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2024-2025 学年贵州省毕节市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 = 3 + 2 ，则 ( + ) =( )
A. 4 B. 6 C. 4 D. 6
2.设全集 = {1,2,3,4,5,6}，集合 = { ∈ | 2 4 + 3 ≤ 0}，则 =( )
A. {4,5,6} B. {3,4,5} C. {2,3,4} D. {1,2,3}
3.下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
A. = 2 ， = 2 B. = ， =
2C. = 1 +1， = 1 D. = 2| |， = 4
2
4.若 1， 2是两个互相垂直的单位向量，则 = 3 1+ 2与 = 1 + 3 2的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
5.从 3 名男生和 2 名女生中选出 3 人去参加某项活动，如果男生中的甲和女生中的乙至少有 1 人参加，则
不同的选法种数是( )
A. 5 B. 6 C. 9 D. 10
6.如图，在直三棱柱 1 1 1中， = ， ， ， 分别是 1 ， 1， 1 1的中点，下列说法不正
确的是( )
A. 与 1是异面直线
B. //平面
C. ⊥ 1
D. ⊥ 1
7.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ， 为 上的一点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，| | = 5，则直线
的方程为( )
A. = 2 + 2 或 = 2 2 B. = 2 + 2 或 = 2 2
C. = 2 + 2 D. = 2 2
8.已知函数 ( ) = ( 1)2( )的一个极值点为 3，则( )
A. = 4 B.当 1 < < 3 时， 4 < ( ) < 0
C.当 0 < < 1 时， ( ) < ( 2) D. = 1 是函数 ( )的极小值点
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.数据 2，8，14，16，20，则下列说法正确的是( )
A.这组数据的平均数是 14 B.这组数据的方差是 40
C.这组数据的极差是 20 D.这组数据的第 80 百分位数是 18
10 .△ 的三边分别为 ， ， ，且 = 3， = 3，则( )
A. △ 1的外接圆的半径为 3 B.若 = 2，则 = 3
C.若 = 6，则△ 有两解 D. △ 周长的最大值为 9
11.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0 时， ( ) = ( 2 3) ，则( )
A.当 < 0 时， ( ) = ( 2 3)
B. ( 1) = 2 1
C.若方程 ( ) = 有四个解，则 的取值范围是( 2 , 3)
D. = 3 是 ( )的极大值点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(1 2 )7的展开式的第 7 项的二项式系数是______．
13.已知 ， 是函数 = 2 2 3 1 的两个零点，则 tan( + ) = ______．
2 2
14.已知 为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点， 为 的左顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若
直线 的斜率为 1，则 的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 1 = 1， 3 = 6 15．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = 2 ( + 1)，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = ．
(1)若 ( ) = ( ) ( )，求函数 ( )的最小值；
(2)若 ( ) = ( ) + ( )，讨论函数 ( )的单调性．
17.(本小题 15 分)
如图，四边形 中， // ，∠ = 90°， 为 的中点， 在 上， // ， = 3 ， = 2 ，
将四边形 沿 翻折至四边形 ′ ′，使得平面 ′ ′ ⊥平面 ．
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(1)证明： ′//平面 ′ ；
(2)求 与平面 ′ ′ 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
动点 ( , )与定点 ( 1,0) 1的距离和 到定直线 ： = 4 的距离的比是2．
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)动点 的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于 ， 两点，当 与 ， 不重合时，求△ 的面积的最大
值．
19.(本小题 17 分)
在科技飞速发展的今天，人工智能( )已经成为推动人类社会进步的重要力量.某 工具提供聊天机器人、
写作助手以及学习助手等功能，它可以回答各种问题并进行对话，帮助人们获取信息.为了解性别因素是否
对该 工具提问的经常性有影响，随机调查了 200 人，得到如下列联表：
(单位：人)
提问情况
性别 合计
经常提问不经常提问
女性 50
男性 65 100
合计
(1)请补全列联表，依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，说明女性和男性在对该 工具提问的经常性方面
是否存在差异？
(2)已知该 工具对某 20 个问题能准确答对其中的 (3 ≤ ≤ 12，且 ∈ )个.若从这 20 个问题中随机抽取
10 个对该工具提问，恰好答对 3 个问题的概率最大，求此时 的取值．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13. 33
14.2
15.(1)等差数列{ }的前 项和为 ，设公差为 ，
由 1 = 1， 3 = 6 15，可得 3 + 3 = 6 + 15 15，
解得 = 1，
则 = 1 + 1 = ， ∈ ．
(2) = 2 ( + 1) = ( + 1) 2 ，
则 = 1 + 2 + 2 3 1 3 + + 1 + = 2 × 2 + 3 × 2 + 4 × 2 + + 2 + 2 × ( + 1)①，
∴ 2 = 22 × 2 + 23 × 3 + 24 × 4+ + 2 × + 2 +1 × ( + 1)②，

