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第4章　力与平衡
第2节　力的分解
基础过关练
题组一　对力的分解的理解
1.(多选题)一个力F分解为两个不为零的分力F1、F2,以下说法可能正确的是 (　　)
A.F1、F2与F都在同一直线上
B.F1、F2都小于
C.F1或F2的大小等于F
D.F1、F2的大小都与F相等
题组二　按效果分解力
2.用轻质细绳系住一小球,小球静止在光滑斜面上,如图所示,1为水平方向、2为沿斜面方向、3为沿绳方向、4为竖直方向、5为垂直斜面方向。若要按照力的实际作用效果来分解小球的重力,下列叙述中正确的是 (　　)
A.将小球的重力沿1和5方向分解
B.将小球的重力沿2和5方向分解
C.将小球的重力沿3和5方向分解
D.将小球的重力沿3和2方向分解
3.
如图所示,AB、AC两光滑斜面互相垂直,AC与水平面成30°角。如把球O的重力G按照其作用效果分解,则两个分力的大小分别为 (　　)
A.G,G　　　　　　　　B.G,G
C.G,G　　　　　　　　D.G,G
题组三　力的分解的讨论
4.将一个力F分解为两个互成角度的分力时,以下说法正确的是 (　　)
A.已知两个分力的方向,可能有两组解
B.在同一平面内,已知两个分力的大小,可能有两组解
C.已知一个分力的大小和方向,可能有两组解
D.已知一个分力的大小和另一个分力的方向,只有一组解
5.
如图所示,已知力F=60 N的一个分力F1跟F成30°角,大小未知,则另一个分力F2的大小不可能是　 (　　)
A.20 N　　　　B.30 N　　　　C.60 N　　　　D.100 N
题组四　力的正交分解法
6.如图所示,物体放在粗糙的斜面上静止不动,斜面的倾角为θ,把斜面上物体所受的重力G分解为F1、F2两个分力,下列说法正确的是 (　　)
A.重力G只能沿着F1和F2这两个方向进行分解
B.F2是斜面作用在物体上使物体下滑的力
C.F1是斜面受到的压力
D.若减小斜面的倾角θ,斜面施加给物体的力不会改变
7.(多选题)如图所示,质量为m的物体受到推力F作用,沿水平方向做匀速直线运动,已知推力F与水平面的夹角为θ,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则物体所受的摩擦力大小为 (　　)
A.F cos θ　　　　　　　　B.μmg
C.μF　　　　　　　　D.μ(mg+F sin θ)
能力提升练
题组一　按作用效果分解力
1.如图所示,重力为G的小球静止在斜面上,下列关于重力的两个分力说法正确的是 (　　)
A.F1是小球对挡板的压力,大小为G tan θ
B.F2是小球对斜面的正压力,大小为
C.F1是小球所受重力的一个分力,大小为G tan θ
D.由于重力的存在,小球同时受G、F1、F2的作用
2.图甲为杂技表演的安全网示意图,网绳的结构为正方形格,O、a、b、c、d…等为网绳的结点,安全网水平张紧。若一杂技演员从高处落下,并恰好落在O点上。该处下凹至最低点时,网绳dOe、bOg均成120°向上的张角,网绳dOe所在平面的示意图如图乙所示,此时O点受到向下的冲击力大小为F,则这时O点周围每根网绳承受的力的大小为　 (　　)
　　　
A.F　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则 (　　)
A.若F一定,θ小时FN大
B.若F一定,θ大时FN不变
C.若θ一定,F小时FN不变
D.若θ一定,F大时FN小
4.如图,质量为m的小球通过水平轻绳AO、竖直轻绳BO和轻弹簧CO相连接,处于平衡状态。已知弹簧劲度系数为k,CO与竖直方向夹角为60°,重力加速度为g,求:
(1)水平轻绳AO的拉力为多大
(2)轻弹簧的弹力为多大
(3)轻弹簧的伸长量x。
题组二　力的分解的讨论
5.(2024山东济南阶段检测)将如图所示的力F分解为F1和F2两个分力,已知F、F1的大小和F2、F之间的夹角α(α<90°)。则下列说法正确的是 (　　)
A.若F1>F sin α,则F2一定有两解
B.若F1=F sin α,则F2有唯一解
C.若F1D.若F1>F,则F2一定无解
6.(多选题)已知一个力F=10 N,可分解为两个分力F1和F2,已知F1方向与F夹角为30°(如图所示),F2的大小为10 N,则F1的大小可能是 (　　)
A.5 N　　　　B.10 N　　　　C.10 N　　　　D.20 N
7.如图所示为节日里悬挂灯笼的一种方式,A、B点等高,O为结点,轻绳AO、BO长度相等,拉力分别为FA、FB,灯笼受到的重力为mg。下列表述正确的是
