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人教版 八年级 数学（上）
15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　
线段的垂直平分线的性质和判定
新课导入
1．经过线段　 　并且　 　于这条线段的
　 　，叫作这条线段的垂直平分线．
2．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其　 　都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线．
中点
垂直
直线
对称轴
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？
探 究
A
B
l
P1
P2
P3
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
探究新知
如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？
A
B
l
P1
P2
P3
都重合，都分别相等.
P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······
猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
已知：
一个点在一条线段的垂直平分线上.
求证：
验证
这个点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
l
P1
P2
P3
如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB.
A
B
l
P
C
证明：当点 P 与点 C 不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB .
又 AC = BC，PC = PC，
∴△PCA ≌△PCB (SAS).
∴ PA = PB.
当点P与点C重合时，显然成立
几何语言：
∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上，
∴PA = PB.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
线段的垂直平分线的性质
A
B
l
P
C
教材P67练习 第1题
1.如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
E
D
C
练习
教材P67练习 第1题
解：AB = AC = CE，AB + BD = DE. 理由：
∵AD⊥BC，BD = DC，
∴AD 是 BC 的垂直平分线. ∴AB = AC.
又点 C 在 AE 的垂直平分线上，
∴AC = CE.
∴AB = AC = CE.
又 BD = DC，
∴AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
A
B
E
D
C
练习
思 考
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
已知：如图，在△ABP 中 PA = PB.
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
A
B
P
证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°．
在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中，
∵PA = PB，PC = PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)．
∴AC = BC．
又 PC⊥AB，
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
A
B
P
C
A
B
P
C
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
几何语言：
∵ PA = PB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定
2. 如图，AB = AC，MB = MC. 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？
教材P67练习 第2题
A
B
M
C
解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
理由：∵AB = AC，
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.
∵MB = MC，
∴点 M 也在线段 BC 的垂直平分线上，
∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线.
练习
名称 角平分线 线段垂直平分线
图示
性质
判定
角的平分线与线段的垂直平分线
C
A
B
O
D
E
P
A
B
P
C
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
思 考
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
两个命题的题设、结论正好相反.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
互逆命题与互逆定理
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
线段的垂直平分线的性质与判定
“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
两个命题的题设、结论正好相反.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
线段的垂直平分线的性质与判定
角的平分线的性质与判定
“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”
······
互逆命题与互逆定理
教材P67练习 第3题
3. 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1) 两直线平行，同位角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3) 全等三角形的对应角相等 .
同位角相等，两直线平行.
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.
如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
成立
不成立
不成立
练习
例题与练习
例1　如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝CE.
∵AB＝5 cm，BD＝3 cm，
∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝BD＝3 cm，
∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm).
A
B
C
D
E
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数；
解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z.
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ.
由轴对称的性质可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.
A
M
N
B
C
Q
P
∵∠BAC＝80°，
∴∠B＋∠C＝100°，
即x＋y＋z＝80°，
x＋z＋x＋y＝100°.
∴x＝20°.
∴∠PAQ＝20°；
A
M
N
B
C
Q
P
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)∵△APQ的周长为12，
∴AQ＋PQ＋AP＝12.
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ＋PQ＋PB＝12，
即CQ＋BQ＋2PQ＝12.
∴BC＋2PQ＝12.
A
M
N
B
C
Q
P
例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求PQ的长．
又∵BC＝8，
∴PQ＝2.
例3　写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)若a＝b，则a2＝b2；
(3)如果一个三角形是直角三角形，那么两个锐角互余．
解：(1)如果内错角相等，那么这两条直线平行，真命题；
(2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命题；
(3)如果在一个三角形中的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题．
课堂小结
线段的垂直平分线
性质
互逆命题、互逆定理
判定
随堂检测
1．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E.若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为　 ( )
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
C
A
B
C
E
D
2．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　 　.．
16
A
B
C
E
D
3．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在　 　的垂直平分线上．
AC
A
B
C
D

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