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第四章　机械能及其守恒定律
第一节　功
基础过关练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　功的计算
1.如图所示,下列三种情况下,相同大小的作用力F作用在沿水平面运动的物块上。如果物块沿图中速度的方向运动相同大小的位移,力F做的功分别为W甲、W乙、W丙,下列关系正确的是 (　　)
A.W甲=W乙 B.W甲=W丙
C.W乙=W丙 D.W甲=-W丙
2.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球,小球上升的最大高度为h,空气阻力的大小恒为f,则从抛出至回到原出发点的过程中,空气阻力对小球做的功为　 (　　)
A.0 B.fh C.-2fh D.2fh
3.两个相互垂直的共点力F1和F2作用在同一物体上,使物体运动一段位移。如果F1对物体做功4 J,F2对物体做功3 J,则F1和F2的合力对物体做功为 (　　)
A.1 J B.5 J C.7 J D.-1 J
4.如图所示,质量为m的物体P放在光滑的倾角为θ的斜面体上,同时用力F向右推斜面体,使P与斜面体保持相对静止。在前进水平位移为l的过程中,斜面体对P做功为(重力加速度大小为g) (　　)
A.Fl B. mg sin θ·l
C.mg cos θ·l D.mg tan θ·l
5.春季健身节,某校男生进行拉轮胎训练,如图所示,质量为m的轮胎在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下,沿水平地面向前移动了一段距离l。已知轮胎与地面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,则以下关于轮胎受到的各力做功的说法正确的是 (　　)
A.重力做功为mgl
B.支持力做功为mgl sin θ
C.拉力做功为Fl cos θ
D.滑动摩擦力做功为-μmgl
6.如图所示,质量为m=2 kg的物体静止在水平地面上,受到与水平方向夹角为θ=37°、大小F=10 N的拉力作用,物体移动了l=2 m,物体与地面间的动摩擦因数μ=0.3,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)拉力F所做的功W1;
(2)摩擦力Ff所做的功W2;
(3)重力G所做的功W3;
(4)弹力FN所做的功W4;
(5)合力F合所做的功W。
题组二　正功和负功
7.如图所示,两箱相同的货物,现要用电梯将它们从一楼运到二楼,其中图甲是利用扶梯台式电梯运送货物,图乙是用履带式自动电梯运送,假设两种情况下电梯都匀速运动,下列关于两电梯在运送货物时的说法正确的是 (　　)
A.两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功
B.图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C.图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功
D.图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
8.(多选)在匀加速向左运动的车厢里,一个人用力向左推车厢,人相对车厢未移动,下列说法正确的是 (　　)
A.人对车不做功
B.人对车做负功
C.推力对车做正功
D.车对人做正功
9.传送带广泛应用在生产和生活中。如图所示,工作人员将质量m=1 kg的邮件无初速度地轻放在速度大小v=0.4 m/s匀速运动的水平传送带上,经20 s邮件离开传送带。已知该邮件和传送带之间的动摩擦因数μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)邮件刚放在传送带上时加速度a的大小;
(2)0~20 s内邮件位移x的大小;
(3)0~20 s内滑动摩擦力对邮件所做的功W。
题组三　做功与能量变化的关系
10.(多选)下列有关功和能的说法中正确的是 (　　)
A.做功的过程就是物体能量的变化过程
B.功和能的单位相同,它们的物理意义也相同
C.做了多少功,就有多少能量发生了变化
D.功和能不能相互转化,二者是不同的物理量 能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　计算恒力做功
