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第一章　预备知识--高中数学北师大版必修一单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合，集合，若，则实数a取值集合的真子集的个数为( )
A.2 B.3 C.7 D.8
2．集合，，且，则集合B的真子集的个数为( )
A.5 B.15 C.31 D.32
3．对于集合A，B，“”不成立的含义是( )
A.B是A的子集 B.A中的元素都不是B的元素
C.A中至少有一个元素不属于B D.B中至少有一个元素不属于A
4．集合，，，且，，则有( )
A. B.
C. D.不属于P，Q，M中的任意一个
5．已知x，y为非零实数，则集合为( )
A. B. C. D.
6．方程组的解用集合表示为( )
A. B.或
C. D.
7．下列选项中集合M，N表示同一集合的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
8．已知集合，且是M中的一个元素，则( )
A. B.或3 C.3 D.或
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列选项中正确的是( )
A.{质数}{奇数}
B.集合与集合没有相同的子集
C.任何集合都有子集，但不一定有真子集
D.若，，则
10．下列表述正确的是( )
A. B.
C. D.
11．下列集合是无限集的是( )
A.是能被3整除的数} B.
C. D.是面积为1的菱形}
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合.若，则实数a的值构成的集合为________.
13．写出命题“，”的否定：_____
14．已知且，则的最小值为_____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解不等式：.
16．解关于x的不等式，.
17．若二次函数在区间上有两个零点，求实数m的取值范围.
18．(1)已知，求的取值范围；
(2)设实数a，b满足，，求的取值范围.
19．已知二次函数.
(1)若不等式的解集为,求a,b的值；
(2)若,且,,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：由，得，解得或，
所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或.
综上，实数a取值的集合为，
所以实数a取值集合的真子集的个数为，故选C.
2．答案：C
解析：由，，且，得，集合B中含有5个元素，所以集合B的真子集个数为.故选C.
3．答案：C
解析：“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C.
4．答案：B
解析：因为，所以.因为，所以，则.故选B.
5．答案：B
解析：当，时，.当，时，.
若x，y异号，不妨设，，则.
因此或，则.
6．答案：C
解析：由解得所以方程组的解集是或.故选C.
7．答案：A
解析：A：根据集合元素的无序性，可得，故正确；
B：和是不同的元素，故B错误；
C：因为M中的元素是有序实数对，而N中的元素是实数，所以C错误；
D：因为M中有两个元素，即4，3，而N中有一个元素，即，所以D错误.故选A.
8．答案：A
解析：集合，且.
①当时，，此时，，集合M中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去；
②当时，（舍）或，
若，则，此时集合，符合题意.
综上所述，.故选A.
9．答案：CD
解析：2是质数，但它不是奇数，所以{质数}{奇数}错误，所以A错误；
集合与集合有相同的子集，所以错误；
空集是任何集合的子集，空集没有真子集，所以C正确；
若，，则，所以D正确.故选CD.
10．答案：BC
解析：A中，两个集合之间是包含关系，故A错误；
B中，，是相等的集合，所以，故B正确；
C中，空集是任何集合的子集，故C正确；
D中，空集与一个非空集合不相等，故D错误.故选BC.
11．答案：ABD
解析：对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集；
对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集；
对于C，该集合可表示为，为有限集；
对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集.
故选ABD.
12．答案：
解析：因为集合，且，所以或.
（1）当时，，，符合题意.
（2）当时，解得或.
当时，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当时，，符合题意.
综上可知，实数a的值构成的集合为.
13．答案：,
解析:命题“,”的否定为“,”.
故答案为：,.
14．答案：
解析：
，
当且仅当，即
，时，等号成立
综上所述，答案为：
15．答案：
解析：原不等式可化为，等价于或，
解得或或.
所以原不等式的解集为.
16．答案：见解析
解析：原不等式可化为，，
当或时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．答案：
解析：二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上.
因为二次函数在区间上有两个零点，
所以方程在区间内有两个不同的根，
记方程的两根分别为，，
则
解得，所以m的取值范围是.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由知，且
以上两式相加并结合得，即.
(2)令得
从而.
19．答案：(1),
(2)9
解析：(1)不等式的解集为,则,
且的两根为和1,
则,所以；
(2)由,可得,即.
又,,所以,
当且仅当时,即,时等号成立.
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