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第四章　机械能及其守恒定律
第七节　生产和生活中的机械能守恒
基础过关练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　落锤打桩机
1.图甲是一台打桩机的简易模型,桩柱B静止在水平地面上,重锤A在绳子拉力作用下从桩柱上端由静止上升,当重锤上升4.2 m时,撤去拉力F,重锤继续上升0.8 m后自由下落,并与桩柱撞击,撞击后将桩柱打入地下一定深度。已知重锤的质量m=42 kg,桩柱的质量M=168 kg。重锤上升过程中其动能随上升高度的变化规律如图乙所示,重锤和桩柱撞击时间极短,滑轮离地足够高,不计空气阻力和滑轮的摩擦,重力加速度g=10 m/s2。试求:
(1)重锤从最高点落回桩柱B上端所用的时间和重锤落回到桩柱B上端时的速度大小;
(2)撤去拉力F前,拉力F做功的平均功率。
题组二　跳台滑雪
2.一跳台滑雪运动员在场地进行训练。运动员以30 m/s的速度斜向上跳出,空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m,运动员总质量为60 kg,重力加速度g取10 m/s2。试分析(结果可以保留根号):
(1)若不考虑空气阻力,理论上运动员着陆时的速度多大
(2)若运动员着陆时的速度为44 m/s,飞行中克服空气阻力做功为多少
题组三　过山车
3.游乐场的过山车可以底朝上在竖直圆轨道上运行,游客却不会掉下来,我们把这种情形抽象为如图所示的模型。斜面轨道的下端B与半径为R的圆轨道相接,圆轨道向右的出口与高为h2的车站坡底D用长度为L的导轨连接。让一个可以视为质点的玩具过山车从斜面轨道上端A由静止滑下,恰好能通过圆轨道的最高点C,最后滑上车站顶端P时恰好停了下来。只考虑过山车与导轨BD间的摩擦,其他摩擦不计,轨道连接处无能量损失,重力加速度取g。求:
(1)过山车经过B点时的速度大小vB;
(2)过山车释放的高度大小h1;
(3)过山车与导轨BD间的动摩擦因数μ。
能力提升练
　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　应用动能定理解决打桩机问题
1.小军看到打桩机,对打桩机的工作原理产生了兴趣。他构建了一个打桩机的简易模型,如图甲所示。他设想,用大小恒定的拉力F拉动绳端B,使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动,上升一段高度后撤去F,物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子,将钉子打入一定深度。按此模型分析,若物体质量m=1 kg,上升1 m高度时撤去拉力,撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图像如图乙所示。(g取10 m/s2,不计空气阻力)
(1)求物体上升到0.4 m高度处时F的瞬时功率;
(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起,且使其不再落下,钉子获得20 J的动能向下运动,钉子总长为10 cm,撞击前插入部分可以忽略,不计钉子重力,已知钉子在插入过程中所受的阻力f与深度x的关系图像如图丙所示,求钉子能够插入的最大深度。
题组二　应用动能定理解决跳台滑雪问题
2.跳台滑雪的滑道示意图如图,运动员从起滑点A由静止出发,经过助滑雪道、跳台,到起跳点B,跳台为倾角α=15°的斜面。助滑雪道、跳台均光滑。运动员跳起后在空中运动一段时间,落在倾角θ=30°的倾斜着陆坡道上的C点。起跳是整个技术动作的关键,运动员可以利用技巧调整起跳时的角度。已知A、B的高度差H=45 m,不计空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2,运动员可看作质点。求:
