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湖南省湘潭市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期末考试 数学试题
一、单选题
1．已知数据、-5、-1.3、π、-2，其中负数出现的频率是（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
2．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．30 B．15 C．12 D．10
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=37°，则∠B的度数为 （ ）
A．53° B．63° C．73° D．83°
5．如图，在中，，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
7．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列点的坐标在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
10．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
二、填空题
11．若表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 ．
12．函数的图像经过（， ）．
13．正六边形的每个外角都等于 度．
14．将直线向上平移2个单位后得到直线解析式为 ．
15．某班共有50名学生，在一次体育测试中有6人不合格，那么不合格人数的频率为 ．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝ ．
17．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件： ，使四边形ABCD成为菱形．
18．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为
三、解答题
19．已知正比例函数．
(1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围．
(2)若点在它的图象上，求它的解析式．
20．如图，、、分别是的三边、、的中点，，．求四边形的周长．
21．如图，．求证：．
22．如图，在中，点分别在上，且．求证：．
23．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
24．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
(1)在图中作，使和关于轴对称；
(2)求的面积．
25．运动让生命更有活力．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：
(1)求本次随机抽取的学生总人数和m，n的值；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若将“平均每天开展体育锻炼所用时长”在20～40分钟范围内被评为“良好”，求被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数．
26．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．C
解：∵在、-5、-1.3、π、-2中，负数有3个，
∴负数出现的频率是=0.6，
故选：C．
2．C
解：∵，，，
∴
故选：C
3．B
解：点关于x轴对称的点的坐标的是，
故选：B．
4．A
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵∠A＝37°，
∴∠B＝53°
故选：A．
5．D
解：在中，，为的中点，
又，
．
故选：D．
6．C
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，
根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．
解得n=6.
故选C.
7．B
解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
8．D
解：A．在第一象限，故不符合题意；
B．在第二象限，故不符合题意；
C．在第三象限，故不符合题意；
D．在第四象限，故符合题意；
故选：D．
9．A
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选A．
10．B
解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
11．
解：∵表示教室里第1列第2排的位置，
∴教室里第4列第3排的位置可以表示为．
故答案为：．
12．0
解：由题意得：
将代入，
解得，
故答案为：0．
13．60
解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角都等于．
故答案为：60．
14．
解：平移后的解析式为：．
故答案为：．
15．
解：根据题意得，，
故答案为：．
16．8
由勾股定理得：BC＝,
故答案为：8．
17．AB=AD.
添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
18．21°.
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为21°.
19．(1)
(2)
（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴，即k的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
20．10
解：∵、、分别是的三边、、的中点，，，
∴；，，，
∴四边形周长为．
21．证明见解析
证明：，
，
即．
，
和都是直角三角形，
在和中，，
∴．
22．见解析
证明四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
．
23．（1），；（2）
解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设的解析式为，则，
解得：，
∴l1的解析式为，
设的解析式为，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则，解得：，
∴l2的解析式为；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
24．(1)见详解
(2)11.5
（1）解：，，关于x轴对称的点的坐标为：，，，
故如下图所示：
（2）解：
25．(1)，；
(2)见解析；
(3)．
（1）解：本次随机抽取的学生总人数为(人)．
，．
，．
（2）平均每天开展体育锻炼所用时长在～分钟范围内的学生人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数为
26．【思考】是，理由见解析；【发现】；【探究】BD＝2OF，理由见解析；
解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF．

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