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第三章　万有引力定律
本章复习提升
易混易错练
　　　　　 　　　　 　　　　
易错点1　混淆半长轴、轨道半径
1.神舟十一号飞船沿半径为R的圆周绕地球运动,其周期为T,如果飞船要返回地面,可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行,椭圆轨道与地球表面在B点相切,如图所示,求飞船由A点运动到B点所需要的时间。(已知地球半径为R0)
易错点2　混淆地面物体所受重力和万有引力
2.假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的半径为 (　　)
A. B.
C. D.
易错点3　混淆万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r
3.宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,受到彼此的万有引力作用而互相绕转,称为双星系统。双星以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动,不会因万有引力作用而吸在一起(不考虑其他天体对它们的影响)。已知双星的质量分别为m1和m2,相距L,求它们运转的角速度ω。
某个同学对本题的解答如下:
设质量分别为m1、m2的两星体的运动轨道半径为r1、r2,则得
G=m1r1ω2 ①
G=m2r2ω2 ②
r1+r2=L ③
联立①②③三式解得ω=
(1)该同学的解答是正确的还是错误的 请你作出判断,并对你的判断作出解释;
(2)对题中给出的求解问题,写出你自己的解答过程和结果。
易错点4　混淆赤道上物体随地球自转与卫星绕地球运动的区别
4.地球同步卫星到地心的距离为r1,运行速率为v1,向心加速度为a1;地球的近地卫星运行速率为v2,向心加速度为a2;地球赤道上的物体随地球自转的速率为v3,向心加速度为a3。地球半径为r,则下列比值正确的是 (　　)
①=　②=　③=　④=
A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③
思想方法练
　　　　　 　　　　 　　　　
一、填补法
方法概述
有些题目中,所研究的物体被挖去一部分,求解时先填补被挖部分,使物体恢复对称性,从而使题目变得更易理解,这种解题方法叫作填补法。
1.如图所示,将一半径为R、质量为M的均匀大球,沿直径挖去两个半径分别为大球半径一半的小球,并把其中一个放在球外与大球靠在一起,挖去小球的球心、球外小球的球心、大球的球心都在一条直线上,则大球中剩余部分与球外小球间的万有引力大小约为　(　　)
A.0.01 B.0.02
C.0.05 D.0.04
二、对称法
方法概述
对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中,一般情况下表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等。利用对称法分析解决物理问题,可以避免复杂的数学演算和推导,大大简化解题步骤。
2.如图所示,三个质量均为M的球分别位于圆环、半圆环和完整圆环的圆心,圆环、半圆环分别是由与丙图中相同的完整圆环截去和一半所得,环的粗细忽略不计,若甲图中环对球的万有引力大小为F,则乙图、丙图中环对球的万有引力大小分别为 (　　)
A.F,2F B.F,0
C.F,2F D.F,F
三、数理结合法
方法概述
数理结合法指运用数学知识(函数图像、函数表达式),对所研究的物理问题进行定量分析的方法。
3.在星球M上,将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,其加速度a与弹簧的压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上,用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体,已知星球M的半径是星球N的3倍,求:
(1)Q和P的质量之比;
(2)星球M和星球N的密度之比。
答案与分层梯度式解析
第三章　万有引力定律
本章复习提升
易混易错练
1.答案　T
解析　当飞船在圆周轨道上绕地球运动时,有=k;当飞船进入椭圆轨道运动时,其椭圆轨道的半长轴是,有/T'2=k,由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期T'=T,故飞船由A点运动到B点所需的时间为t=T。
错解分析
　　解答本题易出现的错误是因分析不清椭圆轨道的半长轴的含义,不知如何求半长轴的大小,胡乱求解。利用开普勒第三定律解题时有两个关键,一是找对中心天体;二是求对轨道半长轴的长度。
2.A　在地球两极,物体所受重力等于万有引力,则有mg0=;在赤道处,物体所受万有引力和支持力的合力提供向心力,其中支持力的大小等于物体的重力,则有-mg=mR;联立解得R=,选项A正确,B、C、D错误。
错解分析
　　解答本题容易出错的地方是:混淆赤道上物体受到的万有引力和物体的重力,不明白物体受到的万有引力F、重力mg和向心力之间的关系。
3.答案　见解析
解析　(1)该同学的解答是错误的。解释如下:计算天体做匀速圆周运动的向心力时,万有引力提供向心力,万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r始终是同一个量导致错误。
(2)双星间的万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力,有
G=m1r1ω2 ①
G=m2r2ω2 ②
r1+r2=L ③
联立①②③三式解得ω=
错解分析
　　解答本题易犯的错误是混淆万有引力表达式和向心力表达式中两个r的真实含义。实际上,万有引力表达式F=G中的r表示两个物体质心之间的距离,向心力表达式F=m=mω2r中的r表示物体做匀速圆周运动的轨道半径,可见这两个公式中的r的含义是不同的。
4.D　卫星绕地球做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,由G=m=ma,可得v=,a=G,所以=,=,①③正确;由于地球同步卫星的角速度和地球自转的角速度相等,由v=ωR可知=,由a=Rω2可知=,故②正确、④错误。故选D。
错解分析
　　地球赤道上的物体随地球一起转动,其所受的万有引力大于向心力,不能用卫星运行规律来分析它的运动特点。此类问题最佳的突破方法是用同步卫星作为纽带,先将同步卫星与其他运行的卫星进行对比,再将同步卫星与随地球一起转动的物体进行对比。
思想方法练
1.D　由题意可得,挖去的小球的半径为、质量为。挖出小球前,大球对球外小球的万有引力为F=G=;将挖出的小球填回原位置,则填入左侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F1=G=,填入右侧原位置的小球对球外小球的万有引力为F2=G=,则大球中剩余部分对球外小球的万有引力为F3=F-F1-F2≈0.04,故选D。
方法点津
　　先把挖去的部分“补”上,得到半径为R的完整球体,再根据万有引力公式,分别计算补回的左、右两个半径为的球体和半径为R的完整球体对球外小球的万有引力F1、F2、F,再利用力的合成与分解规律即可求得结果。
2.B　将甲图中圆环看成是三个圆环的组合,关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零,由题知 圆环对球的万有引力大小为F,所以圆环对球的万有引力大小为F;将乙图中半圆环看成是两个圆环的组合,根据平行四边形定则,乙图中半圆环对球的万有引力大小为F,方向向上;将丙图完整圆环看成是4个圆环的组合,关于圆心对称的两个圆环对球的万有引力的合力为零,因此丙图中整个圆环对球的引力为0。故选B。
方法点津
　　分析清甲图圆环的结构特点是本题的突破口。利用对称思想,推断出甲图中左上方圆环对球的万有引力大小为F,再将乙、丙中的圆环看成由几个圆环组成,利用矢量合成及对称法轻松解题。
3.答案　(1)6∶1　(2)1∶1
解析　(1)设星球M和星球N表面的重力加速度分别为gM和gN,P、Q两物体的质量分别为mP和mQ。
由牛顿第二定律可得mg-kx=ma
故加速度a=-+g
由题图可知=,=
解得mQ∶mP=6∶1
(2)由a=-+g结合题图可得gM∶gN=3∶1
在星球表面,有mg=G
可得gR2=GM
又有M=ρπR3
可得ρ=
故ρM∶ρN==1∶1
方法点津
　　根据题述物理过程,写出a-x函数关系式,根据关系式与a-x图像的对应关系,得出P、Q两物体的质量之比及M、N两星球表面的重力加速度之比,再推导出两星球密度之比。

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