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(共31张PPT)
第二章　直线和圆的方程
专题研究二　直线与圆的方程的综合应用问题
（3）若曲线C与x轴的交点为E，F，直线l：x＝my－1与曲线C交于G，H两 点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上.
[解]　（2）如图.
解题感悟
　　求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变 量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式 求解参数，是解决此类问题的常用方法.
（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值.
（3）赋值法：基本思想是从特殊到一般，根据动点或动线的特殊情况探索出定 点，再证明该定点与变量无关.
（1）求圆M的标准方程；
①过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为 S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方 程；若不是，说明理由.
题型一阿波罗尼斯圆
【典例1】
设A,B是平面上两点，则满足PA=k(其中k为常数，k>0且k≠1)
的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗
尼斯圆，简称阿氏圆，已知A(6,0),B(,0),
且k
(1)求点P所在圆M的方程
解]
(1)设P(x,y),由题意可得
P4=√2，即IPA=√2PB,
P
则-V⑥+=2(x-
整理得x2+y=3,即点P所在圆M的方程为x2+y=3
(2)·
证明：对于圆2，令y=0,得x=一1或x=一3，所以C(-3,
0
D(-1,0)
由题意可设直线1的方程为x=y一1，E(x1,y1),F(x2,y2)
x=ty一1，
=3,
消去x整理得(1+t2)y一2y一2=0，易知山>0，
则y
F Y2
12
所以kc
2
x1十3
X2+3
y12+3)y2(1+3)
(x1+3)(x2+3)
yty2+2)十y2z(y1+2)
(1+3)(x2+3)
=2X
ty1y2十y1十y2
(x1+3)(x2+3)
2t
2t
=2X
x1+3)(x2+3)
=0
则直线C与FC关于x轴对称，所以∠CD=∠FCD,
解题感悟
阿氏圆模型问题核心解法围绕几何构造与代数计算展开，证明类问题侧重轨迹圆
的形成依据，主要有以下两种解决办法
(1)构造角平分线的几何证明
当需证明某动点轨迹为阿氏圆时，可优先考虑角平分线定理的应用.例如，若动
点P满足
PA
飞（飞≠1），通过构造内角或外角平分线，结合角分线定理推导
PB
PA
的比值关系，可证明该比值与点到两定点距离的比例对应，进而确定轨迹为
PB
圆.外角平分线定理在解决动点位于两定点延长线外侧的情况时尤其有效(共18张PPT)
第三章　圆锥曲线的方程
专题研究四　圆锥曲线中的定点、定值问题
（1）求椭圆的标准方程；
解题感悟
圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点.解 决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点问题必然是 在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量 积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个点，就 是要求的定点，化解这类难题的关键就是引进变量表示直线方程、数量积、比例关系 等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受变量影响的量.
（2）若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线l 过定点.
解题感悟
圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的又一难点.解决这个难点的基本思想是函 数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、 数量积、比例关系中不受变量影响的某个值，就是要求的定值.具体地说，就是将要 证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值.
（2）求p的最小值；
[解]
(1)椭圆离心率为
2
b-
22
2
椭圆一顶点坐标为A(0,一2√2)，
2=8,
a2=16
椭圆的标准方程为兰十
。
[解]
(2)当直线MW斜率不存在时，不合题意，
设直线W方程为y=】
y),N
联立
2
x2十4mx十2
6=0
2一4(1十
2)
(2m2一16)=8(162+8
m2
4km
2m2
-16
1+22
1+2k2
=(x1
y+2V2)·(2 y2+2V2)
V2
(2十m+2V2)
(1十2)xx十k(m+2V2)（x1十2)十(m十2V2)2-3m2+w2m-
二0，
1+2k2
得m=一2V2或m=22
3
若N=一2√万，满足>0，则直线MW的方程为y=一2√2，则直线MW过定点
(0,一2√2)，即与点A重合，不合题意；
2W2
满足>0，则直线W的方程为y
则直线W过定点(O,
3
3
2W2
符合题意。
3
综上所述，直线W过定点(0，
解：
(1)抛物线的焦点F为(，0)，
双曲线的近线方程为y=士x,即x士V3y=0,
72
=1,解得p=4,
12+(±3)
故抛物线C的方程为y=8x
(2)证明：若直线的斜客存在，不妨设为k(k≠0)，则1的方程为y=x十
与抛物线方程联立得
h'
y-x+b,消去y得2x2+(2kb-8
2=0
=8x,
(2kb一8)2一42b2>0,即64一32kb>0,
设A(x1,y1),，
x2’y2
由OA⊥
OB可得x1x2
十(kx1十b)kx2十b)
=0,
即(1+k2)x1x2十kb(x1十x2)(共25张PPT)
第一章　空间向量与立体几何
专题研究一　空间向量应用的综合问题
题型一　空间角的综合问题
【典例1】　（2023·新高考Ⅰ卷）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ 2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝ DD2＝2，CC2＝3.
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P.
解题感悟
　　（1）在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征， 建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标.
（2）直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为 两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解.
【练习1】　（2024·天津卷）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面 ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1.M，N分别为DD1， B1C1的中点.
（1）求证：D1N∥平面CB1M；
（2）求平面CB1M与平面BB1C1C夹角余弦值；
（3）求点B到平面CB1M的距离.
题型二　折叠问题
【典例2】　（2019·课标全国Ⅲ，理）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC 折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
[解]　（1）证明：由已知得AD∥BE， CG∥BE，
所以AD∥CG，
所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G， D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，
所以AB⊥平面BCGE.
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥平面 BCGE.
（2）求图2中的二面角B－CG－A的大小.
解题感悟
折叠问题解题策略
（1）确定折叠前后变与不变的关系
画好折叠前、后的平面图形与立体图形，分清折叠前、后图形的位置和数量关系 的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变，而位于 “折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图 形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
（2）确定折叠后关键点的位置
所谓的关键点，是指折叠过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会带动 与其相关的点、线、面的关系变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参 照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.
故EF⊥PD.
（2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
（1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
（2）求直线AC与PD所成角的余弦值；
（3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面 MAC与平面ACD的夹角为45°？如 果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由.
解题感悟
利用空间向量解决探索性问题的策略
探索性问题通常分为两类：一类是已知点存在，求点的位置；一类是判断点的 “存在性”问题.其中，在点的“存在性”问题中，先假设所求点存在，将其作为已 知条件，得出点的位置或与题设条件矛盾的结论，从而得到结果，在设参数求解点的 坐标时，若出现多解的情况，则应分析不同解的含义，判断哪些解是符合题设条件 的，再做出取舍.求解点、平面是否存在等探索性问题时，常常先利用特殊的位置关 系或极端情形确定点或平面，再利用直线与平面的位置关系去证明结论.
（1）证明：AC1∥平面A1BM；
解：（1）证明：如图，连接AB1与A1B交于点O，则O为AB1的中 点，连接OM.
因为M为B1C1的中点，所以OM∥AC1.
因为OM 平面A1BM，AC1 平面A1BM，
所以AC1∥平面A1BM.(共19张PPT)
第三章　圆锥曲线的方程
专题研究三　圆锥曲线中的最值与范围问题
（1）求椭圆C的方程；
解题感悟
圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一 是利用几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进 行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数解析式表示为某个（些）参 数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
（2）过E的右焦点作斜率不为0的直线l，交E于P，Q两点，A1，A2是E的左、右 顶点，记直线A1P，A2Q的斜率分别为k1，k2.
题型二　范围问题
（1）求椭圆C的方程；





解题感悟
圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取 值范围.
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参 数之间的等量关系.
解题感悟
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从 而确定参数的取值范围.

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