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2024-2025 学年吉林省通化市、吉林市八校联考高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = 2 + 2 在区间[1,2]上的平均变化率为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 10
2.用 1，2，3，4 可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 24
3.下列哪组中的两个函数是同一函数( )
2A. ( ) = 1, ( ) = 1 2 4 +1 B. ( ) = , ( ) = ( )
C. ( ) = | + 1|， ( ) = | + 1| D. ( ) = 1， ( ) = 0
4 ( ) = 2 + , > 0.已知 + 3, < 0 为奇函数，则 + =( )
A. 1 B. 2 C. 0 D. 1
5.已知函数 = ( )的定义域为[ 5,3] ( 1)，则函数 = +1 的定义域为( )
A. [ 6, 1) ∪ ( 1,2] B. [ 4, 1) ∪ ( 1,4]
C. [ 4,4] D. [ 5, 1) ∪ ( 1,3]
6.已知奇函数 ( )在 上单调递减，若 (2 ) + ( + 2) < (0)，则 的取值范围为( )
A. ( ∞, 12 ) B. ( ∞,1) C. ( 1, + ∞) D. (
2
3 , + ∞)
7.已知函数 ( ) = + 1 22 6 + 4 在定义域内单调递增，则 的取值范围是( )
A. (0, + ∞) B. [0, + ∞) C. (9, + ∞) D. [9, + ∞)
8.已知函数 ( ) = 2 2 + 3 1在( ∞, 1)上单调递减的概率为2，且随机变量 ～ ( , 1)，则 (1 ≤ ≤
2) = (附：若 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) = 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = 0.9545， (
3 ≤ ≤ + 3 ) = 0.9973)( )
A. 0.1359 B. 0.01587 C. 0.0214 D. 0.01341
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式( 2)6的展开式中，下列结论正确的是( )
A.常数项为 64 B.含 3的项的系数为 160
C.所有的二项式系数之和为 64 D.所有项的系数之和为 1
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10.若 为非零常数，函数 ( )的定义域为 ，则下列说法正确的是( )
A.若 ( )是奇函数，则 ( ) = ( )
B.若 ( )是偶函数，则函数 ( )的图象关于直线 = 对称
C.若 ( ) ( + ) = 0，则函数 ( )的图象关于直线 = 对称
D.若 (2 ) = ( ) + ，则函数 ( ) 的图象关于点( , 2 )对称
11.一个盒子中装有 3 个黑球和 4 个白球，现从中先后无放回地取 2 个球.记“第一次取得黑球”为 1，“第
一次取得白球”为 2，“第二次取得黑球”为 1，“第二次取得白球”为 2，则( )
A. ( 121 2) = 49 B. ( 1) + ( 2) = 1
C. ( 1| 1) + ( 2| 1) = 1 D. ( 2| 1) + ( 1| 2) = 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.为了比较 、 、 、 四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了 、 、 、 四组数据的线性相关
系数，求得数值依次为 0.92， 0.32，0.36， 0.95，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据．
13.已知函数 ( )的定义域为 ，满足 ( ) + (4 ) = 0， ( ) = ( )，当 ∈ [0,2]时， ( ) = 2 +
2 + ，则 (2026) = ______．
14.若直线 = 2 为曲线 = + 的一条切线，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限 (单位：年)和所支出的维修费用 (单位：万
元)的有关资料如下表所示：
使用年限 /年 2 3 4 5 6
维修费用 /万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0



(1)求线性回归方程 = + 的系数 ， ；
(2)估计当使用年限为 8 年时，维修费用是多少．

参考公式：回归方程 = + 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = =1
( )( )
， = ． =1 ( )2
16.(本小题 15 分)
3 月 9 日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理
年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动
锻炼等良好的生活方式和习惯.”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的
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想法，随机调查了 400 名居民，得到如下 2 × 2 列联表：
有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民 2
女性居民 + 20
合计 180
(1)求 的值，并完成上述列联表；
(2)根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？
(3)以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取 4 人，记其中“有减肥想法”的人数为
，求 的期望值．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加
以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完 3 次机会.李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概
率依次为 0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
(1)李明在一年内参加考试次数 的分布列；
(2)李明在一年内领到资格证书的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 2 2+2， ∈ ( 1,1)．
(1)判断函数 ( )的奇偶性；
(2)判断并证明函数 ( )在区间( 1,1)上的单调性；
(3)解关于 1 1的不等式： ( + 2 ) < ( 2 )．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 ( 2 1)( ∈ )．
(1)若 = 1，求证： ( )在(0, + ∞)上单调递减；
(2)若 ( ) ≤ 0 在[1, + ∞)上恒成立，求 的取值范围；
(3)证明：1 + 1 + 12 3 + … +
1
> ln( + 1) +

2( +1) ( ∈ )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.0
14. 2 2
15. 1 (1) 1解： 由表中数据可得， = 5 × (2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 4， = 5 × (2.2 + 3.8 + 5.5 + 6.5 + 7) = 5，
5 =1 ( )( ) 12.3

由最小二乘法公式可得， = 5 2 = 10 = 1.23， = = 5 1.23 × 4 = 0.08． =1 ( )