1.(多选)A、B两物体的质量之比mA∶mB=2∶1,它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动(水平方向仅受摩擦阻力作用),直到停止,其速度-时间图像如图所示,则下列说法正确的有 (　　)
A.A、B两物体所受摩擦阻力之比FA∶FB=4∶1
B.A、B两物体所受摩擦阻力之比FA∶FB=2∶1
C.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA∶WB=4∶1
D.A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比WA∶WB=2∶1
2.如图所示,水平路面上有一辆质量为M的汽车,车厢中有一个质量为m的人正用水平恒力F向前推车厢,在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.人对车的推力F做的功为FL
B.人对车做的功为maL
C.车对人的作用力大小为ma
D.车对人的摩擦力做的功为(F-ma)L
3.一物体放在水平地面上,如图1所示,已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图2所示,物体相应的速度v随时间t的变化关系如图3所示,求:
(1)0~6 s时间内物体的位移;
(2)物体受到的滑动摩擦力的大小;
(3)0~10 s时间内,物体克服摩擦力所做的功。
题组二　计算变力做功
4.如图甲所示,静止于光滑水平面上的小物块,在水平拉力F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动,F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线右半部分为四分之一圆弧,则小物块从坐标原点O运动到2x0过程中拉力所做的功为 (　　)
A.0
B.Fmx0(1+π)
C.Fmx0
D.Fmx0
5.(多选)如图所示,摆球质量为m,悬线长度为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变,重力加速度大小为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.重力做功为mgL
B.悬线的拉力做功为mgL
C.空气阻力做功为-fπL
D.克服空气阻力做功为fL
6.如图所示,固定的光滑竖直杆上套着一个滑块,系着滑块的轻绳绕过光滑的定滑轮,以恒定的拉力F拉绳,使滑块从A点由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2,图中AB=BC,则 (　　)
A.W1>W2
B.W1C.W1=W2
D.无法确定W1和W2的大小关系
题组三　计算总功
7.为了节省电能,商场扶梯在没有乘客时几乎静止不动,一旦有人站上扶梯,它会立即加速运转,达到某速度后匀速运转。如图所示,一质量为m的顾客踏上倾角为θ的扶梯,扶梯立即以大小为a的加速度做匀加速运动,到扶梯恰好开始匀速运行时顾客上升的高度为H,重力加速度为g,则此过程中扶梯对顾客所做的功为 (　　)
A.mgH B.ma
C.mH D.mH
答案与分层梯度式解析
第四章　机械能及其守恒定律
第一节　功
基础过关练
1.B　由功的计算公式可得W甲=Fx cos(180°-θ)=Fx cos 30°=Fx,W乙=Fx cos (180°-θ)=Fx cos 150°=-Fx,W丙=Fx cos θ=Fx·cos 30°=Fx,对比可得W甲=W丙,选项B正确,A、C、D错误。
2.C　上升过程:空气阻力对小球做功W1=-fh,下落过程:空气阻力对小球做功W2=-fh,则从抛出至落回到抛出点的过程中,空气阻力对小球做的功为W=W1+W2=-2fh,选项C正确。
3.C　功是标量,所以合力做功等于各分力做功的代数和,所以合力对物体做功为W=+=7 J,选项C正确。
4.D　物体P与斜面体相对静止,二者必定都向右加速运动,可知P所受的合外力方向水平向右,画出P的受力示意图如图所示:
由几何关系得N=,所以斜面体对P的支持力做的功为W=Nl sin θ=mgl tan θ,故D正确,A、B、C错误。
5.C　因为重力方向竖直向下,支持力方向竖直向上,位移沿水平方向,可知重力、支持力方向均与位移方向垂直,所以重力、支持力做功均为零,故A、B错误;由功的公式可得拉力做功为W=Fl cos θ,故C正确;轮胎竖直方向受力平衡,有F sin θ+FN=mg,摩擦力Ff=μFN=μ(mg-F sin θ),故摩擦力做功为Wf=-Ffl=-μ(mg-F sin θ)l,D错误。
6.答案　(1)16 J　(2)-8.4 J　(3)0　(4)0
(5)7.6 J
解析　对物体进行受力分析,如图所示:
