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人教版 八年级 数学（上）
第十五章　轴对称
15．1　图形的轴对称
15．1.1　轴对称及其性质
新课导入
在现实世界中，对称现象是普遍存在的，初步掌握对称的知识，不仅能使我们感受到自然界的美与和谐，还可以帮助我们发现一些图形（如等腰三角形）的性质，并能根据自己的设计创造出对称作品，丰富生活．
等腰三角形
物与水中倒影
蝴蝶
你能举出一些对称的图形吗？
奥迪车标志
新课导入
新课导入
四合院
徽派建筑
岭南建筑
江南民居
新课导入
探究新知
各自拿出一张纸对折，随意剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再展开、铺平，仔细观察剪出的整个图案.
探究新知
观 察
图中是 3 种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的. 观察这些窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
都是对称的.
把这几个图案再沿折痕折叠回去，折痕两旁的部分是否完全重合？
能够完全重合.
对称轴要用虚线
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点
这时，也说这个图形关于这条直线对称.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形
这条直线就是它的对称轴
如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
一个图形可能有不止一条对称轴
教材P64练习 第1题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
练习
判断下面图形是不是轴对称图形，并找出它们的对称轴.
角
等边三角形
等腰三角形
等腰梯形
圆
正五边形
正方形
正六边形
练习
名称 图形及其对称轴 条数 对称轴
角 1 角平分线所在的直线
等腰 三角形 1 底边上的高(底边上的中线或顶角平分线)所在的直线
等边 三角形 3 各边上的高(各边上的中线或各内角平分线)所在的直线
等腰 梯形 1 过上、下底
中点的直线
常见轴对称图形及其对称轴
名称 图形及其对称轴 条数 对称轴
圆 无数 过圆心的直线
正方形 4 ①对角线所在的直线
②过对边中点的直线
正五边形 5 过顶点与对边中点的直线
正六边形 6 ①过相对的两顶点的直线；
②过对边中点的直线
常见轴对称图形及其对称轴
观 察
下面的每对图形有什么共同特点？
每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.
探究新知
请你标出右图中点 A，B，C 的对称点 A′，B′，C′.
A′
B′
C′
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.
这条直线叫作对称轴.
折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.
如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点.
A
A′
A
A′
教材P64练习 第2题
这是我们学过的哪种变换？
平移
练习
思 考
轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？
区别 联系
轴对称图形 一个图形本身的特性 对称点在 同一个图形上
两个图形成轴对称 两个图形的位置关系 对称点分别在两个图形上 轴对称图形
两个图形关于 对称轴成轴对称
对称部分看成两个图形
看成一个整体
如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，点 A′，B′，C′ 分别是点 A，B，C 的对称点.
两个三角形全等吗？
△ABC 和△A′B′C′ 能重合，所以全等.
根据定义，成轴对称的两个图形全等.
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
线段 AA′，BB′，CC′ 与直线 MN 有什么关系？
P
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
1. 线段 AA′ ：
图中，点 A 与 A′是对称点，
设 AA′ 交 MN 于点 P，将△ABC 或△A′B′C′ 沿 MN 折叠后，点 A 与 A′ 重合 . 于是有
探 究
AP = A′P，∠MPA = ∠MPA′ = 90°.
即 直线 MN 经过 AA′ 的中点，且 MN⊥AA ′.
探究新知
P
A
C
B
A′
C′
B′
M
N
2. BB′，CC′ 与 MN 也有类似的关系吗？
探 究
直线 MN 经过 BB′，CC′ 的中点，且 MN⊥BB′，MN⊥CC′.
轴对称的性质：
成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
探究新知
轴对称图形中也有同样的性质吗？
A
B
A′
B′
l
思路：将这个五边形沿 l 分成两个图形，转化成成轴对称的两个图形，再由轴对称的性质可知：
直线 l 经过AA′，BB′ 的______，且 l ____ AA′，l ____ BB′.
中点
⊥
⊥
思 考
轴对称的性质
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
A
B
l
直线 l 是线段 AB 的垂直平分线
无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对应点所连线段的垂直平分线.
教材P65练习 第3题
如图，线段 AB 与 A′B′ 关于直线 l 对称，AA′ 交直线 l 于点 O，连接 BO，B′O.
(1) 图中相等的线段有：
_______________________________，
线段 AA′ 的垂直平分线是 ______；
(2) △OAB 和△OA′B′ 关于直线
l ________，△OAB _____△OA′B′，
∠ABO = _______，∠A′OB′ =________.
A
B
A′
B′
l
O
AB = A'B'，AO = A'O，BO = B'O
直线 l
对称
≌
∠A'B'O
∠AOB
练习
例题与练习
例1　在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形，下面四个美术字可以看作轴对称图形的是 ( )
D
例2　如图，两个四边形关于直线l对称，∠C＝90°，试写出a，b的长度，并求出∠G的度数．
G
A
D
C
B
E
F
H
5 cm
4 cm
a
b
l
80°
135°
解：∵两个四边形关于直线l对称，
∴a＝5 cm，b＝4 cm.
∴∠H＝∠C＝90°，
∠A＝∠F＝80°，
∠E＝∠B＝135°，
∴∠G＝360°－∠H－∠F－∠E
＝360°－90°－80°－135°＝55°.
G
A
D
C
B
E
F
H
5 cm
4 cm
a
b
l
80°
135°
例3　如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)指出两个三角形中的对称点；
(2)指出图中相等的线段；
(3)图中还有对称的三角形吗？
解：(1)点B和点D，点C和点E，点A和点A；
(2)AC＝AE，AB＝AD，BC＝DE，BF＝DF，CF＝EF；
(3)有，△AFB和△AFD，△AEF和△ACF.
A
B
C
D
E
F
N
M
课堂小结
轴对称
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别与联系
性质
垂直平分线
随堂检测
1．如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对称，则以下结论错误的是 ( )
A．AB∥DF　　　　　　　
B．∠B＝∠E
C．AB＝DE
D．AD的连线被MN垂直平分
2．若△ABC与△DEF关于直线m对称，AB＝4，BC＝6，△DEF的周长是15，则AC＝　　.
A
5
A
B
C
D
F
E
M
N
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H为各边中点，阴影三角形与哪些三角形成轴对称？它们分别以哪条直线为对称轴？
解：阴影三角形与三角形1，3，5，7成轴对称，对称轴分别为直线BD，GH，AC，EF.
1
2
3
4
5
6
7
A
B
C
D
H
E
F
G

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