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14.2　三角形全等的判定
第5课时
用“HL”判定直角三角形全等
复习导入
1．　 　和它们的　 　分别相等的两个三角形全等（可以简写成“　 　”或“　 　”）．
2．　 　和它们的　 　分别　 　的两个三角形全等（可以简写成“　 　”或“ ”）.
3．　 　分别相等且其中一组等角的　 　相等的两个三角形全等（可以简写成“ ”或“　 　”）.
4．　 　分别相等的两个三角形全等.
（可以简写成“　 　”或“　 ”）．
两边
夹角
边角边
SAS
两角
夹边
相等
角边角
ASA
两角
对边
角角边
AAS
三边
边边边
SSS
探究新知
前面所学三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，那对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，需要满足其他什么条件，能让这两个直角三角形全等？
A
B
C
A'
B'
C'
两直角边分别相等
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
（SAS）
一条直角边和一锐角分别相等
A
B
C
A'
B'
C'
（ASA）
（AAS）
斜边和一锐角分别相等
A
B
C
A'
B'
C'
探究新知
（AAS）
如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？
用“HL”判定直角三角形全等
探究新知
探究5
C'
A'
B'
C
A
B
如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，∠C′ =∠C = 90°，A′B′ = AB，B′C′ = BC. 这两个三角形全等吗？
如图, 由 ∠C =∠C′ = 90°可知,
①点 C 与点 C' 重合，射线 C'A' 与射线 CA 重合，那么射线 C'B' 与射线 CB 重合.
② 由B'C' = BC ，可知点 B' 与点 B 重合.
C'
A'
B'
C
A
B
(C)
(B)
接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系.
C
A
B
① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角．
② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′, 则有 AB ＞ BM′ ＞ BM．
M
外角的性质
M'
垂线段最短
③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB．
C
A
B
设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，则∠BNA ＜∠BAC，∠BNA是锐角．
若过点 A 且垂直于 AB 的直线与线段 BN 相交于点 N′，则有 AB ＜ BN′ ＜ BN．
N
N'
外角的性质
垂线段最短
④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个.
⑤再由点 A′ 在射线 CA 上，A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合．
C
A
B
M
M'
N
在点 A 下方时，长度 < AB；在点 A 上方时，长度 > AB.
(A')
△A'B'C' 的三个顶点与△ABC 的三个顶点分别重合.
△A'B'C' 与△ABC 能够完全重合.
△A'B'C'≌△ABC
C
A
B
(C')
(B')
(A')
归 纳
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
A′B′ = AB，BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
归 纳
用“HL”判定直角三角形全等
（HL）
归 纳
1．　 　和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“　 　”）.
2．判定两个直角三角形全等的方法有　 　、
　 　、　 　、　 　、　 　．HL只适用于　 　，对于一般三角形不适用．
斜边
HL
HL
直角三角形
SAS
ASA
AAS
SSS
例题与练习
例 1　
如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC = AD.
C
D
B
A
证明：
∴Rt△ABC ≌Rt△BAD
AB = BA，
AC = BD，
∴ BC = AD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
C
D
B
A
∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C =∠D = 90°
（HL）
如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且BF＝DE.
求证：AB∥CD.
例 2　
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
证明：
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB＝CD
BF＝DE
∴Rt△ABF≌Rt△CDE
（HL）
∴∠BAF＝∠DCE,
∴AB∥CD
例 3　
如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，试说明BE与AC的位置关系，并说明理由．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
解：BE⊥AC. 理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
又∵BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC
（HL）
∴∠DBF＝∠DAC.
又∵∠DAC＋∠C＝90°，
∴∠EBC＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE⊥AC.
随堂检测
1. 如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA⊥AB，EB⊥AB. D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
解：D，E 到路段 AB 的距离相等. 理由：
∵C是路段 AB 的中点，∴AC = BC.
又两人同时同速度出发，
并同时到达D，E 两地，∴CD = CE.
又 DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A =∠B = 90°.
在Rt△ACD 和 Rt△BCE 中，
A
B
C
D
E
AC = BC，
CD = CE，
∴Rt△ACD ≌ Rt△BCE(HL).
∴DA = EB.
即 D，E 到路段 AB 的距离相等.
2. 如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF. 求证 AE = DF.
A
B
C
D
E
F
证明: ∵CE = BF，
∴CE – EF = BF – EF，即 CF = BE.
又 AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC =∠AEB = 90°.
在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中，
DC = AB，
CF = BE，
∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB(HL).
∴AE = DF.
A
B
C
D
E
F
3．下列叙述不正确的是 ( )
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
C
4．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( )
A．∠DAE＝∠CBE　　　　　　　　　　
B．CE＝DE
C．△DAE与△CBE不一定全等
D．∠1＝∠2
C
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动．设点P的运动时间为t s，当△ABP和△DCE全等时，t的值为 ( )
　A．1 B．1或3
C．1或7 D．3或7
C
6．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°.
又∵AC＝BD，CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF (HL)，
∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.
课堂小结
斜边、
直角边
内容
前提条件
探索方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
在直角三角形中
依次说明三角形的三个顶点重合
用“HL”判定两个直角三角形全等
教材P45　习题14.2第11，12题
作业布置

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