资源简介

2024-2025 学年江西省九师联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5,6,7}， = { |( 1)( 2)( 3) = 0}， = { |( 5)( 6)( 7) = 0}，则
( ) ∩ ( ) =( )
A. {1,2,3,4} B. {4,5,6,7} C. {4} D. {1,2,3,4,5,6,7}
2.若随机变量 服从两点分布，且 ( ) = 0.4，则 ( ) =( )
A. 0.24 B. 2.4 C. 0.28 D. 2.8

3.若函数 ( ) = 1 ( ) (0) +2，则 → 0 =( )
A. 1 B. 1 C. 12 4 4 D.
1
2
4.已知 ：| 1| ≤ 2， ： 2 2 3 < 0，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知经过点 (2, 1,1)的平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,3)，则点 (0, 2,2)到平面 的距离为( )
A. 21 B. 14 7 66 2 C. 6 D. 14
6 1.已知函数 ( ) = + 2
2 + 3 在(1 , 1)上恰有一个极值点，则 的取值范围是( )
A. (1,2) B. (2, + ∞) C. ( 32 , 2) D. (1,
3
2 ) ∪ (2, + ∞)
7.已知奇函数 ( )的定义域为 ，当 1 ≠ 2且 1， 2 ∈ ( ∞,0]时，[ ( 2) ( 1)] ( 2 1) < 0 恒成立，
则不等式 ( 2 ) + (3 3 ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞,1) ∪ (3, + ∞) B. ( ∞, 3) ∪ ( 1, + ∞)
C. (1,3) D. ( 3, 1)
8.已知 = 0.02， = 5049 , = 50
49
48，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列四个命题，其中是真命题的有( )
A.若点 ， ， ， 共面，则存在实数 ， ，使得 = +
B.若 = (2, , 1), = ( 1,2,2)分别为平面 ， 的法向量，且 ⊥ ，则 = 2
第 1页，共 8页
C.若 = ( , 1, 1), = ( 1,2, ) 3分别为平面 ， 的法向量，且 // ，则 + = 2
D.若 (0,0,0)， (1,0,0)， (0,0,1)， (0,1,1) ，则直线 ， 所成的角为3
10.下列命题正确的是( )
A.若 = 4，则 + ≥ 4
B.若 2 + 4 2 = 18，则 + 2 ≤ 6
C.若 > 0， > 0 + 2 = 4 1 1 3+2 2， ，则 + ≥ 4
D.若 > 1， > 1， = 3 4 9，则 1+ 1 ≥ 6
11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为偶函数， (2 + 2)为奇函数，当 ∈ [0,1]时， ( ) = + ，
(2025) = 1，则( )
A.函数 ( )的一个周期为 4
B.函数 ( )是偶函数
C. 2025 =1 (2 1) = 1013
D.不存在 ∈ ，使得 ( )在[ , 2 1]上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 + 7的定义域为 ，则实数 的取值范围是______．
13.某市 10000 名学生的联考数学成绩 服从正态分布 (100, 152)，则成绩位于[85,130]的人数大约是
______. (参考数据：若 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545)
14.一个盒子中有 4 个球，分别标记为 1～4 号，若每次取 1 个，有放回地取 4 次，记至少取出 2 次的球的
个数为 ，则 ( ) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某饮品店统计了一天营业时间 (单位：小时)与饮品销量 (单位：杯)的数据如表：
营业时间 1 2 3 4 5
饮品销量 17 36 56 77 99
已知 与 线性相关．
(1)根据以上数据求饮品销量 关于营业时间 的回归直线方程；
(2)若平均一杯饮品的纯利润为 5 元，某日该饮品店计划早上 9 点开始营业，晚上 9 点结束营业，中间不休
第 2页，共 8页
息，试预测当日饮品的总利润能否超过 1000 元？



