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专题强化练4　动态平衡及临界、极值问题
一、选择题
1.(多选)如图所示,一个人在半球形屋顶上向上缓慢爬行,关于屋顶对他的支持力和摩擦力的大小变化,下列说法正确的是(　　)
A.支持力不变　　　B.支持力变大
C.摩擦力不变　　　D.摩擦力变小
2.如图所示,足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接,平板AP与水平面成53°角固定不动,平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动,将一均匀圆柱体O放在两板间。在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.当BP沿水平方向时,BP板受到的压力最大
B.当BP沿竖直方向时,AP板受到的压力最大
C.当BP沿竖直方向时,BP板受到的压力最小
D.当BP板与AP板垂直时,AP板受到的压力最小
3.如图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左侧紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B,整个装置处于静止状态。若把A向右缓慢移动少许后,它们仍处于静止状态,则(　　)
A.墙受到的压力大小不变
B.A与B之间的作用力减小
C.A受到的摩擦力增大
D.A与地面之间的压力减小
4.(多选)如图所示,绳与杆均不计重力,所承受弹力的最大值一定,A端用铰链固定,滑轮O在A点正上方(滑轮大小及摩擦均可忽略),B端吊一重物P,现施加拉力F,将B缓慢上拉(均未断),在杆到达竖直位置前,下列说法中正确的是(　　)
A.绳子的拉力越来越大
B.绳子的拉力越来越小
C.杆的支持力越来越大
D.杆的支持力大小不变
5.竖直放置的“”形支架上,一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G,现将轻绳的一端固定于支架上的A点,另一端从与A点等高的B点沿支架缓慢地向C点移动,则绳中拉力大小变化的情况是(　　)
A.先变小后变大　　　B.先不变后变小
C.先不变后变大　　　D.先变大后变小
6.质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上,其右端固定一个竖直挡板AB,在P上放两个大小相同的光滑小球C和D,质量均为m,整个装置的纵截面如图所示。开始时P的半圆截面的圆心与C的球心连线同水平面的夹角为θ,与D的球心连线处于竖直方向。已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
A.P和挡板对C的弹力分别为和
B.地面对P的摩擦力大小为零
C.使挡板缓慢地向右平行移动,但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中,则地面对P的摩擦力将不断增大
D.使挡板绕B点顺时针缓慢转动,P始终保持静止,则D一定缓慢下滑
7.(多选)如图所示,顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平地面上,A、B两物体通过细绳连接,并处于静止状态(不计绳的质量和滑轮轴的摩擦)。现用水平向右的力F作用于物体B上,将物体B缓慢拉高一定的距离,此过程中斜面体与物体A仍然保持静止。在此过程中(　　)
A.地面对斜面体的摩擦力不变
B.斜面体所受地面的支持力一定变大
C.水平力F一定变大
D.物体A所受斜面体的摩擦力不一定变大
二、非选择题
8.如图所示,质量为m=1.6 kg的砝码通过轻绳悬挂在轻绳PA和PB的结点P处并处于静止状态,PA与竖直方向的夹角为37°,PB水平。质量为M=2 kg的木块与PB相连,木块在水平力F的作用下,静止于水平桌面上,木块与桌面间的动摩擦因数μ=0.4,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)轻绳PA的拉力F1的大小和PB的拉力F2的大小;
(2)拉力F的最大值与最小值。
9.如图所示,一个质量为M的光滑斜面体置于水平面上,斜面体倾角为α=30°,斜面体的斜面足够长。质量为m的小球被细线系住放在斜面体上,细线与水平面成β角。初始时β=60°,斜面体在水平推力F的作用下保持静止状态。(重力加速度为g)
(1)画出小球受力示意图。
(2)试求小球所受细线的拉力大小和斜面体对小球的支持力大小。
(3)现用水平力F向左缓慢地推斜面体,使角β逐渐减小(β≥α)。当β多大时,细线的拉力最小 并求出此时的最小拉力大小和水平推力F的大小。
答案全解全析
专题强化练4
动态平衡及临界、极值问题
1.BD　以人为研究对象,作出其受力分析图如图所示,设人的重力为G,根据平衡条件知,屋顶对他的摩擦力f=G sin θ,屋顶对他的支持力N=G cos θ,人在半球形屋顶上向上缓慢爬行的过程中,θ减小,则摩擦力f减小,支持力N增大,故B、D正确,A、C错误。
