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2024-2025学年安徽省合肥市第一中学高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，方程有解，则为( )
A. ，方程无解 B. ，方程有解
C. ，方程无解 D. ，方程有解
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. 且 D.
5.已知每门大炮击中某目标的概率是，现在门大炮向此目标各射击一次如果此目标至少被击中一次的概率超过，至少需要大炮的门数是参考数据：，
A. B. C. D.
6.函数的定义域为，对任意的，，都有成立，且函数为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
7.已知随机事件，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 最小值为 D.
11.已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对一个零件进行n次尺寸测量,以n次测量结果的平均值作为该零件尺寸的最后结果.记零件尺寸的最后结果的随机变量为X,若X~N(50,),为使零件尺寸的最后结果在(49.6,50.4)内的概率不小于0.9545,则至少需要测量 次.(若X~N(,),则P(-2< X<+2)=0.9545)
13.从编号为，，，的四个元素中取出个元素，排在编号为，，的位置上每个位置只排一个元素则：元素的编号与所处位置的号码不相同的排法 ．
14.若不等式对任意正数恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
求
已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为年到年某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额单位：亿元对年盈利额单位：亿元的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：
，其中，均为常数，为自然对数的底数．
令，经计算得如下数据：，，，，，，，问：
建立关于的回归方程系数精确到
若希望年盈利额为亿元，请预测年的研发资金投入额约为多少亿元结果精确到
附：回归直线中：，
参考数据：，．
17.本小题分
月日某中学进行了以“数学对”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行。初赛环节规则如下：每位选手从道题中随机抽取道题作答，道题全部答对的选手晋级决赛。决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得分，抢到题目但回答错误扣分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰．
若某选手对于初赛环节中的道题目，只有道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望
已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于分的概率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值
讨论函数的单调性．
19.本小题分
已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．
求双曲正弦函数在处的切线方程
证明：当时，
证明：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.25
13.
14.
15.解：解不等式，得，得，即，
解不等式，得，得，即，
所以；
由 ，
当即时，，
由是的充分不必要条件，可得是的真子集，故不合题意，
当即时，，由是的充分不必要条件，可得是的真子集，故不合题意，
当即时，，
由是的充分不必要条件，可得是的真子集，故，解得，
综上得，
所以实数的取值范围是．

16.解：令，则．
因为，，所以，
而，，因此 ，
所以，即，
所以 关于的回归方程为．
把代入回归方程得：，
两边取自然对数得，即，
因此由参考数据得：，解得亿元．
17.解：设初赛答对题目数量为随机变量，则可能取值为，
，
，
，
，
因此的分布列为：
期望．
设每轮得分为，则可能取值为：，，，
则，，．
因为总得分，所以要求，则可能的得分组合为：
三次都得分：，
两次得分，一次得分：，
两次得分，一次得分：，
因此甲在决赛中总得分大于分的概率为：．
18.解：当时，函数，定义域为，
因此，
所以由得；由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为．
因为函数，定义域，
所以．
令，
一当，即时，，
因此，所以函数在上单调递增；
二当，即时，
因为函数图象开口向上，对称轴为，
所以：当，即时，
函数只有一个零点，
因此当时，，；
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
函数有两个零点、，
因此当或时，，；
当时，，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
19.解：因为，所以，
因此，，
所以双曲正弦函数在处的切线方程为：，即．
证明：令，
则当且仅当时取等号，
而，因此，所以函数是增函数，
所以，即，
因此当时，．
证明：由知：当时，，
因此当、时，．
因为当、时，，所以、，
因此由得：，即，
所以．
因为当时，，
所以当时，，
因此当、时，
，
所以
，
因此，
所以
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