(1)根据功的计算公式可得拉力F做功为
W1=Fl cos θ=10×2×0.8 J=16 J
(2)摩擦力Ff做功为
W2=-Ffl=-μ(mg-F sin θ)l=-0.3×(20-6)×2 J=-8.4 J
(3)因为物体在重力方向没有产生位移,所以重力G做功W3=0
(4)因为物体在弹力方向没有产生位移,所以弹力FN做功W4=0
(5)合力F合所做的功为
W=W1+W2+W3+W4=7.6 J
7.D　题图甲中,货物随电梯匀速上升时,货物受到的支持力竖直向上,与货物位移方向的夹角小于90°,故此种情况下支持力对货物做正功,C错误;题图乙中,货物受到的支持力与履带式自动电梯的斜面垂直,此时货物受到的支持力与货物的位移方向垂直,故此种情况下支持力对货物不做功,故A、B错误,D正确。
8.BCD　在加速向左运动的车厢中,人的加速度向左,由牛顿第二定律可知人受的合力向左,人在竖直方向受力平衡,水平方向的合力是车厢对人的力的水平分力,所以车厢对人做正功,由牛顿第三定律知人对车厢的力的水平分力向右,所以人对车做负功,所以A错误,B、D正确;人对车厢的推力向左,车向左运动,所以人对车厢的推力做正功,故C正确。
9.答案　(1)2 m/s2　(2)7.96 m　(3)0.08 J
解析　(1)邮件刚放在传送带上时受向前的滑动摩擦力,大小为f=μmg
根据牛顿第二定律可知
加速度的大小a===μg=2 m/s2
(2)邮件加速过程所用时间t1==0.2 s
x1=t1=0.04 m
邮件的总位移x=x1+v(t-t1)=7.96 m
(3)滑动摩擦力对邮件所做的功W=fx1=0.08 J
10.ACD　功是能量变化的量度,做功的过程就是能量变化的过程,选项A正确;功和能的单位相同,但它们的物理意义不同,选项B错误;功是能量变化的量度,做了多少功,就有多少能量发生了变化,选项C正确;功和能是不同的物理量,二者不能相互转化,选项D正确。
能力提升练
1.AD　由题图可知A、B两物体加速度大小之比为=2,根据牛顿第二定律可知A、B两物体所受摩擦阻力之比为==,选项A正确,B错误;由题图可知A、B两物体的位移大小之比为=,则A、B两物体克服摩擦阻力做的功之比为==,选项C错误,D正确。
2.A　根据功的公式可知,人对车的推力F做的功为WF=FL,A正确;在水平方向上,由牛顿第二定律可知车对人的作用力为F'=ma,由牛顿第三定律可知人对车的作用力为-ma,故人对车做的功为W=-maL,B错误;水平方向上,车对人的作用力大小为ma,竖直方向上,车对人的作用力大小为mg,故车对人的合力为N==m,C错误;对人,由牛顿第二定律可得f-F'=ma,F'=F,可得f=ma+F,故车对人的摩擦力做的功为W=fL=(F+ma)L,D错误。
3.答案　(1)6 m　(2)2 N　(3)30 J
解析　(1)速度-时间图像中图线与时间轴所围的面积代表位移,则
x=×(6-2)×3 m=6 m
(2)如题图3所示,在6~8 s内,物体做匀速直线运动,拉力F等于滑动摩擦力,由题图2可知滑动摩擦力的大小为2 N。
(3)由v-t图线与时间轴围成的面积知,在0~10 s内的位移
x'=×(2+8)×3 m=15 m
则全过程中物体克服摩擦力做功Wf=fx'=2×15 J=30 J
方法技巧
　　 解答图像类问题的思路:
4.C　由于F-x图线与x轴围成的面积表示拉力F所做的功,可知在小物块从坐标原点O运动到2x0过程中拉力F做的功W=Fmx0+πx0Fm=Fmx0,故C正确,A、B、D错误。
5.AC　重力竖直向下,摆球下落的高度为L,重力做功为WG=mgL,选项A正确;悬线的拉力始终与速度v垂直,不做功,选项B错误;将圆弧路径分成若干小圆弧,每一段小圆弧上可认为f是恒力,所以f所做的总功等于每段小圆弧上f所做功的代数和,即Wf=-(fΔx1+fΔx2+…)=-fπL,选项C正确,D错误。
方法技巧
　　 求变力做功的方法
(1)分段法;
(2)平均值法;
(3)微元法;
(4)转换研究对象法;
(5)图像法。
6.A　绳子对滑块做功为变力做功,可以通过转换研究对象,将变力做的功转化为恒力做的功。因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功,而拉力F为恒力,拉力F做的功W=F·Δl,Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点通过的位移,其大小等于滑轮左侧绳长的缩短量,由题图可知,ΔlAB>ΔlBC,故W1>W2,A正确。
