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人教版 八年级 数学（上）
14.3　角的平分线
第2课时　角的平分线的判定
新课导入
1．点到直线的距离，就是这一点到直线的______的长度．
2．角的平分线上的点到角两边的距离_____.
相等
垂线段
练习
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为 (　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　
C．3　　　　　D．4
B
P
O
M
N
A
Q
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗 也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗
探究新知
探究新知
交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？
C
A
B
O
D
E
P
猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：
验证
这个点在这个角的平分线上.
如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
A
B
O
D
E
P
C
证明：如图，经过点 P 作射线 OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴ △OPD ≌ △OPE（HL）
∴∠AOC =∠BOC
A
B
O
D
E
P
C
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角的平分线的判定定理
几何语言：
A
B
O
D
E
P
C
位置关系
数量关系
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
1
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
2
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
归纳
练习
1. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE.
教材P51练习 第1题
C
A
B
D
E
F
教材P51练习 第1题
C
A
B
D
E
F
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.
在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，
∠ABD =∠CED，
AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
∴BD = ED.
又 AB⊥CD，CE⊥AD，
∴FD 平分∠BFE.
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
△ABC 的三条角平分线交于一点.
C
A
B
M
N
P
点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等
要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
探究新知
C
A
B
M
N
P
教材P51 例题
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
E
F
D
C
A
B
M
N
P
教材P51 例题
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
E
F
D
三角形三条角平分线的关系
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.
三角形内部到三边距离相等的点是
三条角平分线的交点.
到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？
4个
P1
P4
P2
P3
三角形三个内角的平分线的交点 P1；
三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4.
拓展
教材P51练习 第2题
如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；
点 P 在∠A 的平分线上.
C
A
B
D
E
F
G
P
练习
教材P51练习 第2题
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ.
同理，PH = PI，
∴PJ = PI = PH，
即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
教材P51练习 第2题
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，
∴点 P 在∠A 的平分线上.
角平分线的性质 角平分线的判定
图示
已知条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
归纳
例题与练习
例1　如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°.
又∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，
∴△BDF≌△CDE(AAS)，
∴DF＝DE.
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AD平分∠BAC.
B
F
D
E
A
C
例2　如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACN的平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．
证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，
∴DE＝DF，DG＝DF，
∴DE＝DG，
∴AD平分∠EAC，
即AD是△ABC的外角∠CAH的平分线．
H
D
A
C
B
N
F
E
G
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？
请证明你的结论；
B
A
C
D
M
E
解：(1)AM平分∠BAD.
证明如下：过点M作ME⊥AD于点E.
又∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，
∴ME＝MC.
∵M是BC的中点，
∴MC＝MB，∴ME＝MB.
又∵ME⊥AD，∠B＝90°，
∴AM平分∠BAD；
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(2)求证：CD＋AB＝AD；
B
A
C
D
M
E
(2)易证Rt△MCD≌Rt△MED，Rt△MBA≌Rt△MEA，
∴DE＝CD，AB＝AE.
又∵AD＝AE＋DE，
∴CD＋AB＝AD；
例3　如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(3)若BC＝12，AD＝13，求S梯形ABCD.
B
A
C
D
M
E
(3)由(2)易得CD＋AB＝AD＝13，
∴S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC
＝ ×13×12
＝78.
课堂小结
角平分线的判定
内容
作用
结论
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
判断一个点是否在角的平分线上
随堂检测
1．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．50° B．55°
C．60° D．80°
B
P
B
A
C
O
N
M
2．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
A
O
P
B
Q
M
N
A
证明：过点B作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
∵△BCD与△BEF的面积相等，
∴ DC·BM＝ EF·BN.
∵DC＝EF，
∴BM＝BN，
∴AB平分∠CAF.
3．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．
求证：AB平分∠CAF.
B
E
D
A
C
F
N
M

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