(2)回归直线方程为 = 1.23 + 0.08，

当 = 8 时， = 1.23 × 8 + 0.08 = 9.92，
故估计当使用年为 8 年时，维修用是 9.92 万元．
16.(1)列联表中部分数据补充如下：
有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民 2
女性居民 + 20
合计 180 2 + 20 400
由上知，有 2 + 20 = 400 180，解得 = 100，
完成列联表如下：
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有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民 100 100 200
女性居民 80 120 200
合计 180 220 400
(2)零假设 0：性别与是否有减肥的想法无关，
2 = 400×(100×120 80×100)
2
则 180×220×200×200 ≈ 4.040 > 3.841，
根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，我们推断 0不成立，即能认为性别与是否有减肥的想法有关；
(3) 100 1由表格中的数据知，从男性居民中抽取 1 人，其“有减肥想法”的概率为 = 100+100 = 2，
则 ～ (4, 12 )， = 0，1，2，3，4，
1
所以 ( ) = 4 × 2 = 2．
17.解：(1) 的取值分别为 1，2，3．
( = 1) = 0.6，
( = 2) = (1 0.6) × 0.7 = 0.28，
( = 3) = (1 0.6) × (1 0.7) = 0.12．
∴李明参加考试次数 的分布列为：
1 2 3
0.6 0.28 0.12
(2)李明在一年内领到资格证书的概率为：
= 1 (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8) = 0.976．
18.解：(1)依题意，函数的定义域( 1,1)关于原点对称，
又 ( ) = 3 2( )2+2 = ( )，
∴ ( )是定义在( 1,1)上的奇函数．
(2) ( )在( 1,1)上单调递增，理由如下：
任取 1， 2 ∈ ( 1,1)，且 1 < 2，
∴ 2 1 > 0， 2 21 2 1 < 0 且 2 1 + 2 > 0，2 2 + 2 > 0，
( ) ( ) = 3 1 3 2 = 6 1 2( 2 1) 6( 2 1) = 6( 2 1)( 1 2 1)则 1 2 2 2+2 2 2+2 (2 2+2)(2 2+2) (2 2 < 0，1 2 1 2 1+2)(2 22+2)
∴ ( 1) ( 2) < 0， ( 1) < ( 2)，
∴ ( )在( 1,1)上单调递增．
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(3)由(2)知， ( )在( 1,1)上单调递增，
+ 1 12 < 2
由 ( + 1 ) < ( 12 2 )
1 1
可得， 1 < + 2 < 1，解得： 2 < < 0
1 < 12 < 1
1 1
故不等式 ( + 2 ) < ( 2 )
1
的解集为( 2 , 0)．
19.解：(1)证明：由 = 1，那么函数 ( ) = 2 ( 2 1)，
因此导函数 ′( ) = 2 + 2 2 ，令函数 ( ) = 2 + 2 2 ，
2
那么导函数 ′( ) = 2，令 ′( ) = 0，则 = 1，
因此 ∈ (1, + ∞)，导函数 ′( ) < 0， ( )在 ∈ (1, + ∞)单调递减，
∈ (0,1)，导函数 ′( ) > 0， ( )在 ∈ (0,1)单调递增，
因此导函数 ′( ) = ( ) ≤ (1) = 2 + 0 2 = 0，
那么函数 ( )在 ∈ (0, + ∞)单调递减；
(2)根据 ( ) ≤ 0 在[1, + ∞)恒成立，
那么 ( 1 ) 2 ≥ 0 在[1, + ∞)恒成立，
令函数 ( ) = ( 1 ) 2 ≥ 0 在[1, + ∞)恒成立，
( ) = (1 + 1 ) 2
2 2 +
导函数 ′ 2 2 = 2 ，令函数 ( ) = 2 + ，
当 ≤ 0 时，函数 ( ) = 2 2 + ， ≤ 0， 2 ≥ 1，因此 ( ) < 0
1
因此导函数 ′( ) < 0，那么函数 ( ) = ( ) 2 ≥ 0 在[1, + ∞)单调递减，
因此 ( ) ≤ (1) = 0，这与 ( ) ≥ 0 在[1, + ∞)恒成立矛盾，因此 ≤ 0 不满足条件，
当 > 0 时，函数 ( ) = 2 2 + 1，对称轴 = > 0，
如果根的判别式 = ( 2)2 4 2 = 4 4 2 ≤ 0，即 ≥ 1，
当 ≥ 1 时， ∈ [1, + ∞)，根的判别式 = 4 4 2 ≤ 0，函数 ( ) = 2 2 + ≥ 0，
因此导函数 ′( ) ≥ 0，那么函数 ( ) = ( 1 ) 2 在[1, + ∞)单调递增，
因此 ( ) ≥ (1) = 0，因此 ≥ 1．
如果根的判别式 = 4 4 2 > 0，即 0 < < 1，
2 2
当 0 < < 1 时，函数 ( ) = 2 2 + = 0 1 1 1+ 1 ，那么 1 = , 1 =
因此当 ∈ (1, 1)时， ′( ) > 0，函数 ( )在 ∈ (1, 1)单调递增，
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当 ∈ ( 1, 2)时， ′( ) < 0，函数 ( )在 ∈ ( 1, 2)单调递减，
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )在 ∈ ( 1, 2)单调递增，
因此 ( 2) ≤ (1) = 0 与 ( ) ≥ 0 在[1, + ∞)恒成立矛盾，
所以 ∈ [1, + ∞)．
(3) 1 1证明： = 1 时，2 ( ) ≥ ( ≥ 1)
故 > 1 1 1时，2 ( ) > ，
= +1 1 +1 1 1 1令 ，则2 ( +1 ) = 2 ( + +1 ) > ln( + 1) ， = 1，2， ， ，
1 1 1 1 1则 个不等式相加 ln( + 1) < 2 + ( 2 + 3 + + ) + 2( +1)
故 1 + 1 + 12 3 + +
1
> ln( + 1) +

2( +1) ∈ ．
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