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第1章 勾股定理
1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及其简单计算
导入新课
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角．
这种方法对吗？
探究新知
【探究1】拼图验证勾股定理
1. 准备四个全等的直角三角形
（设直角边分别为 a，b，斜边为 c）
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？
a
b
c
问题1：图②中正方形ABCD的边长是______，正方形ABCD的面积可表示为________．
a＋b
(a＋b)2
问题2：图②中正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，因此正方形ABCD的面积还可以表示为___________．
ab+
问题3：观察两种表示方法，它们表示的是同一个图形的面积，所以结果应_______．
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图③如何
验证勾股定理？
相等
所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
所以 a2 +b2 = c2.
证明：
因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4×ab + c2
= c2 + 2ab，
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
毕达哥拉斯证法
【点击跳转至几何画板】
归纳总结
【探究2】深入了解勾股定理的证法
自主探究
问题1：画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？
合作探究
问题2：为了计算教材P4图1-4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到教材P4图1-5、
图1-6.
(1)将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的式子表示出来．
(2)教材图1-5、图1-6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
(3)你能分别利用教材图1-5、
图1-6验证勾股定理吗？
(3)解：图1-5：(a＋b)2＝×4＋c2，
化简，得：a2＋b2＝c2；
图1-6：×4＋(b－a)2＝c2，
化简，得：a2＋b2＝c2.
问题3：你能利用教材P5图1-7，1-8验证勾股定理吗？
a
b
c
b- a
【点击跳转至几何画板】
拓展提升
因为 S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
所以c2 ＝4ab+ (b - a)2
＝ a2 b2
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
解：图1-7：52＝×4＋12，即52＝32＋42；
图1-8：设直角三角形中，较长直角边为b，较短直角边为a，斜边长为c，
则c2＝×4＋(b-a)2，
即c2＝a2＋b2.
问题4：如果一个三角形是钝角三角形或锐角
三角形，它的三边长能满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
①在钝角三角形中，
三边长分别为a，b，c其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 < c2；
b
a
c
b
a
c
②在锐角三角形中，
三边长分别为a，b，c其中 c 为最大边长，
则 a2 + b2 > c2.
S = 9
S = 25
S = 10
S = 9
S = 10
S = 13
归纳总结
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
a
a
b
b
c
c
“总统证法”
刘徽证法
欧几里得法
【点击播放】
勾股定理的证明方法有300多种，必须是直角三角形的三边才能满足a2＋b2＝c2.
应用举例
【例1】(教材P5例题)在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在公路上疾驶．他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得
汽车与他相距500 m．你能帮王叔叔
计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？
公路
B
C
A
400 m
500 m
【方法指导】
(1)根据题意画出简单的示意图如图所示．
(2)在直角三角形中已知什么边？要求什么边？
在直角三角形中已知斜边和一条直角边，要求另一条直角边．
(3)如何计算蓝方汽车的速度？
公路
B
C
A
400 m
500 m
公路
B
C
A
400 m
500 m
解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.
由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角.
由勾股定理，可得
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，
那么它 1 s 行驶的距离为
300÷10 = 30 (m)，
即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 m/s.
【例2】(教材P6随堂练习)如图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km)，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的
建设成本预计是多少？
解：在Rt△MON中，由勾股定理，
得OM2＝MN2＋NO2，
即OM2＝302＋402＝2 500，
∴OM＝50 km.
在Rt△OPQ中，由勾股定理，得OQ2＝OP2＋PQ2，
即OQ2＝502＋1202＝16 900，
∴OQ＝130 km，
5 000×(50＋130)＝900 000(万元).
答：该沿江高速公路的建设成本预计是900 000万元．
2 m
1.5 m
A
B
D
C
【例3】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
横着通过
竖着通过
斜着通过
2.4 m > l.5 m，
故横着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
A
B
C
D
1.5 m
2m
2.4 m > 2 m，
故竖着无法通过
A
B
C
D
1.5 m
2m
对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过
木板从门框通过的方式
2 m
1.5 m
A
B
D
C
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52.
所以 AC＝2.5 m.
因为 AC 大于木板的宽 2.4 m，
所以木板能从门框内通过.
随堂练习
1．放学以后，小红和小颖分别沿着东北方向和西北方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40 m/min，小红用15 min到家，小颖用20 min到家，小红和小颖家的距离为 ( )
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．不能确定
C
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2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠CBD＝90°，AD＝4，AB＝3，BC＝12，则以DC为边的正方形DCEF的面积是____．
3．如图，一架云梯长10 m，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6 m，要使梯子顶端离地面8 m，则梯子的底部在水平方向要向左滑动____m.
2
4.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走
“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，
却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步
(假设 2 步为 1 米)？
C
A
B
别踩我，我怕疼!
(2) 他们仅仅少走了
(3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
解：(1) 在Rt△ ABC 中，
根据勾股定理得 32 + 42 = 25，
∴这条“径路”的长为 5 米.
AB = 5 (米)
C
A
B
别踩我，我怕疼!
5．如图，受某次台风的影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部12 m处，这棵树断裂后有多高？
解：设这棵树断裂后高x m.
根据题意，得x2＋122＝(18-x)2，
解得x＝5.
答：这棵树断裂后高5 m．
课堂小结
探索勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单运用
教材P8～9习题1.1中的T4、T6、T7.
作业布置

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