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2024-2025 学年江西省多校联考高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 2 (1 + 3 )对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 .已知某扇形的圆心角为5，半径为 5，则该扇形的弧长为( )
A. 2 B. 3 5 5 C. D. 2
3 1.已知 = 2，tan( ) =
2
9，则 =( )
A. 16 B.
1
4 C.
1 1
3 D. 2
4.已知函数 ( ) 的图象是由函数 = 2 (2 4 )的图象向左平移 ( > 0)个单位长度得到的，若 ( )是奇
函数，则 的值可以是( )
A. 3 B.

4 C.

6 D. 8
5.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 2 2， = 6， = 3，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2
6.在△ 中，点 满足 = 3 ，点 满足 2 = ， ， 分别是 ， 的中点，设 = ， = ，
则 =( )
A. 1 1 38 + 3 B. 10 +
2 C. 1 + 1 D. 33 4 3 8 +
2
3
7.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 3 = 2 ， = 3，则 =( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
8.已知平面向量 ， 满足 = ( 2,2)，| | = 2| |， 在 方向上的投影向量为(2, 2)，则 ， 的夹角
为( )
A. 4 B.
3 C. 5 4 6 D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线 与平面 相交于点 ，点 在直线 上， ， 是平面 内的任意两点， ， ， ， 不重合，且 ， ，
三点不共线，下列说法正确的是( )
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A.直线 与 是异面直线
B.平面 内一定存在直线平行于平面
C.平面 内一定存在直线垂直于平面
D.若平面 垂直于平面 和平面 ，则 ⊥
10.平行四边形 中， = 8， = 6，∠ = 60°，点 在对角线 上，其中△ 的重心为 ，外
心为 ，垂心为 ，则下列结论正确的是( )
A.若 = 1且 ⊥ ，则 = 4
B. = 32
C. = =
D. 与
|
+ 共线
|cos∠ | |cos∠
11.如图，在正方体 1 1 1 1中， = 2， 1 = 1 1+ 1 1， 为棱 1 1的中点，以下结论
正确的是( )
A.当 + = 1 时，△ 面积的最小值为 2 2
B.当 2 + 2 = 1 时，直线 与平面 所成的角为3
C.二面角 301 1的平面角的正弦值为 6
D.三棱锥 1 1 外接球的表面积为 14
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.若复数 = 2 + ( 为虚数单位)，则 2的虚部为______．
13.已知 = 3，则 2 =______．
14.在直角三角形 中， = = 2， 为斜边 上的动点，△ 沿 向上翻折得到三棱锥 ′ ，
使得平面 ⊥平面 ′，则该三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
3
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 1， = 3 2， 为钝角，△ 的面积为2．
(1)求角 ；
(2)求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (4, 2)，| | = 5， = 8， = + (1 ) ．
(1)若 ⊥ ，求实数 的值；
(2)若 2 与 共线，求 + 与 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面是边长为 4 的正方形，点 在线段 上， ⊥平面 ， = = 13，
是 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )图象相邻的两个最高点和一个最低点恰好能构成一个
4
边长为 4 的等边三角形，且直线 = 3是 ( )图象的一条对称轴．
(1)求 ( )的解析式．
(2)设 ∈ [1,3]， ( )的值域为 ．
①求 ；
②对任意 1 ∈ [1,3]，总存在 2 ∈ ，使得不等式 ( 2 21) ≤ 2 + 2 2 成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
如图 1，已知等边三角形 的边长为 6， ， 分别是 ， 上的点，且 = = 2，将△ 沿 折
起到△ ′ 的位置，得到如图 2 所示的四棱锥 ′ ．
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(1)证明： ⊥ ′ ．
(2) ′在棱 ′ 上是否存在点 满足 //平面 ′ ？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由．
(3)已知二面角 ′ 的大小是3，点 在四边形 内(包括边界)，且 ′ = 7，当直线 ′
与直线 的夹角的余弦值最大时，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 45
14. 23
15.(1)由△ 的面积 = 12 =
3
2，
1
可得2 × 1 × 3 2 =
3 2 3
2，解得 = 2 ，结合 > 2，可得 = 4；
(2) = 1 = 3 2 = 3 因为 ， ， 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 1 + 18 2 × 1 × 3 2 × ( 22 ) = 25，解得 = 5，
所以△ 的周长 + + = 6 + 3 2．
16.(1)由 = (4, 2)可得| | = 42 + ( 2)2 = 2 5，
因为 = + (1 ) ，且 ⊥ ， = 8，
所以 = [ + (1 ) ] = 2 + (1 ) = 20 8(1 ) = 0，
= 2解得 7．
(2)因为 2 与 共线，
所以可设 2 = ，
即 2 = + (1 ) ，
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= 1
则有 (1 ) = 2，
解得 = = 1，
故 = + 2 ．
由| |2 = 2 = ( + 2
2
)2 = 2 4 + 4 = 20 4 × ( 8) + 4 × 5 = 72，
可得| | = 6 2，
2
又| + | = ( + )2 = 2 + 2 + = 20 + 2 × ( 8) + 5 = 3，
2
而( + ) = ( + ) ( + 2 ) = 2 + + 2 = 20 8 + 10 = 18，

