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第六节　共点力的平衡条件及其应用
共点力的平衡
1.共点力:如果几个力作用在物体的同一点上,或者几个力的作用线交于一点,这
几个力就称为共点力。
2.平衡状态:物体处于静止或保持匀速直线运动的状态。
3.共点力的平衡:物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态,就叫作共点力的平
衡。
共点力的平衡条件
1.平衡条件:为了使物体保持平衡状态,作用在物体上的力所必须满足的条件。
2.二力平衡:是指物体在两个共点力的作用下处于平衡状态,其平衡条件是这两个
力的大小相等、方向相反,作用在同一直线上。
3.多力平衡:物体在多个共点力作用下平衡时,合力总等于零。
共点力平衡条件的应用
利用共点力平衡条件解题的一般步骤:
(1)确定研究对象;(2)进行受力分析;(3)选取研究方法(整体法或隔离法);(4)利用平
衡条件建立方程;(5)解方程求结果。
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.共点力一定作用于物体上的同一点。(　 )
2.平直道路上高速匀速行驶的赛车处于平衡状态。 (　 )
3.所受合力保持恒定的物体处于平衡状态。 (　 )
共点力不一定作用于物体上的同一点,也可能是力的作用线交于一点。

赛车沿平直道路高速匀速行驶,合力为零,故赛车处于平衡状态。
√
当合力恒定且不为零时,物体的速度会发生变化,物体处于非平衡状态。

共点力平衡条件的理解及应用
1.对共点力作用下物体平衡条件的理解
(1)共点力作用下物体的平衡条件有两种表达:F合=0或 。
其中Fx合和Fy合分别表示将物体所受的力正交分解后在x轴和y轴上的合力。
(2)平衡条件的推论
①二力平衡:若物体在两个力作用下处于平衡状态,则这两个力一定等大、反
向、共线。
②三力平衡:若物体在三个共点力作用下处于平衡状态,则任意两个力的合力与
第三个力等大、反向。
③多力平衡:若物体在n个共点力作用下处于平衡状态,则其中任意一个力必定与
另外(n-1)个力的合力等大、反向。
2.静态平衡问题的处理方法
方法 内容
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反,作用线在同一直线上
效果 分解法 物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交 分解法 物体受到三个或三个以上力的作用而平衡,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件
力的三 角形法 对受三力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
3.动态平衡问题的处理方法
方法 步骤
解析法 (1)选某一状态对物体进行受力分析;
(2)将物体所受的力按实际效果分解或正交分解;
(3)列平衡方程求出未知量与已知量的关系式;
(4)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)选某一状态对物体进行受力分析;
(2)根据平衡条件画出力的平行四边形或三角形;
(3)根据已知量的变化情况画出平行四边形或三角形的边角变化;
(4)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)选某一状态对物体进行受力分析;
(2)画出对应的力的三角形和空间几何三角形,确定对应边;
(3)利用相似三角形知识列出对应的比例关系式;
(4)根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况
典例　如图所示,物体的质量为2 kg,两根轻绳AB和AC【1】的一端连接于竖直墙上,
另一端系于物体上,在物体上另施加一个方向与水平方向成θ=60°的拉力F,若要
使两绳都能伸直【2】,求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)。

信息提取 【1】轻绳的弹力方向沿绳,指向绳收缩的方向。
【2】两绳都伸直,则两绳上的拉力最小值为零。
思路点拨　对物体进行受力分析,作出其受力示意图,根据共点力的平衡条件【3】,
求出使两绳都能伸直的拉力的临界值【4】,然后确定其范围。
解析 分析物体的受力情况(由【1】得到),并建立坐标系如图:

由平衡条件得
在y轴方向:F sin θ+F1 sin θ-mg=0
在x轴方向:F cos θ-F2-F1 cos θ=0(由【3】得到)
由上述两式得F= -F1
F= +
令F1=0,得F最大值Fmax= = N
令F2=0,得F最小值Fmin= = N(由【4】得到)
综合得出F的取值范围为 N≤F≤ N。
答案 N≤F≤ N第六节　共点力的平衡条件及其应用
基础过关练