(　　)
A.FA一定小于mg
B.FA与FB大小相等
C.FA与FB是一对平衡力
D.FA与FB大小之和等于mg
题组三　力的正交分解法
8.如图,一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变,而方向与水平面成60°角,物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为　 (　　)
A.2-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
9.如图所示,用绳AC和BC吊起一个重50 N的物体,两绳AC、BC与竖直方向的夹角分别为30°和45°,求绳AC和BC对物体的拉力大小。(结果可保留根号)
10.如图所示,物块A的质量为mA=2 kg,用绳悬挂在绳PQ和PCB的结点上,PQ偏离竖直方向的角度β=37°,PC水平,连接B的绳与水平方向的夹角α=53°。所有绳及光滑的滑轮的质量不计。木块B静止在水平面上,质量mB=8 kg。已知cos 53°=0.6,sin 53°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)PQ绳和PC绳的拉力分别为多大;
(2)地面对木块B的支持力和摩擦力分别为多大。
答案与分层梯度式解析
第4章　力与平衡
第2节　力的分解
基础过关练
1.ACD　根据三角形定则,合力与它的两个分力可以构成三角形或三力在同一直线上,知A、C、D正确。
2.C　小球的重力有两个效果:一个效果是拉细线、一个效果是压斜面。故选C。
3.A　根据重力的作用效果,将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2,根据平行四边形定则作出力的示意图,如图所示,由几何关系可得G1=G cos 30°=G,G2=G sin 30°=G,故选A。
4.B　将一个力F分解为两个互成角度的分力时,已知两个分力的方向,根据平行四边形定则知,有唯一解,故A错误;在同一平面内,已知合力与两个分力的大小,根据三角形定则,如下图,有两组解,故B正确;
已知一个分力的大小和方向,根据平行四边形定则知,有唯一解,故C错误;已知一个分力的大小和另一个分力的方向,根据平行四边形定则,如图所示
有两组解,故D错误。
5.A　由平行四边形定则可知,当F2垂直于F1时,分力F2最小,如图所示
此时F2=F sin 30°=30 N
所以F2一定大于等于30 N。
本题选不可能项,故选A。
方法技巧　利用图解法分析最小力有几种不同的情境,可能是已知合力F的大小和方向及一个分力F1的方向,也可能是已知合力F的方向及一个分力F1的大小和方向,还可能是已知合力F的大小及一个分力F1的大小,不能以记忆的形式去求最小力,一定要将具体问题放到矢量图中进行分析求解。
6.D　力的分解是任意的,重力可以沿着很多方向进行分解,只不过在该问题中,重力产生两个作用效果,即使物体沿斜面向下滑动和对斜面产生压力使斜面发生形变,重力G沿着F1和F2这两个方向进行分解更方便解题,选项A错误;F2是重力作用在物体上使物体沿斜面下滑的力,不是斜面作用在物体上的力,选项B错误;F1是重力沿垂直斜面方向的分力,大小等于斜面受到的压力,选项C错误;因物体受力平衡,合力为零,即斜面对物体的力等于物体的重力,若减小斜面的倾角θ,物体仍静止,即斜面施加给物体的力仍等于重力,选项D正确。故选D。
7.AD　对物体受力分析如图,因为物体做匀速运动,所以物体所受的合力为零,在水平方向有Ff=F·cos θ,选项A正确;由Ff=μFN,FN=mg+F sin θ可知,Ff=μ(mg+F sin θ),选项D正确,B、C错误。
能力提升练
1.C　F1和F2是小球重力的两个分力,不是小球对挡板、斜面的正压力,只是大小与小球对挡板、斜面的正压力相等,故A、B错误;F1是小球所受重力的一个分力,由几何关系可知,其大小为G tan θ,故C正确;F1、F2均是重力的分力,是重力产生的两个效果,不是小球受到的力,故D错误。
2.B　由作用力与反作用力可知,O点对杂技演员的作用力大小为F,方向竖直向上。网绳dOe、bOg均成120°向上的张角,网绳dOe、bOg的弹力大小相等,假设一根网绳的张力为T,则网绳dOe、bOg对O点的作用力均为F'=2T cos 60°=T,即2T=F,解得T=,故选B。
3.A　将力F进行分解,如图所示
两个分力等于木楔两侧产生的推力FN,根据几何关系可得2FN sin =F,解得FN=,若F一定,θ小时FN大,θ大时FN小,A正确,B错误;若θ一定,F小时FN小,F大时FN大,C、D错误。故选A。