(1)运动员不调整起跳角度情况下,从B到C的时间(结果用根号表示);
(2)运动员调整起跳角度后,BC能达到的最大距离。
题组三　应用动能定理解决过山车问题
3.过山车是一种惊险的游乐项目,其运动轨道可视为如图所示的物理模型。已知轨道最高点A离地面高为20 m,圆环轨道半径为5 m,过山车质量为50 kg,g=10 m/s2,求:
(1)若不计一切阻力,过山车从A点静止释放后,经过最低点B时的速度为多大
(2)若不计一切阻力,当过山车经过圆形轨道最高点C时,轨道对车的作用力为多大
(3)若考虑阻力的影响,当过山车经过C点时对轨道恰好无压力,则在过山车从A点运动至C点的过程中,克服阻力做的功为多大
4.游乐场的过山车可以底朝上在轨道上运行,游客却不会掉下来,如图甲所示,我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型,弧形轨道的下端N与竖直圆轨道平滑相接,P为圆轨道的最高点。使小球(可视为质点)从弧形轨道上滚下,小球进入圆轨道后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。
(1)小球沿弧形轨道运动的过程中,经过某一位置A时动能为Ek1,重力势能为Ep1,经过另一位置B时动能为Ek2,重力势能为Ep2。请根据动能定理、重力做功与重力势能变化的关系,证明:小球由A运动到B的过程中,总的机械能保持不变,即Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
(2)已知圆形轨道的半径为R,将一质量为m的小球从弧形轨道距地面高h=2.5R处由静止释放。请通过分析、计算,说明小球能否通过圆轨道的最高点P。
(3)小球由静止释放的高度h不同,运动到圆形轨道的P点时,对轨道的压力大小FN'也不同,求FN'与h的关系式。小球由静止释放的高度取某些值时,它可能会脱离圆形轨道。若小球在运动过程中始终没有脱离轨道,请指出其释放高度h的取值范围。
答案与分层梯度式解析
第四章　机械能及其守恒定律
第七节　生产和生活中的机械能守恒
基础过关练
1.答案　(1)1 s　10 m/s　(2)1 000 W
解析　(1)重锤上升的最大高度为
H=(4.2+0.8) m=5.0 m
根据自由落体运动的规律可得H=gt2
重锤落回到桩柱B上端时的速度v1=
解得v1=10 m/s,t=1 s
(2)撤去拉力前,重锤匀加速上升,由动能定理可得
(F-mg)h1=Ek1
又有Ek1=mv2,=F·,解得=1 000 W
2.答案　(1)10 m/s　(2)4 920 J
解析　(1)不考虑空气阻力,根据机械能守恒定律有mgh=mv2-m
解得v==10 m/s
(2)根据动能定理有mgh-W克=m-m
解得W克=mgh+m-m=4 920 J
3.答案　(1)　(2)2.5R　(3)
解析　(1)设过山车通过圆轨道最高点的速度为v',由牛顿第二定律可得mg=m ①
过山车从B点沿圆轨道向上滑行到最高点的过程中,根据机械能守恒定律,有m=mv'2+mg·2R ②
由①②两式解得vB= ③
(2)过山车从斜面轨道释放到滑至B点的过程中,根据机械能守恒定律有mgh1=m ④
由③④两式解得h1=2.5R ⑤
(3)过山车从B点滑出至车站顶端P的过程中,根据动能定理,有-μmgL-mgh2=0-m ⑥
由③⑥两式解得μ=
能力提升练
1.答案　(1)120 W　(2)0.02 m
解析　(1)撤去F前,根据动能定理,有(F-mg)h=Ek-0
由题图乙得,图线斜率为k=F-mg=20 N
代入数据解得F=30 N
又由题图乙得h=0.4 m时,Ek=8 J,即mv2=8 J,得v=4 m/s
F的瞬时功率PF=Fv=120 W
(2)碰撞后,对钉子,有-x'=0-Ek',其中Ek'=20 J
由于平均阻力是最大阻力的一半,所以==
又由题图丙得k'=105 N/m