参考公式：回归直线方程 = + 中， = =1

2 , = ． =1 2
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， // ， ⊥ ， = = 3， = = 2， 是线
1段 上一点，且 = 3 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知定义域都为 的函数 ( )与 ( )满足： ( )是奇函数， ( )是偶函数， ( ) ( ) = 2 + 2 + 9．
(1)求函数 ( )与 ( )的解析式；
(2)若 ( ) + [ ( ) + 4] ≤ 0 在( 2, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛(每局比赛必须决出胜负)，规
则如下：前 2 天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得 1 分，失败得 0 分；积分赛在后 5 天进
行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得 2 分，次局获胜得 1 分，失败得 0 分.小张这一周中每天
1
至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为 (0 < < 1)，3，且各局比赛
相互独立．
(1) 1已知趣味赛两天积分不为 0 的参赛选手可获得精美礼品一份， = 2．
( )求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率；
( )在小张获得精美礼品的条件下，求小张 2 天趣味赛仅积 1 分的概率；
(2)设小张在后 5 天的积分赛中，恰有 2 天每天积分不低于 1 分的概率为 ( )，求 ( )的最大值．
第 3页，共 8页
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)若 ( )从 0 到 4 的平均变化率为 ， ( ) = ′( ) ，求方程 ( ) = 0 在 ∈ [0,4 ]上的解；
(2)求证：对任意实数 1， 2，| ( 2) ( 1)| ≤ | 2 1|；
(3)若 ( ) ≥ 2 ( + 1) + 对 ∈ [0, 2 ]恒成立，求实数 的取值范围．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ 2 7, 2 7]
13.8186
14.6764
15. (1) = 1+2+3+4+5 = 3 = 17+36+56+77+99由题设， 5 ， 5 = 57，
5 =1 = 1 × 17 + 2 × 36 + 3 × 56 + 4 × 77 + 5 × 99 = 1060，
5
=1
2
= 55，

= =1 1060 5×3×57

所以 2 2 = 55 5×9 = 20.5，则 = 57 20.5 × 3 = 4.5， =1

所以回归直线方程为 = 20.5 4.5；

(2)由题意，当营业时间 = 12 时， = 20.5 × 12 4.5 = 241.5 杯，
所以利润为 5 × 241.5 = 1207.5 > 1000，故当日饮品的总利润能超过 1000 元．
16.(1)证明：在 1上取点 ，使得 2 = ，得 = 3 ，
1
因为 = 3 ，
所以 // ，因为 = 3，所以 = 2，
又因为 = 2， / / ，所以 // ， = ，
可得四边形 为平行四边形， // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
第 5页，共 8页
所以 //平面 ；
(2)因为 ⊥底面 ， ⊥ ，以 为原点，
， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
可得 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,0,3)， (0,3,0)，
= (0,2,0), = (2,2, 3), = ( 2,1,0)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
则 ⊥
= 2 = 0
，则 ⊥
，
= 2 + 2 3 = 0
令 = 3，则 = 2， = 0，所以 = (3,0,2)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量，
⊥ 则 = 2 + = 0
⊥
，则

，
= 2 + 2 3 = 0
令 = 1，则 = 2， = 2，所以 = (1,2,2)，
cos < , >= = 3+4 7 13可得 | | | | 9+4× 1+4+4 = 39 ．
可得平面 与平面 所成角的余弦值为7 13．
39
17.(1)因为 ( ) ( ) = 2 + 2 + 9， ( )是奇函数， ( )是偶函数，
所以 ( ) = ( )， ( ) = ( )，
则 ( ) ( ) = 2 2 + 9，
可得 ( ) ( ) = 2 2 + 9，
( ) ( ) = 2 + 2 + 9
联立方程 ，
( ) ( ) = 2 2 + 9
解得 ( ) = 2 ， ( ) = 2 9．
(2)因为 ( ) + [ ( ) + 4] ≤ 0，即 2 9 + (2 + 4) ≤ 0，
又因为 ∈ ( 2, + ∞)，
令 = + 2 > 0，则 = 2，
第 6页，共 8页
可得 ( 2)2 9 + 2 ≤ 0，
13
整理可得 2 ≤ + 4，
13
原题意等价于 2 ≤ + 4 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 2 ≤ ( + 13 4) ，
+ 13又因为 4 ≥ 2
13
4 = 2 13 4，
13
当且仅当 = ，即 = 13时，等号成立，
可得 2 ≤ 2 13 4，即 ≤ 13 2，
所以实数 的取值范围为( ∞, 13 2]．
18.(1)( )设第 1 天积分为 1 为事件 1，第 1 天积分为 0 为事件 0，
第 2 天积分为 1 为事件 1，第 1 天积分为 0 为事件 0，
根据题意可知， ( 1) = ( 0) = (
1
1) = ( 0) = 2，
设小张在趣味赛中获得精美礼品为事件 ，
3
则小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为 ( ) = 1 ( 0 0) = 1 ( 0) ( 0) = 4；
( )设事件 为小张 2 天趣味赛仅积 1 分，
则 ( ) = ( 1 0) + ( 0 1) = ( 1) ( 0) + ( 0) ( ) =
1
1 2，
从而在小张获得精美礼品的条件下，小张 2 天趣味赛仅积 1 分的概率为：
( | ) = ( ) 2 ( ) = 3；
(2)设小张每天积分不低于 1 分为事件 ，
1 2
则 ( ) = (1 3 )(1 ) = 3 (1 )
1
，从而 ( ) = 1 ( ) = 3 (1 + 2 )，