7.C　设此过程中扶梯对顾客所做的功为W扶,重力对顾客做的功为WG。根据牛顿第二定律可知顾客所受合外力大小为F=ma,合外力对顾客所做的功等于各个外力对顾客所做功的代数和,则=W扶-mgH,联立上述两式解得W扶=mH,选项C正确。(共13张PPT)
1.功的定义
　　一个物体受到力的作用,且物体在力的方向上发生一段位移,就说这个力对
物体做了机械功,简称功。
2.做功的两个必要因素
　　作用在物体上的力和物体在力的方向上发生的位移,是做功的两个必要因素。
3.功的计算公式
(1)力和物体位移方向一致时,W=Fs。
第一节　功
1 | 功的计算
(2)力与物体位移方向的夹角为α时,W=Fs cos α,即力对物体所做的功等于力的大
小、位移的大小以及力和位移夹角的余弦的乘积。
(3)适用条件:在用公式W=Fs cos α计算力F做的功时,F应为恒力。
4.功的单位
　　功的单位为焦耳,简称焦,符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发
生1 m的位移时所做的功。即1 J=1 N·m。
5.总功的计算
　　当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时,这几个力对物体所做的总功
等于各个力分别对物体所做功的代数和,也等于这几个力的合力对物体所做的
功。
利用公式W=Fs cos α计算功的大小时,F、s都只取绝对值,力对物体做正功还是负
功,由力F和位移s的夹角α决定,如表所示:
2 | 正功和负功
α的取值 cos α 功的正负 物理意义
0≤α< cos α>0 W>0,力 做正功 做功的力是动力
α= cos α=0 W=0,力 不做功 力既不是动力,也不是
阻力
<α≤π cos α<0 W<0,力 做负功 做功的力是阻力
1.能量的意义
　　一个物体能够对其他物体做功,我们就说这个物体具有能量。
2.功与能的关系
　　做功的过程就是能量变化的过程。做了多少功,就有多少能量发生变化。功
是能量变化的量度。
3 | 做功与能量变化的关系
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.行星围绕太阳在圆轨道上运行时,引力对行星一定做功。( )
2.汽车沿斜坡向上加速行驶时,牵引力对汽车一定做功。( √ )
3.物体受到力的作用,而且还通过了一段位移,则此力一定做了功。( )
物体在力的方向通过位移才能做功。
4.作用在物体上的两个力,一个做正功,一个做负功,这两个力的方向一定相反。
( )
知识辨析
1.单个恒力做功
2.合力做功
　　方法一:先求合外力F合,再用W合=F合s cos α求功。适用于F合为恒力的过程。
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3…,再应用W合=W1+W2+W3+…求合力做的
功。
计算功的方法
3.变力做功
(1)当变力方向不变,大小与位移成正比时,如图所示,可用力对位移的平均值F=
(F初+F末)来计算。

(2)当变力大小不变,方向在变化且力的方向始终与速度方向相同或相反时,功可
用力与路程的乘积计算,如图所示,用力F转动半径为R的磨盘,力F大小不变,且力
的方向始终与力的作用点处的切线一致,在转动一周的过程中,力F做功为2πRF。
(3)用变力F随位移x的变化图像与x轴所围的“面积”计算功。注意x轴上下两侧
分别表示正、负功,如图所示。
典例　质量为M的长木板放在光滑的水平面上【1】,一个质量为m的滑块以某一
速度沿木板上表面从A点滑至B点,在木板上前进了距离L【2】,而木板前进了距离s
【3】,若滑块与木板间的动摩擦因数为μ,求:
(1)摩擦力对滑块所做的功;
(2)摩擦力对木板所做的功;
(3)这一对摩擦力做的总功【4】。
信息提取　【1】水平面与长木板间没有摩擦力。
【2】L是滑块相对木板的位移。
【3】s是木板相对地面的位移,则滑块相对地面的位移为L+s。
【4】功是标量,计算总功时可以直接求其代数和。
思路点拨 根据功的公式【5】可知,摩擦力对滑块、木板所做的功等于摩擦力与
滑块、木板相对于地面的位移的乘积。摩擦力做的总功等于摩擦力对滑块、木
板所做功的代数和。
解析 (1)滑块受力情况如图甲所示
摩擦力对滑块所做的功为W1=-Ff(s+L)=-μFN1(s+L)=-μmg(s+L)(由【2】、【3】和
【5】得到)
(2)木板受力情况如图乙所示,摩擦力对木板所做的功为W2=Ff's=μmgs(由【3】和
【5】得到)
(3)这一对摩擦力做功的代数和为
W=W1+W2=-μmgL(由【4】得到)
答案 (1)-μmg(s+L) (2)μmgs (3)-μmgL

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