代入数据解得x'=0.02 m
方法技巧
　　解答本题要注意以下两点:
(1)动能与势能之和是物体的机械能,由图乙所示图像可以求出物体上升0.4 m时物体的速度,根据动能定理求得力F的大小,然后代入功率的计算式进行计算;
(2)钉子在插入过程中所受阻力f对钉子做功,数值等于钉子动能的改变,根据动能定理即可求得结果。
2.答案　(1)2 s　(2)180 m
解析　(1)设运动员及其装备的总质量为m,起跳时的速度为v,从A到B过程中,根据机械能守恒定律有
mgH=mv2
设运动员从B到C的时间为t,将运动分解到垂直斜坡方向和平行斜坡方向,在垂直斜坡方向上
=v sin (α+θ)
ay=g cos θ
且落到斜坡上时
t=
代入数据解得
t=2 s
(2)设运动员调整角度为β时,B、C间距离为x,则
x=vt' cos (β+θ)+axt'2
ax=g sin θ
t'=
整理得x= sin (β+θ) cos β
根据数学公式可知,当β=30°时,x最大,代入数据解得,最大值为
xm=180 m
3.答案　(1)20 m/s　(2)1 500 N　(3)3 750 J
解析　(1)由机械能守恒定律得mgh=mv2
解得v==20 m/s
(2)从A到C的过程中机械能守恒,有mg(h-2r)=m
解得vC==10 m/s
在C点时由牛顿第二定律得F+mg=m
解得F=1 500 N
(3)从A到C的过程中,由动能定理可得
mg(h-2r)-W=mvC'2 ①
又因为过山车经过C点时对轨道恰好无压力,所以有mg=m ②
由①②两式可得W=3 750 J
4.答案　(1)(2)见解析
(3)FN'=-5mg　h≥2.5R或h≤R
解析　(1)根据动能定理可得W总=WG=Ek2-Ek1
根据重力做功与重力势能变化的关系可知WG=Ep1-Ep2
联立解得Ek2-Ek1=Ep1-Ep2
整理可得Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。
(2)假设小球刚好能过最高点,在最高点时小球只受重力作用,此时重力提供向心力,mg=m,解得小球能过最高点的最小速度为vmin=。
小球从释放到最高点P,设小球运动到P时的速度为vP,根据机械能守恒定律有mgh-mg×2R=m
解得vP==vmin,即小球刚好能过最高点。
(3)根据机械能守恒定律,有mgh-mg×2R=m,设轨道对小球的压力为FN,小球在最高点时,根据牛顿第二定律有FN+mg=m,联立解得FN=-5mg
根据牛顿第三定律有FN'=FN=-5mg
若小球在运动过程中始终没有脱离轨道,得FN'≥0,即 -5mg≥0,解得h≥2.5R
当R当h≤R时,小球在凹形轨道运动,运动过程中始终不会脱离轨道。(共9张PPT)
1.构造:落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架组成。
2.原理:打桩时,桩锤由卷扬机用吊钩提升到设计高度,然后使桩锤沿导向架自由
下落打击管桩,桩锤自由下落过程符合机械能守恒定律。
第七节　生产和生活中的机械能守恒
1 | 落锤打桩机
1.情境:跳台滑雪是滑雪运动项目的一种,运动员从助滑坡由静止下滑,到水平起
跳平台跃入空中,使整个身体在空中飞行一小段时间后落在山坡上。
2.原理:为确保运动员的安全,同时使空中飞行的距离尽量远,需要综合考虑运动
员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素。若忽略摩擦力和空气阻力影响,运动员
在跳台滑雪过程中机械能守恒。
导师点睛 在整个跳台滑雪过程中,如果不能忽略摩擦力和空气阻力,运动员在
助滑坡上的运动机械能不守恒。运动员在平台飞出的运动不能看作平抛运动。
2 | 跳台滑雪
1.情境:过山车是游乐场中常见的机动游乐设施,过山车的速度必须满足一定的条
件,即通过最高点的速度v≥ 才能保证过山车沿轨道正常运行。
2.原理:忽略阻力作用,过山车运行过程中机械能守恒。
