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人教版 八年级 数学（上）
14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
新课导入
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．你能说明它的道理吗？
探究新知
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系.
C
A
B
O
M
N
P
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)，
就有 PM = PN.
反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP.
A
B
O
M
N
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
在△OPM 和△OPN 中，
∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON.
P
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
思 考
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
1
先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
2
在角的内部作出与这两点距离相等的点.
3
以角的顶点为端点，作过这个点的射线.
作法：如图，已知∠AOB.
(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N.
A
B
O
M
N
C
(3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
角的平分线的作法
(2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C.
A
B
O
M
N
为什么以大于 MN的长为半径作弧：
以小于 MN的长为半径，两弧无交点；
以等于 MN的长为半径，不易操作.
角的平分线的作法
已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
练习
探究
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······.
分别比较 P1D1 与 P1E1、
P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3
······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
探究新知
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
验证
这个点到这个角两边的距离相等.
角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证 PD = PE.
可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE.
角的平分线的性质的应用
C
A
B
O
D
E
P
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∠AOC = ∠BOC ，
∠PDO = ∠PEO ，
OP = OP ，
∴ △OPD ≌ △OPE（AAS）
∴PD = PE
证明几何命题的一般步骤
1. 明确命题中的已知和求证；
2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式
注意可能存在不同情形
如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，
P 是 OC 上一点，
PD⊥OA 于点 D，
PE⊥OB 于点 E，
∴PD = PE.
角平分线上的点到角两边的距离相等
角的平分线的性质
C
A
B
O
D
E
P
几何语言：
归纳
角平分线上的点到角两边的距离相等
C
A
B
O
D
E
P
应用定理需具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等
角的平分线的性质
知识归纳
1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和　 　.
2．角的平分线上的点到角两边的距离　 　.
3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的　 　和
　 　；(2)根据题意，画出　 　，并用数学
　 　表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出　 .
尺规作图法
相等
已知
求证
图形
符号
证明过程
例题与练习
例1　如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，
且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠B＝∠C.
DB＝DC
DE＝DF
A
E
B
F
C
D
例2　如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB于点E，且CD＝CB， ∠ABC＋∠ADC＝180°.
证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
C
B
A
D
E
F
又∵CD＝CB，
求证：AE＝ (AB＋AD).
∴Rt△CEB≌Rt△CFD(HL)，
∴DF＝BE.
∵CE＝CF，AC＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，
∴AF＝AE，
∴DF＝AF－AD＝AE－AD.
∵BE＝AB－AE，DF＝BE，
∴AE－AD＝AB－AE，
∴AE＝ (AB＋AD).
C
B
A
D
E
F
课堂小结
角平分线
尺规作图
性质
添加
辅助线
依据：SSS
一个点：
二距离：
两相等：
角平分线上的点
点到角两边的距离
两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
随堂检测
教材P50练习 第1题
1. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等.
解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求.
A
B
O
N
M
P
2. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
教材P50练习 第2题
在 △DPF 和 △EPG 中，
证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°.
PD = PE，
∠PDF = ∠PEG，
DF = EG，
∴△DPF≌△EPG（SAS）.
∴PF =PG.
C
A
B
O
G
F
D
E
P
教材P50练习 第2题
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6 cm，则△DEB的周长为 ( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
C
B
A
D
E
B
4．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ( )
A．8 B．6 C．4 D．2
C
C
B
A
D
P
5．如图，已知OD平分∠AOB，P是OD上一点，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，
∴∠1＝∠2.
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD(SAS)，
∴∠3＝∠4，∴PD平分∠BDA.
∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.
M
A
B
O
N
D
P
1
2
3
4

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