4.答案　(1)mg　(2)2mg　(3)
解析　(1)以小球为研究对象,可知竖直轻绳BO的拉力为TBO=mg
以O点为研究对象,将轻绳BO拉力按效果分解如图所示
可得水平轻绳AO的拉力大小等于
TAO=TBO tan 60°=mg
(2)以O点为研究对象,根据上图可得,轻弹簧的弹力大小等于
F==2mg
(3)根据胡克定律可得F=kx
可得轻弹簧的伸长量为x==
5.B　如图所示,当F1>F sin α且小于F时,F2可以有两解,又分析可知,当F1>F时,F2只有一解,故A、D错误;当F1=F sin α时,两分力和合力恰好构成矢量直角三角形,F2有唯一解,B正确;F1方法技巧　 平行四边形(三角形)定则在力的分解中的应用技巧
(1)力分解时有解或无解,关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形),若能,则有解;若不能,则无解。
(2)画矢量图是解决力的分解问题的有效途径,特别是涉及“最大”“最小”等极值问题时,可多画几种不同情形的图,通过比较鉴别正确情形。
6.CD　已知合力F=10 N,F1方向与F夹角为30°,F2的大小为10 N,以F的箭头处为圆心,以F2的大小为半径作圆,该圆与F1直线交于A、B两点,如图,OA、OB分别对应F1大小的两个值,F1大小对应OA时,=,所以∠OAF=120°,则∠OFA=180°-30°-120°=30°,所以F1=F2=10 N;F1大小对应OB时,=,所以∠OBF=60°,则∠OFB=180°-30°-60°=90°,所以F1===20 N。故选C、D。
7.B　由于A、B点等高,O为结点,轻绳AO、BO长度相等,则对结点O受力分析,作出平行四边形如图所示。设∠AOB=2θ,由几何关系可知:FA=FB=,故选项B正确;轻绳AO、BO的拉力大小相等,但没有作用在一条直线上,不能成为一对平衡力,故选项C错误;当2θ=120°时有FA=FB==mg,当0°<2θ<120°时有FA=FBmg,故选项A错误;FA与FB的矢量之和等于mg,FA与FB的大小之和不一定等于mg,故选项D错误。
8.C　当拉力水平时,物块匀速运动,则拉力等于摩擦力,即F=μmg。当拉力倾斜时,物块受力分析如图
将F正交分解,由平衡条件得FN=mg-F sin 60°,f=F cos 60°,f=μFN,得摩擦力f=μ(mg-F sin 60°)=F cos 60°,联立解得μ=,故选C。
9.答案　50(-1)N　25(-)N
解析　以C为原点建立直角坐标系,设x轴水平,y轴竖直,在图上标出FAC和FBC在x轴和y轴上的分力,即
FACx=FAC sin 30°=FAC
FACy=FAC cos 30°=FAC
FBCx=FBC sin 45°=FBC
FBCy=FBC cos 45°=FBC
在x轴上,FACx与FBCx大小相等,即FAC=FBC ①
在y轴上,FACy与FBCy的合力与重力大小相等,
即FAC+FBC=50 N②
由①②两式解得
绳BC的拉力FBC=25(-)N
绳AC的拉力FAC=50(-1)N。
方法技巧　此题可以用平行四边形定则求解,但因两拉力的夹角不是特殊角,计算麻烦,如果改用正交分解法则简便得多。正交分解法不一定按力的实际效果来分解,而是根据需要,为了简化问题在两个相互垂直的方向上分解,它是处理复杂的力的合成和分解问题的一种简便方法。
10.答案　(1)25 N　15 N　(2)68 N　9 N
解析　(1)根据题意,对结点P受力分析,设PQ绳的拉力为F1,PC的拉力为F2,如图所示
则有F1 sin β=F2
F1 cos β=mAg
解得F1=25 N,F2=15 N
即PQ绳的拉力为25 N,PC绳的拉力为15 N
(2)根据题意,对B受力分析,如图所示
则有F2 sin α+FN=mBg
f=F2 cos α
解得FN=68 N,f=9 N(共14张PPT)
第2节　力的分解
1.定义:求一个已知力的分力的过程称为力的分解。
2.法则:平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的对角线,与力F共点的平行四边形
的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2,如图所示。
知识 清单破
知识点 1 力的分解
3.特点:一个力分解为两个分力,从理论上讲有无数组解。因为同一条对角线对应的平行四
边形有无数个(如图所示)。
4.原则
(1)根据需要进行分解;
(2)按照方便问题的研究来进行分解;
(3)按力的实际作用效果进行分解。