导师点睛 若过山车恰能通过圆形轨道的最高点,此时仅有重力提供过山车做圆
周运动所需的向心力。
3 | 过山车
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”。
1.桩棰打击管桩过程中机械能守恒。( )
2.运动员从平台跃起时的速度与运动员开始时的重力势能无关。( )
重力势能越大,运动员从平台跃起时的速度越大。
3.过山车从任何高度滑下都可安全通过圆形轨道。( )
过山车通过最高点的最小速度是 ,对应的高度最小为 ,其中R是圆形轨道的
半径。
4.若圆形轨道半径为R,则过山车能够通过圆形轨道最高点的最小速度为 。
( √ )
知识辨析
1.功与能量的转化
　　不同形式的能量之间的变化是通过做功实现的。做功的过程就是能量变化
的过程,且做了多少功,就有多少能量发生变化。因此,功是能量变化的量度。
2.常见的几种功能关系
功能关系的理解及应用
各种力做功 对应能的变化 定量关系
合力做功 动能变化 合力对物体做功等于物体动能的变化量W合=Ek2-Ek1
重力做功 重力势能变化 重力做正功,重力势能减少;重力做负功,重力势能增加。且WG=-ΔEp=Ep1-Ep2
弹簧弹力做功 弹性势能变化 弹力做正功,弹性势能减少;弹力做负功,弹性势能增加。且W弹=-
ΔEp=Ep1-Ep2
只有重力、系统内弹力做功 不引起机械能变化 机械能守恒,ΔE=0
非重力和系统内弹力做功 机械能变化 除重力和系统内弹力之外的其他力做正功,物体的机械能增加,做负功,机械能减少,且W其他=ΔE
一对相互作用的滑动摩擦力的总功 机械能减少,内能增加 (1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功,系统内能增加;
(2)摩擦生热Q=Ff x相对
3.三个技巧
(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中,若只涉及动能的变化,用动能定理分析;
(2)只涉及重力势能的变化,用重力做功与重力势能变化的关系分析;
(3)只涉及机械能变化,用除重力和系统内弹力之外的力做功与机械能变化的关
系分析。
典例 (多选)如图甲所示,倾角为θ的粗糙斜面体固定在水平地面【1】上,距地面
H0高度处有一物体,在平行斜面向上的力F作用下由静止开始运动【2】。选地面为
零势能面,物体的机械能E随位移x的变化关系【3】如图乙所示,其中0~x1是曲线,x1~
x2是平行于x轴的直线,0~x2过程中物体一直沿斜面向上运动,则下列说法正确的是
(　 )
A.0~x1过程中力F做的功等于(E1-E0)
B.0~x1过程中物体做加速度增大的加速运动
C.x1~x2过程中物体的动能不变
D.x1~x2过程中力F保持不变
信息提取　【1】物体在斜面上运动,摩擦力做负功,机械能减小。
【2】力F做正功,机械能增加。
【3】机械能E为重力势能和动能之和,E=E0+(F-Ff)x,可知E-x图像的斜率表示的
物理量。
思路点拨 (1)除重力以外的力对物体做的功等于物体机械能的变化,根据功能
关系【4】求0~x1过程中力F做的功。
(2)分析图像斜率的意义,由牛顿第二定律【5】分析加速度的变化情况。
解析 0~x1过程中,根据功能关系得WF-Wf=E1-E0,则有WF>E1-E0(由【1】、【2】
和【4】得到),选项A错误;根据功能关系得:E=E0+(F-Ff)x,可知E-x图像的斜率为k
=F-Ff(由【3】得到),由图像知,0~x1过程中图像切线斜率不断增大,则F-f不断增
大,合力不断增大,根据牛顿第二定律知加速度增大(由【5】得到),所以0~x1过程
中物体做加速度增大的加速运动,选项B正确;x1~x2过程中物体的机械能不变,有F-
f=0,即F=f,F保持不变,而重力势能增大,则动能减小,选项C错误,D正确。
答案 BD

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