题组一　平衡状态及平衡条件
1.(多选)下面关于平衡状态的说法正确的是(　　)
A.如果物体的运动速度为零,则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变,则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态,则物体沿任一方向的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
2.下列共点力作用在物体上,一定不能使物体保持平衡的是(　　)
A.1 N、2 N、3 N　　　B.12 N、12 N、12 N
C.4 N、5 N、10 N　　　D.4 N、8 N、8 N
3.如图所示的水平面上,橡皮绳一端固定,另一端连接两根弹簧,连接点P在F1、F2和F3三力作用下保持静止。下列判断正确的是(　　)
A.F1>F2>F3　　　B.F3>F1>F2
C.F2>F3>F1　　　D.F3>F2>F1
题组二　用合成法、分解法求解平衡问题
4.灯笼起源于汉朝。每年的农历正月十五元宵节前后,人们都挂起象征团圆的红灯笼,来营造一种喜庆的氛围。某商家在门前悬挂每只质量均为m的一串灯笼,灯笼之间用轻绳连接,在稳定的水平风力作用下悬绳与竖直方向的夹角为30°,如图所示,则由上往下第二只与第三只灯笼间绳的拉力大小为(重力加速度大小为g)(　　)
A.4mg　　　B.2mg
C.mg　　　D.4mg
5.超市货架陈列着四个完全相同的篮球,不计摩擦,挡板均竖直,则4球中对圆弧面压力最小的是(　　)
A.a球　　　B.b球
C.c球　　　D.d球
6.如图,王老师背着一质量为m的单肩挎包。背带两边等长,夹角为60°。挎包保持竖直静止,不考虑人体侧面与挎包间的相互作用,则背带的拉力大小为(重力加速度大小为g)(　　)
A.mg　　　B.mg
C.mg　　　D.mg
7.如图所示为排球网架,为了使用活动铰链与地面连接的排球网架的直杆能垂直于水平地面,需要用绳子把杆拉住。绳子CO与竖直直杆CD间的夹角为37°,与球网在同一平面内;绳子AO、BO、CO同在另一平面内,AO、BO两绳子的拉力大小相等,夹角为60°;球网上方水平拉线CE的拉力大小为300 N,排球网架直杆质量为20 kg,不计绳子、拉线和球网的质量。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)铰链对直杆的支持力大小;
(2)AO、BO两绳子的拉力大小。
题组三　用正交分解法求解平衡问题
8.(多选)如图所示,物块放在水平地面上,用与水平方向成θ角斜向上的力F拉物块,物块保持静止,若改变F后,物块仍静止,则下列说法正确的是(　　)
A.方向不变,仅将F增大,地面对物块的支持力增大
B.方向不变,仅将F增大,地面对物块的摩擦力增大
C.大小不变,仅将θ减小,地面对物块的支持力增大
D.大小不变,仅将θ减小,地面对物块的摩擦力增大
9.(多选)如图所示,物体的质量m=4.4 kg,用与竖直方向成θ=37°角的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上,并使它沿墙壁做匀速直线运动。物体与墙壁间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10 m/s2,则下列说法正确的是(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
A.推力的大小可能是40 N
B.推力的大小可能是86 N
C.摩擦力的大小可能为26.4 N
D.支持力的大小可能为52.8 N
10.所受重力G1=8 N的砝码悬挂在绳PA和PB的结点上。PA偏离竖直方向37°角,PB在水平方向,且连在所受重力为G2=100 N的木块上,木块静止于倾角为37°的斜面上,如图所示。试求:木块与斜面间的摩擦力大小和木块所受斜面的弹力大小。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
能力提升练
题组一　共点力的平衡条件的理解及其应用
1.(多选)A、B、C三个相同的圆柱体,如图所示,放在水平面上,它们均处于静止状态,则(　　)
A.A、B、C所受的合力一定相等
B.如果圆柱体光滑,它们不可能平衡
C.B、C所受合外力大于A所受的合外力
D.B、C对A的作用力的合力一定竖直向上
2.某吊环决赛中,运动员需完成一个高难度的动作,就是先双手撑住吊环,然后身体下移,双臂缓慢张开,则在两手之间的距离增大过程中,吊环的两根绳的拉力FT(两个拉力大小相等)及它们的合力F的大小变化情况为(　　)
A.FT增大,F不变　　　B.FT增大,F增大
C.FT增大,F减小　　　D.FT减小,F不变
题组二　单个物体的平衡问题
3.如图,一个质量为m的均匀光滑小球处于静止状态,三角劈与小球的接触点为P,小球重心为O,P、O的连线与竖直方向的夹角为θ。则三角劈对小球的弹力(重力加速度大小为g)(　　)