2.B　BP板转动过程中,圆柱体受重力、平板AP的支持力F1和平板BP的支持力F2,如图
圆柱体一直处于平衡状态,三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线,故F1和F2的合力一定与重力等值、反向、共线。从图中可以看出,当挡板BP逆时针缓慢地转向竖直位置的过程中,F1越来越大,F2先变小,后变大;由几何关系可知,当BP沿竖直方向时,BP板、AP板对圆柱体的支持力达到最大,故BP板、AP板受到的压力达到最大,故A、C错误、B正确;当BP板与AP板垂直时,BP板受到的压力最小,故D错误。
3.B　球B受重力、A的支持力F1和墙壁的弹力F2,如图甲所示,设F1与竖直方向的夹角为θ,将重力G分解为G1和G2,则根据平衡条件可知,F1=G1=,F2=G2=G tan θ。当A向右缓慢移动少许时,根据几何关系可知,A对球B的支持力F1与竖直方向的夹角θ减小,所以cos θ增大,tan θ减小,故墙壁对球B的弹力F2减小,A对球B的支持力F1减小,根据力的相互性可知,球B对墙壁的压力减小,球B对A的压力也减小,故A错误,B正确;对A、B整体进行受力分析,如图乙所示,由平衡条件可知A受地面的摩擦力f=F2,则f减小,地面对A的支持力FN等于A、B的重力之和,大小不变,C、D错误。
4.BD　以B点为研究对象,分析受力情况:重物的拉力T(大小等于重物的重力G)、轻杆的支持力N和绳子的拉力F,作出受力示意图如图:
由平衡条件得知,N和F的合力与T大小相等、方向相反,根据相似三角形可得==,又T=G,解得N=G,F=G,使∠BAO缓慢变小时,AB、AO保持不变,BO变小,则N保持不变,F变小,故B、D正确,A、C错误。
方法技巧
本题涉及非直角三角形的动态平衡问题,采用三角形相似,可得力与几何三角形边长的关系,通过分析几何三角形边长的变化得出力的变化,这是解答此类问题常用的方法。
5.B　在轻绳一端从B点到支架的最上端的过程中,设两绳的夹角为2α,绳子总长为L支架左右,两竖直杆间的距离为S,由数学知识得到 sin α=,L、S不变,则α保持不变。再根据平衡条件可知,两绳的拉力F保持不变。在轻绳的右端从竖直杆的最上端移到C点过程中,设两绳的夹角为2θ,以滑轮为研究对象,分析受力情况,如图所示,根据平衡条件得2F cos θ=mg,得到绳子的拉力F=;在轻绳的右端从竖直杆的最上端移到C点的过程中,θ减小,cos θ增大,则F变小。
6.C　对D受力分析,D受到重力mg和P的支持力N,对C受力分析,C受到重力mg、挡板AB的支持力N1和P对C的支持力N2,如图所示,根据平衡条件,得N1=,N2=,选项A错误;以P、C、D整体为研究对象,进行受力分析,受到重力、挡板AB的弹力N1、地面的支持力N3和地面的静摩擦力Ff,根据共点力平衡条件,有N3=(M+2m)g,Ff=N1,选项B错误;使挡板缓慢地向右平行移动,由于θ不断减小,故Ff不断增大,选项C正确;由于P的半圆截面的圆心与D的球心连线处于竖直方向,当使挡板绕B点顺时针缓慢转动时,小球D可继续保持静止,选项D错误。
7.CD　取物体B为研究对象,分析其受力情况如图,则有F=mg tan θ,T=,在物体B被缓慢拉高的过程中,θ增大,则水平力F随之变大,细绳的拉力T也增大,故C正确。对A、B两物体与斜面体这个整体受力分析,受重力、支持力、水平力F和静摩擦力,根据平衡条件,有f=F,F增大,摩擦力增大,故A错误。斜面体所受地面的支持力N=(M+m)g,保持不变,故B错误。在这个过程中尽管绳子张力变大,但是由于开始并不知道物体A所受斜面体的摩擦力的方向,故物体A所受斜面体的摩擦力的情况无法确定,D正确。
导师点睛
先隔离B分析,通过共点力平衡判断绳子拉力和F的大小变化;再对整体分析,判断摩擦力及支持力的变化。
8.答案　(1)20 N　12 N
(2)20 N　4 N
解析　(1)对P点受力分析,结合平衡条件得
F1 cos 37°=mg,F1 sin 37°=F2
代入数据解得
F1=20 N,F2=12 N
(2)对木块受力分析,木块在水平方向受F、F2和摩擦力,三力平衡,F最大时,摩擦力为最大静摩擦力,方向水平向右,有
Fmax=F2+μMg
解得Fmax=12 N+0.4×2×10 N=20 N
F最小时,摩擦力为最大静摩擦力,方向水平向右,有Fmin+μMg=F2解得Fmin=12 N-0.4×2×10 N=4 N。
9.答案　(1)图见解析　
(2)mg　mg
(3)30°　mg　mg
解析　(1)小球受力如图1所示
(2)对小球受力分析,如图2所示
sin β=
cos α=
解得T=mg,N=mg
(3)由图3知,当细线与斜面平行,即β=α=30°时,细线拉力最小,得
sin α=
解得T=mg
对小球和斜面体整体受力分析,如图4所示,在水平方向,有
F=T·cos β
解得F=mg
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