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2024-2025 学年陕西省渭南高级中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = 2 3 ，则sin +5 =( )
A. 1 1 511 B. 11 C. 7 D.
5
7

2.已知复数 满足(1 ) = 2 + ，则复数 的虚部为( )
A. 32 B.
3 3 3
2 C. 2 D. 2
3.设 ， 是直线 上两点，则“ ， 到平面 的距离相等”是“ // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 1 .把函数 = 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移6个单
位长度，得到函数 = ( )的图象，则 ( ) =( )
A. cos(2 6 ) B. cos(2

3 ) C. cos(
1
2

6 ) D. cos(
1
2

12 )．
5.三棱锥 ，侧棱 ⊥平面 ，底面是一个边长为 2 的正三角形，二面角 为4，则该三
棱锥的体积为( )
A. 1 B. 3 C. 2 33 D. 3
6.已知直线 ， 是两条不同的直线，平面 ， ， 是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 1//
B.若 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，则 ⊥
C.若 ， ，1// ， // ，则 //
D.若 1// ，1// ，则 //
7.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头
部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代
哲学中的矛盾对立统一规律.图 2(正八边形 )是由图 1(八卦模型图)抽象并以正八边形
的中心 为旋转中心顺时针旋转8而得到，若 = + ，则 + =( )
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A. 2 B. 3 3 22 C. 2 D. 2
8 .已知函数 ( ) = cos( + 4 )( > 0)在区间(0, 4 )内有且仅有一个 0，使得 ( 0) ≤ ( )，则 的最大值为
( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, )，则( )
A.当 = 2 时， + = ( 1,4)
B.若 // ，则 = 1
C.若 ⊥ ，则 = 1
D.若 与 的夹角为钝角，则 ∈ ( ∞, 4) ∪ ( 4,1)
10.下列命题正确的是( )
A.若复数 = (1 )(2 )，则| | = 10
B.复数 = 1 + ，则 是纯虚数

C. 3 > 2
D.若复数 满足| 1| = 2，则| 1 3 |的最小值为 1
11.在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°，且 = = 1 = 2， 为线段
上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 1 ⊥ 1
B. 异面直线 1 与 1 所成角的取值范围为[ 4 , 3 ]
C. | 1 | + | 1 |的最小值为 3 + 5
D.该直三棱柱的外接球的体积为 4 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一个圆锥的高为 1，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的表面积为______．
13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北 30°的方向上，
行驶 600 后到达 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 = .

14.在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 是边 上的一点，∠ = 2 = 3 且 | | | ， |
4 + = 4.则 的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知平面向量 = ( 2,4)，| | = 5， , = 3．
(1)求|2 + |；
(2)求 与 2 + 夹角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足 + = 2．
(1)求 ；
(2) = 3若 3， △ = 4 ，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
如下图，在矩形 中， = 4， = 2， 为 的中点，沿 将△ 折起到△ 1 的位置，使平面
1 ⊥平面 . 为线段 1 的中点．
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(1)求证： //平面 1 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正切值．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + ) + ( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 若 0 < < < 2，cos( ) =
13 9
14， ( 2 + 12 ) = 7，求 ；
(3) ( ) = 1 2 + 2 1 ∈ [ , 设 2 ，若对任意的 1 2 2 ]， 2 ∈ [ 6 , 12 ]，都有 ( 1) < ( 2)，求正
实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图，设 ∈ (0, ) ∪ ( 2 2 , )，当∠ = 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系.在 的斜坐标系中，任意一点
的斜坐标这样定义：设 1， 2分别为 ， 正方向同向的单位向量，若向量 = 1 + 2，则记向量 =
( , ). = 在 3的斜坐标系中.若向量 ，
的斜坐标分别为( 2 , 3 2 )和(1, 1)， ∈ ，设函数 ( ) =
， ( ) = + ， ( ) = + ( + 8 6 )．
(1)求 ( )的对称轴方程．
(2)证明： ( )有且只有一个零点 0．
(3)判断 (sin 54 0)与2的大小关系，并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 2 + 1)
13.100 6
14.49
2
15.(1)根据题意及向量数量积的运算律可知，|2 + | = (2 + )2 = 4 2 + 4 + =
80 + 20 + 5 = 105；
(2)根据向量夹角公式及数量积的运算可知，
(2 +
2
2 + cos , 2 + = ) = +2
= 5+10 21与 的余弦值为：
| ||2 + | | ||2 + | 5× 105
= 7 ．
16.解：(1)由正弦定理及 + = 2，得 + = ，
所以 sin( + ) = = ，
因为 ≠ 0，所以 = 1．
(2) 3 1 1 因为 △ = 4 = 2 = 2 3，所以 = 1，
由余弦定理知， 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 3 ，
所以 1 = ( + )2 3，即 + = 2，
所以△ 的周长为 + + = 1 + 2 = 3．
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17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
则 // ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 平面 ，而 平面 ，
所以 //平面 ；
由 为线段 1 的中点， 为线段 的中点，
则 // 1 ，
又 平面 ，而 1 平面 ，
所以 1 //平面 ，
又 1 ∩ = ，且 1 ， 平面 1 ，
所以平面 //平面 1 ，
又 平面 ，
所以 //平面 1 ．
(2)根据题意及(1)可知四边形 是一个直角梯形，
1
又 = 2 = 2， = = 2， = 2，
则 = 2 + 2 = 2 2， = 2 + 2 = 2 2，
所以 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
又平面 1 ⊥平面 ，平面 1 ∩平面 = ，
又 平面 ，则 ⊥平面 1 ，
所以直线 与平面 1 所成的角为直线 与直线 所成的角，
即∠ 是直线 与平面 1 所成的角，
在 △ 1 11 中，∠ 1 = 90°， 1 = = 2， 1 = 2 1 = 2 = 1，
则 = 21 + 21 = 22 + 12 = 5，
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所以在 △ 中，tan∠ = =
2 10，
5
故直线 与平面 所成角的正切值为2 101 ．5
18.(1)由 ( ) = ( + ) 7 2 的部分图象知， = 2 × ( 12 12 ) = ，则 = = 2，
+ = 3 = 2
由图知 + = 1，可得 = 1，则 ( ) = 2 (2 + ) + 1，