A.方向竖直向上,大小为mg
B.方向竖直向上,大小为mg cos θ
C.方向沿PO向上,大小为
D.方向沿PO向上,大小为mg tan θ
4.(多选)如图所示,一台空调外机用两个三角形支架固定在外墙上,空调外机的重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O连线中心的正上方,重力大小为G,横梁AO水平,已知斜梁BO跟外墙的夹角为θ,若斜梁对O点的压力F1沿BO方向,横梁对O点的拉力F2沿OA方向,则有(　　)
A.F1=　　　B.F2= tan θ
C.F1=　　　D.F2=
5.如图所示,用三根等长的轻质细链悬拉花盆(花盆与墙壁未接触),连接处间距相等,已知花盆的重力为G,每根轻质细链和竖直方向都成30°角,则每根轻质细链对花盆的拉力大小为(　　)
A.G　　　B.G
C.G　　　D.G
6.拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)。设拖把头的质量为m,拖杆质量可忽略,重力加速度为g。某同学用该拖把在水平地板上拖地时,沿拖杆方向向下施加作用力F推拖把,拖杆与竖直方向的夹角为θ,若拖把头在地板上匀速移动,求:
(1)滑动摩擦力Ff的大小;
(2)拖把头与地板之间的动摩擦因数μ。
题组三　多物体的平衡问题
7.如图所示,竖直墙上用细线悬挂着质量分布均匀的光滑圆球B,B的半径为R=10 cm,质量为M=4 kg,悬线PQ长L=15 cm,正方体物块A的边长d=5 cm,质量为m=0.6 kg,物块A与墙面间的动摩擦因数为μ,轻放于球和墙之间后放手,系统保持静止。取g=10 m/s2,假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求物块A对圆球B的支持力N1。
(2)求动摩擦因数的最小值μmin。
(3)若动摩擦因数为μ=,在物块A上施加一个与墙面平行且沿水平方向的外力F,使A在脱离圆球前缓慢抽出,求此外力F的大小。
8.如图所示,固定在水平地面上的斜面倾角为30°,物块A与斜面间的动摩擦因数为,轻绳一端通过两个滑轮与物块A相连,另一端固定于天花板上,不计轻绳与滑轮的摩擦及滑轮的质量。已知物块A的质量为m,连接物块A的轻绳与斜面平行,挂上物块B后,滑轮两边轻绳的夹角为90°,物块A、B都保持静止,重力加速度为g,假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力,已知sin 30°=,cos 30°=,sin 45°=,cos 45°=。
(1)若挂上物块B后,物块A恰好不受摩擦力作用,求轻绳的拉力F拉的大小;
(2)若物块B的质量为m,求物块A受到的摩擦力的大小和方向;
(3)为保持物块A处于静止状态,求物块B的质量范围。
答案全解全析
第六节　共点力的平衡条件及其应用
基础过关练
1.CD　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态,A选项错误;物体运动速度大小不变、方向变化时,物体不做匀速直线运动,一定不处于平衡状态,B选项错误;物体处于平衡状态时,合力为零,物体沿任一方向的合力都必为零,C选项正确;物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时,合力为零,则任意两个共点力的合力与第三个力等大反向,D选项正确。
2.C　大小为1 N和2 N的两个力,其合力大小范围为[1 N,3 N],3 N在范围之内,则三个力合力能为零,物体能平衡;大小为12 N和12 N的两个力,其合力大小范围为[0 N,24 N],12 N在范围之内,则三个力合力能为零,物体能平衡;大小为4 N和5 N的两个力,其合力大小范围为[1 N,9 N],10 N不在范围之内,则三个力合力不能为零,物体不能平衡;大小为4 N和8 N的两个力,其合力大小范围为[4 N,12 N],8 N在范围之内,则三个力合力能为零,物体能平衡。综上可知C正确,A、B、D错误。
导师点睛
三力平衡的条件为三个力中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线,故先合成任意两个力,再与第三个力比较,即看第三个力的值是否在其他两个力的合力大小范围内。
3.B　对P点受力分析,如图所示:
根据共点力的平衡条件有F1=F3 cos 30°=F3,F2=F3 sin 30°=F3,因而F3>F1>F2,故B正确,A、C、D错误。
4.B　以下面三只灯笼整体为研究对象,受到重力、风力和绳的拉力,如图所示
根据平衡条件结合三角函数关系可得T==2mg,故B正确,A、C、D错误。
5.D　对其中任意一个篮球受力分析,如图所示:
设圆弧面切线与水平方向的夹角为α,根据平衡条件,有N=,α越小,N越小,可知圆弧面对d球的支持力最小,故对圆弧面压力最小的是d球,选D。
