面体A的静摩擦力不断增大
二、整体法与隔离法
方法概述
整体法就是把几个物体视为一个整体,受力分析时,只分析这一整体之外的物体对整体的作用力,不考虑整体内部物体之间的相互作用力。隔离法就是把要分析的物体从相关的物体系统中隔离出来,只分析该物体以外的物体对该物体的作用力,不考虑该物体对其他物体的作用力。
3.(多选题)如图所示,在一根水平的粗糙的横梁上,套有两个质量均为m的铁环,两铁环系有等长的细绳,共同拴着质量为M的小球,两铁环与小球均保持静止。现使两铁环间距离增大少许,系统仍保持静止,则关于水平横梁对左侧铁环的支持力FN和摩擦力Ff的说法正确的是 (　　)
A.FN增大　　　　　　　　B.Ff增大
C.FN不变　　　　　　　　D.Ff不变
4.如图所示,用完全相同的轻质弹簧1、2、3将两个相同的小球连接并悬挂,小球静止时,弹簧3水平,弹簧1与竖直方向的夹角θ=30°,弹簧1的弹力大小为F,则 (　　)
A.弹簧3的弹力大小为2F
B.弹簧3的弹力大小为
C.每个小球重力大小为F
D.每个小球重力大小为F
三、正交分解法
方法概述
物体受多个力作用时,可将各力分解到x轴和y轴上,运用两坐标轴上的平衡条件Fx=0、Fy=0进行分析求解的方法。
5.如图所示,质量为m的木块A放在水平面上的质量为M的斜面体B上,现用大小相等、方向相反的两个水平推力F1和F2分别作用在A、B上,A、B均保持静止不动。则(重力加速度为g) (　　)
A.A与B之间一定存在摩擦力
B.B与地面之间一定存在摩擦力
C.B对A的支持力一定等于mg
D.地面对B的支持力大小一定等于(m+M)g
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.D　对碗内的小球受力分析,受重力、两轻绳的拉力,由于碗边缘光滑,相当于滑轮,故左边轻绳对小球的拉力等于m2g,右边轻绳对小球的拉力等于m3g,如图
根据共点力平衡条件,两个拉力的合力与小球重力等大、反向、共线,有G2=G1 cos 30°=m2g,G3=G1·sin 30°=m3g,解得m1∶m2∶m3=2∶∶1,故选D。
错解分析　(1)“活结”模型:跨过滑轮、光滑杆、光滑钉子的细绳为同一根细绳,其两端张力大小相等。
(2)“死结”模型:如几个绳端有“结点”,即几段绳子系在一起,那么该结点称为“死结”,这几段绳子的张力不一定相等。
2.B　甲物体拴牢在O点,且甲、乙两物体的质量相等,则甲、乙绳的拉力大小相等,O点处于平衡状态,则左侧绳子拉力的方向沿甲、乙绳子夹角的角平分线,如图所示,根据几何关系有180°=2β+α,解得β=55°,故选B。
3.D　题图甲中,轻杆AB受到绳子的作用力F1为FT与F的合力,如图甲,根据平衡条件,有:F1=mg;题图乙中,绳子对滑轮的作用力F2应是两股绳作用力的合力,两作用力夹角为120°,大小相等,如图乙所示,故F2=mg,故D正确,A、B、C错误。
甲
乙
错解分析　(1)杆通过转轴或铰链与墙壁连接,称为“动杆”,当杆平衡时受到的弹力方向一定沿杆,否则会引起杆的转动。
(2)杆不能转动,称为“定杆”,杆所受的弹力方向不一定沿杆。
思想方法练
1.D　若A板固定,将小球的重力按效果进行分解如图,在α角增大至90°的过程中,对A板的压力的方向保持不变,对B板压力的方向顺时针转动,如图甲,可知小球对A板的压力一直减小,故A、B错误。
甲
乙
若B板固定,小球受重力、B板弹力F1和A板弹力F2,将F1与F2合成为F,如图乙,小球一直处于平衡状态,三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线,故F1和F2的合力F一定与重力等值、反向、共线。从图中可以看出,当α缓慢地增大至90°的过程中,F1越来越小,F2越来越小,根据力的相互性知小球对A板的压力越来越小,故C错误,D正确。
方法点津　在共点力的平衡问题中,有些题目中常有“缓慢”一词,物体缓慢移动时处于动态平衡状态,解决动态平衡类问题常用图解法。先对物体进行受力分析(一般受三个力),若满足有一个力大小、方向均不变,另有一个力方向不变时,可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况,图解法也常用于求极值问题。
2.D　在b缓慢移动的过程中,b受力平衡,对b受力分析,如图甲所示,设绳与竖直方向的夹角为α,b缓慢移动直到轻绳与竖直方向成30°角的过程中,α变大,根据平行四边形定则可知,T逐渐增大,F逐渐增大,故A、B错误;对a受力分析,如图乙所示,刚开始T=mg,a处于静止状态,则f=T-mg sin 30°=mg,方向沿斜面向下,T增大时,f增大,故C错误;以整体为研究对象,水平地面对斜面体A的静摩擦力与F等大反向,故水平地面对斜面体A始终有水平向左的静摩擦力且逐渐变大,故D正确。
甲
乙
3.BC　以两个铁环和小球组成的系统(包括细绳)为研究对象,竖直方向受到重力和水平横梁对两铁环的支持力,水平方向受到横梁的摩擦力,如图1所示。
图1
图2
根据平衡条件得:
2FN=(M+2m)g
则FN=(M+2m)g
可见,水平横梁对左侧铁环的支持力FN不变。
以左侧铁环为研究对象,受力分析,如图2所示
竖直方向:FN=F sin α+mg
水平方向:F cos α=Ff
FN、mg不变,α减小,则F增大,Ff增大。故选B、C。
方法点津　当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时,宜用整体法;而在分析系统内各物体间的相互作用时常用隔离法。整体法和隔离法不是独立的,对一些较复杂的问题,通常需要多次选取研究对象,交替使用整体法和隔离法。
4.B　将两球和弹簧2看成一个整体,整体受到总重力G、弹簧1和3的拉力,如图,由平衡条件可知,F3和G的合力与F大小相等、方向相反,则得F3=F sin 30°=F,选项B正确,A错误;G=F cos 30°=F,则每个球的重力为G1=G=F,选项C、D错误。
5.D　A在斜面上处于静止状态,对A受力分析如图甲所示(不含摩擦力),若F1x=GAx,则Ff=0;若F1x>GAx,则Ff≠0且方向斜向下,A错误。由图甲知FN=F1y+GAy,则FN与GA的大小关系不确定,C错误。对A、B整体受力分析如图乙,因为F1与F2大小相等,方向相反,所以水平方向上与地面间无摩擦力,竖直方向上FN地=GA+GB=(m+M)g,B错误,D正确。
甲
乙
方法点津　正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的,其目的是将矢量运算转化为代数运算,其优点有:
(1)将矢量运算转化为代数运算,使难度降低;
(2)将求合力的复杂的解三角形问题,转化为正交分解后的直角三角形问题,使运算简便;
(3)当所求问题有两个未知条件时,这种表述形式可列出两个方程,通过对方程组求解,使得求解更方便。

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