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第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
导入新课
观察：它们有什么相同特点？
身边还有哪些形状和大小都相同的图形
横看成岭侧成峰
远近高低各不同
不识庐山真面目
只缘身在此山中
日常生活中洗出千万张一模一样的庐山相片，像这样的图片，它的形状和大小都相同．
探究新知
全等三角形的表示方法及相关概念
对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象. 这些图形有什么共同特点？把形状、大小相同的图形放在一起，能否完全重合？
都能完全重合
归 纳
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫作全等形.
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
在图中把△ABC 沿直线 BC 平移，得到△DEF.
A
B
C
把一个三角形平移、翻折、旋转，变换前后的两个三角形全等吗？
思 考
在图中把△ABC 沿直线 BC 翻折 180°，得到△DBC.
在图中把△ABC 绕点 A 旋转，得到△ADE.
A
B
C
F
D
E
D
B
C
A
平移
翻折
A
C
B
E
D
旋转
思 考
归 纳
一个图形经过平移、翻折、旋转后，______变化了，但______、 ______都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形______.
位置
形状
大小
全等
△ABC 与△DEF 全等, 当它们重合时:
①与顶点 A 重合的点是哪个点？
能互相重合的点叫作对应顶点
点 D
②与∠A 重合的角是哪个角？
能互相重合的角叫作对应角
③与边 AB 重合的边是哪条边？
能互相重合的边叫作对应边
∠D
DE
A
C
D
F
B
E
探究：
A
C
D
F
B
E
完成下表：
重合部分 名称 是否相等，说明理由
点A和点___ 对应顶点
点C和点___ 对应顶点
AC和_____ 对应边 相等，完全重合
BC和_____ 对应边 相等，完全重合
∠C和∠___ 对应角 相等，完全重合
∠B和∠___ 对应角 相等，完全重合
D
F
DF
EF
F
E
归 纳
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”
△ABC 和△DEF 全等
记
作
△ABC ≌ △DEF
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.
△ABC≌△DEF
△ABC 和△DEF 全等
对应关系已确定
对应关系不确定
辨析区分
全等三角形的两种表示方法：
把 △ABC 沿直线 BC 平移，得到△DEF. △ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
A
B
C
F
D
E
重合的边
重合的角
对应边相等
对应角相等
全等三角形的对应边相等,
全等三角形的对应角相等.
思 考
∵△ABC ≌△DEF（已知）
A
B
C
几何语言：
F
D
E
全等三角形的性质
∴AB =DE，BC = EF，AC = DF
（全等三角形的对应边相等）
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
（全等三角形的对应角相等）
例 如图，△ABC ≌ △BAD，点 A 和点 B，点C 和点D 是对应顶点，∠BAC = 65°，∠ABC = 26°，AC，BD 的延长线相交于点 E. 求∠CBD，∠AEB的度数.
A
B
C
D
E
解：
∵△ ABC ≌ △BAD ，
∴∠ABD = ∠BAC = 65°
∴∠CBD = ∠ABD – ∠ABC
= 65°– 26° = 39°
在△AEB 中，∠AEB +∠BAE +∠ABE = 180°，
∴∠AEB = 180° –∠BAE – ∠ABE
= 180° – 65° – 65° = 50°
A
B
C
D
E
例题与练习
例1　如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠A＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．
A
B
C
D
E
F
解：
∵∠B＋∠A＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B
＝180°－50°－30°＝100°
又∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝100°，
∴EF－CF＝CB－CF，
即CE＝BF＝2.
A
B
C
D
E
F
EF＝CB，
例2　如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC交DE于点F，交AD于点G，求∠DFB的度数．
A
B
C
D
E
F
G
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE.
又∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD，
∠CAE＝∠DAE－∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE.
∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝(∠BAE－∠DAC)＝20°
∵在△ABG和△FDG中，∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，
∴∠DFB＝∠BAD＝20°.
A
B
C
D
E
F
G
随堂检测
1. 如图，△ABC≌△BDE，∠A 和∠EBD，∠C 和∠E 是对应角. 说出这两个三角形的对应边和另一组对应角.
A
B
C
D
E
解：对应边：AB 和 BD，AC 和 BE， BC 和 DE；
对应角：∠ABC 和∠D.
2. 如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点. 说出这两个三角形中相等的边和角.
解：相等的边：AC = DB，
AO = DO，CO = BO.
相等的角：∠C =∠B，∠A =∠D，
∠AOC =∠DOB.
3．如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，那么图中全等的三角形记为_________________.
△ABC≌△ADE
4．如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在同一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
解：
AD∥BC.
理由如下：
∵△ADF≌△CBE，
∴∠1＝∠2，∠F＝∠E.
又∵∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E，
∴∠3＝∠4，
∴AD∥BC.
课堂小结
全等三角形
概念：能够完全重合的两个三角形
符号表示：
用“≌”连接 两个全等三角形
性质：
对应边相等
对应角相等
教材P31　习题14.1第1，2，3，4题．
作业布置

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