6.A　以挎包整体为研究对象,肩头对挎包的支持力和挎包的重力是一对平衡力,即N=mg;两背带的拉力大小相等,以挎包最高点为研究对象进行受力分析,如图所示
两背带的拉力的合力F和N等大反向,有N=mg=2F1 cos 30°,解得F1==mg,故A正确,B、C、D错误。
7.答案　(1)600 N　(2) N　 N
解析　(1)绳子CO和拉线CE对C的拉力的合力竖直向下,如图所示:
故F合==400 N
所以铰链对直杆的支持力
N=F合+mg=400 N+200 N=600 N
(2)CO绳子的拉力
FCO==500 N
AO、BO两绳子的拉力大小相等,根据平衡条件可得
2FAO cos 30°=FCO
解得FAO=FBO= N。
8.BCD　方向不变,仅将F增大,F沿水平、竖直方向的分力均增大,地面对物块的摩擦力增大,地面对物块的支持力减小,A项错误、B项正确;大小不变,仅将θ减小,F沿水平方向的分力增大,沿竖直方向的分力减小,因此地面对物块的支持力增大,地面对物块的摩擦力增大,C、D项正确。
9.ACD　当物体匀速向上滑动时,对其受力分析如图1所示:
图1
根据平衡条件,水平方向有FN=F sin 37°
竖直方向有F cos 37°=Ff+mg
又因为Ff=μFN
联立解得F=88 N,FN=52.8 N,Ff=26.4 N
当物体匀速向下滑动时,对其受力分析如图2所示:
图2
根据平衡条件,水平方向有FN=F sin 37°
竖直方向有F cos 37°+Ff=mg
又因为Ff=μFN
联立解得F=40 N,FN=24 N,Ff=12 N
故选A、C、D。
10.答案　64.8 N　76.4 N
解析　分析结点P受力,如图甲所示:
由平衡条件得:
FA cos 37°=G1
FA sin 37°=FB
可解得PB绳的拉力为FB=6 N
再分析木块的受力情况如图乙所示,由平衡条件可得
Ff=G2 sin 37°+FB' cos 37°
FN+FB' sin 37°=G2 cos 37°
又有FB'=FB
解得Ff=64.8 N,FN=76.4 N。
能力提升练
1.ABD　圆柱体A、B、C均处于静止状态,所受的合力均为零,A正确,C错误;B、C对A的作用力的合力一定与A的重力等大反向,D正确;若圆柱体光滑,A对B的压力在水平方向的分力将使B圆柱体水平向左移动,同理C向右移动,从而使A落下,所以它们不可能平衡,B正确。
2.A　对运动员受力分析,受到重力、两个吊环的拉力,如图,根据平衡条件可知,运动员受到的重力与拉力的合力平衡,故拉力的合力F的大小不变;由于两个拉力的合力F不变,且两拉力与竖直方向的夹角变大,故两个拉力FT不断变大,A正确,B、C、D错误。
3.C　对小球受力分析,三角劈对小球的弹力方向沿PO向上,采用合成法,如图:
由平衡条件得F与mg等大,由几何知识得N1=,选C。
4.AB　以O点为研究对象,受力如图所示,由受力图结合几何关系可得F1=,F2= tan θ,故A、B正确,C、D错误。
5.C　设每根轻质细链对花盆的拉力大小为F,由平衡条件得3F cos 30°=G,解得F=G。
6.答案　(1)F sin θ　
(2)
解析　以拖把头为研究对象,其受力平衡,在水平方向有Ff=F sin θ
在竖直方向有F cos θ+mg=FN
又有Ff=μFN
联立解得μ==
7.答案　(1)30 N　
(2)0.2　
(3)8 N
解析　(1)根据题意,分析球受力,如图甲所示,可得N1=Mg tan θ
甲
由几何关系得tan θ==
解得N1=30 N
(2)对A受力分析如图乙所示,根据力的相互性知B对A的压力N1'=N1
乙
由平衡条件得N2-N1'=0,f1-mg=0
又知道f1=μminN2
解得μmin=0.2
(3)当物块A匀速抽出时,A在平行墙面方向的受力如图丙所示。
丙
f2=μN2=10 N
由勾股定理得F==8 N
8.答案　(1)mg
(2)mg　方向沿斜面向上
(3)m≤mB≤m
解析　(1)轻绳上的拉力大小处处相等,对物块A受力分析,A恰好不受摩擦力作用,有
沿斜面方向F拉=mg sin 30°
解得F拉=mg
(2)对B上方的滑轮受力分析,设轻绳上的拉力大小为T,则由平衡条件有
2T·cos 45°=mBg
已知mB=m
解得T=mg
再对物块A受力分析,因为T解得A受到的静摩擦力大小为f=mg
(3)物块A刚好要沿斜面向上滑时,物块B的质量最大,设为M1
此时轻绳拉力大小为
F1=mg sin 30°+μmg cos 30°=mg
对B上方的滑轮受力分析有2F1 cos 45°=M1g
解得物块B的最大质量为M1=m
物块A刚好要沿斜面向下滑时,物块B的质量最小,设为M2
此时轻绳拉力大小为
F2=mg sin 30°-μmg cos 30°=mg
对B上方的滑轮受力分析有2F2 cos 45°=M2g
解得物块B的最小质量为M2=m
所以,物块B的质量范围为m≤mB≤m
18

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