① ②得 = 4 + 22 + 23 + 24 + + 2 2 +1( + 1) = 2 +
2(1 2 ) 2 +11 2 ( + 1) = 2
+1，
所以 = 2 +1， ∈ ．
16.(1) ∵ ( ) = ， ( ) = ( > 0)，
∴ ( ) = ( ) ( ) = ( > 0)．
∴ ′( ) = 1 1 =
1
，
令 ′( ) = 0 得 = 1，
即当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
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∴函数 ( )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) = (1) = 1；
(2) ∵ ( ) = ( ) + ( ) = + ( > 0)，
∴ ( ) = + 1 = +1′ ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，若 ∈ (0, 1 )，则 ′( ) > 0，函数 ( )在区间(0,
1
)上单调递增，
若 ∈ ( 1 , + ∞)，则 ′( ) < 0，函数 ( )在区间(
1
, + ∞)上单调递减．
综上，当 ≥ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
< 0 1 1当 时，函数 ( )在区间(0, )上单调递增，在区间( , + ∞)上单调递减．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ′ ，
由题意得 // ， = ．
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ， = ．
又∵ // ′ ′， = ′ ′，
∴ // ′ ′， = ′ ′，
∴四边形 ′ ′为平行四边形，
∴ ′// ′．
又∵ ′ 平面 ′ ， ′ 平面 ′ ，
∴ ′//平面 ′ ；
(2) ∵ // ，∠ = 90°，∴四边形 为矩形．
又∵平面 ′ ′ ⊥平面 ，∴ ⊥ ′， ⊥ ， ⊥ ′．
则以点 为坐标原点，以 ， ， ′所在直线为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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设 = 1，则 (0, 2,0)， (1, 1,0)， ′(0,0,1)， ′(1,0,1)，
所以 = (1,1,0)， ′ = (0,2,1)， ′ = (1,2,1)，
设平面 ′ ′ 的一个法向量为 = ( , , )．
⊥ ′ ′ = 0 2 + = 0
则 ，则 ，即 ⊥ = 0 + 2 + = 0
，
′ ′
令 = 1，可得 = (0,1, 2)，
设求 与平面 ′ ′ 所成角为 ，

所以 = |cos , | = | | = 1 = 10．
| || | 2× 5 10
所以 与平面 ′ ′ 所成角的正弦值为 10．10
18.(1)因为动点 ( , )与定点 ( 1,0) 1的距离和 到定直线 ： = 4 的距离的比是2，
( +1)2+ 2
= 1所以 | +4| 2，
此时 3 2 + 4 2 = 12，
2 2
整理得 4 + 3 = 1，

2 2
所以动点 的轨迹方程为 4 + 3 = 1；
(2)设 (2,0)， (0, 3)，
所以| | = 7，直线 = 3的方程为 2 + 3，
设与直线 平行的直线 的方程为 = 32 + ，
= 3 +
联立 22 2 ，消去 并整理得 3
2 2 3 + 2 2 6 = 0，

4 + 3 = 1
令 = 0，
解得 =± 6，
当 = 6 3时，直线 的方程为 = 2 + 6，
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2 6 2 3
此时直线 与直线 间的距离为 1 = 7 ；
当 = 6 3时，直线 的方程为 = 2 6，
此时直线 与直线 = 2 6+2 3间的距离为 2 7 ，
因为 2 > 1．
1 1 2 6+2 3
所以△ 的面积的最大值 = 2 | | 2 = 2 × 7 × 7 = 6 + 3．
19.(1)补全后的列联表如下：
提问情况
性别 合计
经常提问 不经常提问
女性 50 50 100
男性 65 35 100
合计 115 85 200
零假设 0：女性和男性在对该 工具提问的经常性方面无差异，
2 = 200×(65×50 35×50)
2 1800
因为 100×100×85×115 = 391 ≈ 4.604 < 6.635，
根据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
所以可以认为女性和男性在对该 工具提问的经常性方面无差异；
3 7
(2)从这 20 个问题中随机抽取 10 个对该工具提问，恰好答对 3 个问题的概率为 = 20 ，
1020
设 ( ) = 3 7 20 ，由 3 ≤ ≤ 12，且 ∈ 得 ( ) > 0，
( +1) =
3 7
+1 19 = ( +1)(13 )
2+12 +13
所以 ( ) 3 720 ( 2)(20 )
= 2+22 40，
显然 2 + 12 + 13 > 0， 2 + 22 40 > 0，
令 = ( 2 + 12 + 13) ( 2 + 22 40) = 53 10 ，
2
3 ≤ ≤ 5 > 0 ( +1) = +12 +13当 时，有 ， ( ) 2+22 40 > 1，即 ( + 1) > ( )，
此时 (3) < (4) < (5) < (6)；
2
当 6 ≤ ≤ 12 时，有 < 0 ( +1) +12 +13， ( ) = 2+22 40 < 1，即 ( + 1) < ( )，
此时 (6) > (7) > > (12)，即 ( ) = (6)，
所以所求 = 6．
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