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江西省赣州市大余县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．若式子有意义，则的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，5 C．1，2，3 D．5，12，14
3．如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在九年级某次体育课的排球垫球测试中，其中八位学生的垫球数量（单位：个）分别是20、25、35、40、42、45、45、50，关于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A．中位数是41 B．平均数是37.5
C．众数是45 D．最大值与最小值的差是30
6．若正比例函数的图象经过第一、第三象限，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．写出一个比小的正整数： ．
8．已知，则以，，为边的三角形是 三角形．
9．某学校要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加跳高比赛，在最近的几次训练中，他们两人的平均成绩相同，方差分别是．若该校要选择一名成绩较稳定的学生，则应该选择 ．（填“甲”或“乙”）
10．如图，菱形的对角线相交于点，是边的中点，且，，则的长为 ．
11．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ．
12．如图，在中，，，，点P在边上．当的长为整数时，的长为 ．
三、解答题
13．计算
(1)；
(2)．
14．如图，在中，平分，求证：．
15．如图，在四边形中，，求的度数．
16．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中作平行四边形．
(2)在图2中作出边上的高，垂足为点．
17．如图，直线与轴交于点，与直线相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与轴交于点，求的面积．
18．学过《勾股定理》后，学校数学兴趣小组的队员们来到操场上测量旗杆的高度，通过测量得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；
②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．
根据以上信息，解答下列问题
(1)设旗杆米，则______米，______米（用含的式子表示）
(2)求旗杆的值．
19．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，李师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往市，他驾车从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量（）与行驶路程（）之间的关系如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)李师傅从市高速公路出口驶出时，该电动车的剩余电量为多少？
20．如图1所示，是一个家用医药箱，将其侧面抽象为如图2所示的正方形，在打开医药箱的过程中，矩形（箱盖）可以绕点逆时针旋转，落在的位置，且，．

(1)如图2，当旋转角时，求点与点之间的距离；
(2)如图2，当旋转角时，求点到的距离．（结果保留根号）
21．为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（2024-2025年）》．纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于．为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)①被调查的学生人数为_______，________，________；
②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别为________和________．
(2)补全条形统计图．
(3)若该中学共有2000名学生，试估计该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生人数．
22．【课本再现】
（1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为，，则四边形是________．（填“矩形、菱形”或“正方形”）

【深入探究】
（2）如图2，在中，，平分，过点作于点，于点，点是的中点，连接，，．
①判断四边形的形状，并证明；
②已知，求的长．
23．如图，已知直线与两坐标轴分别交于点、，点在线段上，将一块三角板绕点转动，两直角边分别与轴、轴相交于、两点．
(1)________，在图1中，当轴时，线段与的数量关系是________；
(2)当三角板转动至图2或图3的位置时，试猜想线段与之间的数量关系，并任选一个图形加以证明；
(3)在三角板绕点转动过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由．
参考答案
1．D
解：式子有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
2．B
解：A．最长边为13，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B．最长边为5，，，，故能构成直角三角形，符合题意；
C．最长边为3，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D．最长边为14，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
3．C
解：A．∵，
∴，
∴不能判定四边形是平行四边形；
B．不能判定四边形是平行四边形；
C．∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
D．不能判定四边形是平行四边形；
故选C．
4．B
A． 二次根式相加需为同类根式（即被开方数相同），与不是同类根式，无法合并，故本选项不符合题意；
B． ，是同类二次根式，同类根式相加，系数相加，根式部分不变，即，原式计算正确，故本选项符合题意；
C． 根据二次根式乘法法则，，而选项结果为，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D． ，选项结果为3，原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．B
A.中位数是，说法正确，不符合题意；
B.平均数是，说法错误，符合题意；
C.众数是45，说法正确，不符合题意；
D.最大值与最小值的差是，说法正确，不符合题意；
故选B．
6．A
解：∵正比例函数的图象经过第一、第三象限
∴
∴一次函数的图象经过第一、第二、第三象限
故选：A．
7．2（答案不唯一）
解：∵，
∴，
则2是比小的正整数，
故答案为：2（答案不唯一）．
8．直角
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
9．甲
解：，
，
应该选择甲，
故答案为：甲．
10．5
解：由菱形的性质有，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
11．4
解：∵，，
∴，
由题意得，
∴，
∴中间小正方形的面积为．
故答案为：4．
12．1或4或7
解：如图，过点A作，垂足为E，连接．
由，，
得，
由，
得，
得．
∴．
∴．由的长为整数，
得点P的位置有三处，如图．
∴或4或7．
故答案为：1或4或7．
13．(1)0
(2)
（1）解：原式；
（2）原式．
14．证明见解析
证明：四边形是平行四边形

平分

．
15．
解：∵，
∴,，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1，平行四边形即为所求；
；
（2）解：如图2，线段即为所求；
．
17．(1)
(2)4
（1）解：直线过点
解得：
把代入直线的解析式得：，
解得
故直线的解析式为；．
（2）当时，解得：，
∴点的坐标为；
当时，解得：，
∴点的坐标为，
，
．
18．(1)；
(2)17米
（1）解：根据题意，得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米
故绳长为米；
根据题意，得到四边形是矩形，得到米，
故米，
故答案为：；．
（2）解：在中，

即
解得：
答：旗杆的值为17米．
19．(1)
(2)
（1）解：设与之间的关系式为，把，代入得，
，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
∴该电动车的剩余电量为．
20．(1)
(2)
（1）解：如图，连接，由题意得，
是等边三角形，
，
故点与点之间的距离为．
（2）解：过点作于点，垂足为点，且与交于点．
由题易得四边形为矩形，
，
由（1）可知，则
答：点到的距离为．
21．(1)①200；19；38 ②；
(2)见解析
(3)1580人
（1）解：①∵(人)，
，
故，
根据题意，(人)
故答案为：200,19,38．
②根据题意，得出现了80次,频数最多，故众数为．
中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，根据题意，第100个数据，第101个数据都是，故其平均数也是，
故中位数是，
故答案为：，．
（2）解：根据题意，得的频数为(人)，补图如下：
（3）解：根据题意，得人，
答：该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生有1580人．
22．（1）正方形；（2）①菱形，证明见解析；②．
解（1）证明：∵，平分，，，∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形．
（2）①四边形是菱形．
证明：平分，
，

点是的中点
，
四边形是菱形
②解：，

四边形是菱形
，
，
，
，
．
23．(1)1；
(2)；证明见解析
(3)能；或或或
（1）解∶把代入，
得，
∴
∵轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
故答案为∶1，；
（2）解：
理由：如图2，过P作轴于G，轴于H，
则四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
又，
∴，
∴；
如图3，过P作轴于G，轴于H，
则四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
由（1）知，
又，
∴，
∴；
（3）解：当时，，解得，
∴，
又，
∴，
当时，D的坐标为或；
当，如图，过P作轴于H，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴D与O重合，
∴D的坐标为；
当时， 如图，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴D的坐标为，
综上，D的坐标为或或或．

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