1.定义:把一个力分解为两个互相垂直的分力,这种分解方法称为力的正交分解,如图所示。

2.公式:F1=F cos θ,F2=F sin θ。
3.适用:正交分解适用于各种情况。
知识点 2 力的正交分解
1.将一个力F分解为两个力F1和F2,那么物体同时受到F1、F2和F三个力的作用。 (　 )
2.某个分力的大小可能大于合力。 (　 )
3.力的分解是力的合成的逆运算。 (　 )
4.分力总是小于合力。 (　 )
5.一个力只能分解为一组分力。 (　 )
6.将5 N的力进行分解,可以得到50 N的分力。 (　 )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。

√
√


√
情境探究
传说我国明朝时,苏州的虎丘寺塔因年久失修,塔身倾斜,有倒塌的危险。如何修复此塔 有
人建议用粗绳子把塔拉正,可一拉反而可能会倒;有人建议用大木柱撑住,但很不雅观。一
天,一个和尚路过此地,观察斜塔后,自告奋勇地说:“不需人力和财力,我一个人就可以把塔
扶正。”在场的人无不惊疑而取笑他,可和尚不管别人怎么议论,每天提着一个大包走进寺
院,包里装了一些一头厚一头薄的木楔(斜面),他把这些木楔一个个地从塔身倾斜的一侧的
砖缝里敲进去。不到一个月,塔身果然扶正了。
疑难 情境破
疑难 力的分解
问题1
塔身是怎样被扶正的
　木楔被打入塔身倾斜的一侧,木楔对塔的弹力将塔身支撑起来,慢慢扶正。
提示
问题2
木楔对塔身为什么能产生这么大的力量呢 试作图说明。
　为了便于观察理解,假设所用的木楔为等腰三角形,顶角为θ,现在木楔背上加一推力
F,方向如图所示。
根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN,如图所示。

则 =sin
即FN=
所以当F一定时,θ越小,FN越大。
提示
讲解分析
1.有条件限制的力的分解(只讨论两种情况)
(1)已知合力和两个分力的方向时,有唯一解。
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时,有唯一解。
2.按力的效果分解
(1)根据力的实际作用效果 两个实际分力的方向。
(2)再根据两个实际分力方向 平行四边形。
(3)最后由三角形知识 两分力的大小。
3.正交分解法
(1)定义:将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
(2)建立坐标轴的原则:一般选共点力的作用点为原点,以少分解力和容易分解力为原则(即
让尽可能多的力在坐标轴上)。
(3)应用:物体受到多个力作用F1、F2、F3、…,求合力F时,可把各力沿相互垂直的x轴、y轴
分解(如图)。
x轴上的合力:Fx=F1x+F2x+F3x+…
y轴上的合力:Fy=F1y+F2y+F3y+…
合力的大小:F=
合力方向:与x轴夹角为θ,则tan θ= 。
4.几种典型情况的力的分解
(1)实例1
分析:地面上物体受到斜向上的拉力F,拉力F一方面使物体沿水平地面前进,另一方面向上
提物体,因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2,F1=F cos α,F2=F sin α。
(2)实例2
分析:放在斜面上的物体的重力产生两个效果,一是使物体具有沿斜面下滑的趋势;二是使
物体压紧斜面,相当于分力F1、F2的作用,F1=mg sin α,F2=mg cos α。
(3)实例3
分析:质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果,一是使球垂直压
紧墙面,相当于分力F1的作用;二是使球拉线,相当于分力F2的作用,F1=mg tan α,F2= 。
典例　把一个已知力F分解,要求其中一个分力F1跟F成30°角【1】,而大小未知;另一个分力F2
= F,但方向未知【2】,则F1的大小可能是 (　 )
A. F　 B. F　 C. F　 D. F
信息提取　【1】力F1方向确定,可求另一分力的最小值。
【2】比较F2和其最小值的大小可以判断F1有几组解。
思路点拨　首先要求出F2的最小值,然后结合三角形定则【3】求出F1可能的值。
C
解析　由题意可知,F2的大小为 F,大于 (由【1】得到),故F1的大小有两种可能,F2的方
向有两种可能,即F21和F22(由【2】【3】得到),如图:

由几何关系得,F11= F、F12= F,故C正确。

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