又 2 × 12 + = 2 + 2 , ∈

，可得 = 3 + 2 , ∈ ，| | < 2，则 = 3，
所以 ( ) = 2 (2 + 3 ) + 1；
(2)由题设 ( 2 +

12 ) = 2 ( + 6 + 3 ) + 1 = 2 + 1 =
9
7，得 =
1
7，
0 < < < 13由 2，则 0 < < 2，且 cos( ) = 14，
3 3 4 3
可得 sin( ) = 14 ， = 7 ，
所以 = sin[ ( )] = ( ) ( ) = 4 3 × 137 14
1 3 3 3
7 × 14 = 2 ；
(3) 由题意， 1 ∈ [ 2 , 2 ]， 2 ∈ [ 6 , 12 ]，则 ( 1) < ( 2) ，
由 2 + 12 3 ∈ [0, 6 ]，则 sin(2 2 + 3 ) ∈ [0, 2 ]，故 ( 2) = 1，
( ) = 1由 2 2 + 2 1 = sin
2 + 2 1 2 22 = ( ) +
1
2，而 = 1 ∈ [ 1,1]，
所以 ( ) = ( ) = ( )21 + 2
1
2，
当 0 < < 1 ( ) 2 1 2 1，则 1 = ( ) = 2，此时 2 < 1 恒成立，满足；
当 ≥ 1 3 3 5 5，则 ( 1) = (1) = 2 2，此时 2 2 < 1，解得 < 4，所以 1 ≤ < 4，满足；
5
所以 的取值范围是{ |0 < < 4 }.
19.(1) 1由题意| 1| = | 2| = 1， 1 2 = 1 × 1 × cos 3 = 2，
( ) = = ( 2 1 + 3 2 2) ( 1 2)
= 2 1
2 + ( 3 2 2 ) 1 2 3 2
2
2
1
= 2 + 2 ( 3 2 2 ) 3 2
= 1 32 2 2 2 = cos(2 +

6 )，
由 2 + 6 = ( ∈ )，得 =

2

12 ( ∈ )，
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= 所以对称轴方程为 2 12 ( ∈ )；
(2)证明：由(1)得 ( ) = + ( 8 +

6 ) = + sin 4 ，其定义域是(0, + ∞)，

当 ∈ (0,2]时， = 与 = sin 4 均为增函数，
故 ( )单调递增，且 (1) = sin 4 > 0, (
1
2 ) = ln
1
2 + sin

8 = sin

8 2，
2 = 1 1 12 4 > 2 = 2，sin

8 < sin
= 1 16 2，则 ( 2 ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上有且只有一个零点，
∈ (1,4]时， > 0, sin 4 ≥ 0，所以 ( ) > 0，无零点，
> 4 时， > = 1， 1 ≤ sin 4 ≤ 1， ( ) > 0，无零点，
综上，在(0, + ∞)上， ( )有且只有一个零点 0；
(3)由(2)sin 4 0 = 0， (sin
) = 4 0
0 + 0 = 1 + 0，0
1 1 1 1 5由 0 ∈ ( 2 , 1)，又 0 + 在( 2 , 1)上单调递减，所以 0 + ∈ (2, 2 )，0 0
所以 (sin 54 0) < 2．
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