则 ( ) = 2 25 ( ) 3( ) =
80 2 3
243 (1 + 2 ) (1 ) ，0 < < 1，
( ) = 80 (1 )2(1 + 2 )[4(1 ) 3(1 + 2 )] = 80′ 243 243 (1 )
2(1 + 2 )(1 10 )，
令 ′( ) > 0 0 < < 1 110； ′( ) < 0 10 < < 1，
1 1
则 ( )在(0, 10 )上单调递增，在( 10 , 1)上单调递减，
3
从而 ( ) = (
1
10 ) =
80
243 × (1 +
1 2 1 3 80 36 9 216
5 ) × (1 10 ) = 243 × 25 × 1000 = 625．
第 7页，共 8页
19.(1)根据题设导函数 ′( ) = ，
= (4 ) (0) = 4 04 0 4 0 = 0，
因此函数 ( ) = ，令函数 ( ) = 0，且 ∈ [0,4 ] = 3 5 7 ，解得 2 , 2 , 2 , 2；
(2)证明：设 1 ≤ 2，那么| ( 2) ( 1)| ≤ | 2 1|，即 ( 2 1) ≤ ( 2) ( 1) ≤ 2 1，
因此 ( 2) 2 ≤ ( 1) 1， ( 2) + 2 ≥ ( 1) + 1，
令函数 ( ) = ( ) + = + ， ( ) = ( ) = ，
因此导函数 ′( ) = 1 ≤ 0，当且仅当 = 2 ， ∈ 时等号成立，即函数 ( )在 上单调递减，
导函数 ′( ) = + 1 ≥ 0，当且仅当 = + 2 ， ∈ 时等号成立，即函数 ( )在 上单调递增，
综上所述， ( 2) 2 ≤ ( 1) 1， ( 2) + 2 ≥ ( 1) + 1，得证，
因此对任意实数 1， 2，| ( 2) ( 1)| ≤ | 2 1|；
(3) 根据题设 2 ( + 1) ≥ 0 对 ∈ [0, 2 ]恒成立，
令 ( ) = 2 ( + 1) ， ′( ) = 2 +1 ，
当函数 > 1 时，那么 ′(0) = 1 < 0，而 (0) = 0 ，那么在(0, 2 ]上存在 ( ) < 0，不符；
≤ 1 2 2当 时，令函数 ( ) = +1，那么导函数 ′( ) = ( +1)2 ，
1
显然导函数 ′( )在[0, 2 ]上单调递减，且 ′(1) = 2 1 < 0 < ′(0) = 2，
0 ∈ (0,1)使 ′( 0) = 0，
因此 0 < ≤ 2时，导函数 ′( ) < 0，0 ≤ < 0时，导函数 ′( ) > 0，
因此函数 ( ) 在( 0, 2 ]上单调递减，在[0, 0)上单调递增，
又 (0) = 1 < ( 2 ) =
4
+2，故 ( ) ∈ [ 1, ( 0)]，所以 ′( ) ≥ 1 ≥ 0，
故 ( ) 在[0, 2 ]上单调递增，则 ( ) ≥ (0) = 0，满足题设，
综上， ∈ ( ∞, 1]．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