故 cos < + , >= ( + ) = 18 2
| + || | 3×6 2
= 2 ．
17.(1)证明：因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
又 = ，所以 是 的中点，
1
所以 // ， = 2 ．
取 的中点 ，连接 ， ，
1
可知 // ， = 2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，从而 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 //平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以 = ，
又 = ， = 2 2 = 3，
1 1
所以三棱锥 的体积为 = 3 × ( 2 × 2 × 4) × 3 = 4．
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18.(1)如图，△ 是边长为 4 的等边三角形，它的高为 4 × 3 = 2 3，2
即 ( ) = 2 = 2 3，得 = 3．
因为 = 4，
所以 ( )的最小正周期 = 4，
2
即 = 4，解得 = 2，
又直线 = 43是 ( )图象的一条对称轴，

所以2 ×
4
3 + =

2 + ， ∈ ，

解得 = 6 + ， ∈ ，
| | < 因为 2，
所以 = 6，

所以 ( ) = 3sin( 2

6 )；
(2)①当 ∈ [1,3] 时，2
4
6 ∈ [ 3 , 3 ]，
sin( 2
) ∈ [ 3 , 1]；6 2
所以 32 ≤ ( ) = 3sin(

2 6 ) ≤ 3，
故 = [ 32 , 3]；
②由①知 ( )的最大值为 3，
所以不等式 ( 1) ≤ 22 + 2 2 2 转化为 3 ≤ 2 22 + 2 2 ，
即存在 ∈ ，使得不等式 3 ≤ 2 + 22 2 2 2 成立．
令 = 2 + 2 2 3， ∈ [ 2 , 3]．
1
因为抛物线 = 2 + 2 2 的对称轴方程为 = 2，开口向上，
所以 = ( 3)2 + 3 2 2 = 3 + 3 2 2 ，
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所以 2 + 2 3 ≤ 0，解得 3 ≤ ≤ 1，
即实数 的取值范围为[ 3,1]．
19.(1)证明：在△ 中， = 2 ， = 4, = 3，
由余弦定理求得 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 3．
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
由题中图 2 可知， ⊥ ， ⊥ ′ ，
∩ ′ = ， ， ′ 平面 ′
所以 ⊥平面 ′ ，
因为 ′ 平面 ′ ，
所以 ⊥ ′ ．
(2)假设在棱 ′ 上存在点 满足 //平面 ′ ，如图 3，
过点 作 // ，交 于点 ，连接 ．
因为 // ，所以 //平面 ′ ，
又因为 //平面 ′ ， ∩ = ， ， 平面 ′ ，
所以平面 //平面 ′ ．
又因为平面 ′ ∩平面 ′ = ′ ，平面 ′ ∩平面 = ，
// 所以 ′ ，所以 =
′
．
1
又因为 = = 3，
= 1 ′所以 3，从而 = 2． ′
(3)由(1)可知 ⊥ ， ⊥ ′ ，
所以二面角 ′ 的平面角为∠ ′ ，则∠ ′ = 3．
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如图 4，过点 ′作 ′ ⊥ ，垂足为 ，求得 ′ = 3．
由(1)可知 ⊥平面 ′ ，所以平面 ⊥平面 ′ ，
又平面 ∩平面 ′ = ，所以 ′ ⊥平面 ．
因为 ′ = 7，可得 = 2，所以点 在以 为圆心，2 为半径的圆上．
直线 ′ 与平面 所成的角为∠ ′ ，
直线 ′ 与直线 所成的角最小为∠ ′ ，
此时 // ， = 3， = 2，∠ = 60°，
在△ 中，由余弦定理求得 = 2 + 2 2 cos∠ = 7．
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