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湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．据教育部教育考试院官方微信消息，2025年全国高考报名人数达到1335万人，1335万这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分 B．四条边相等的四边形是正方形
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是菱形
4．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
甲 乙 丙 丁
9 8.8 8.8 9
0.6 0.8 0.6 1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 ( )
A． B． C． D．
6．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
7．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（ ）
A．4 B．2 C． D．3
9．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（ ）
①；②； ③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．使函数有意义的的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为 ．
14．把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为 ．
15．为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程 ．
16．某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．（1）解不等式：；
（2）解方程：．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两实数根分别为和，且，求m的值．
20．学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
(1)抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
21．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，若，求的面积．
22．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
(1)假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
(2)一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
23．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、．
(1)如图1，当时，连接，且．
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
(2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值．
24．定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
(1)求直线l：的不动点坐标；
(2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
25．已知点、点，若满足点，则称点A、B关于点对称；若函数图象上所有点关于点对称的点均在函数的图象上，则称函数与函数关于点对称．
(1)已知点，则点A关于原点、关于点的对称点的坐标分别是______，______，关于点对称的点的坐标是______（用含a、b的式子表示）；
(2)已知抛物线：与抛物线：关于点R对称，抛物线的顶点为M，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点，恰好在抛物线上，求点R的坐标；
(3)已知抛物线：关于点对称的抛物线为，当时，抛物线的最大值和最小值之差为3，求m的值．
参考答案
1．D
解： 1335万即，
将1335改写为（因），
原式可表示为．
故选：D．
2．C
解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
3．A
A、平行四边形的对角线互相平分， 故A选项正确，符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B选项错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形， 故D选项错误，不符合题意．
故选：A
4．A
∵甲和丁的平均数均为9环，高于乙（8.8环）和丙（8.8环）
∴从甲和丁中选择．
∵甲的方差为0.6，丁的方差为1.8．方差越小表明发挥越稳定，
∴甲比丁更稳定．
∴甲的平均数最高且方差最小，符合“成绩好且发挥稳定”的要求，故选甲．
故选A．
5．A
解：当时，，
当时，，，
则的周长为．
故选：A．
6．A
∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
7．A
解：，
，
，
，
A. ，符合：
B. ，不符合：
C. ，不符合：
D. ，不符合：
故选：A．
8．B
解：分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，
，．
，，
，．
，
．
故选：B
9．C
解：根据图象得，当时，，
即：关于x的不等式的解集为．
故选C．
10．D
解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，
∴，，
∴，，故②正确；
∴，故①错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，即，故④正确；
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：D．
11．/
解：根据题意，得：
，
解得：．
故答案为：．
12．x（y-1）2
解：xy2-2xy+x
=x（y2-2y+1）
=x（y-1）2，
故答案为：x（y-1）2．
13．16.
、分别为、的中点，
，
四边形是矩形，
，
故答案为．
14．
解：抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得：
，
故答案为：．
15．
解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植株麦冬草，根据题意得：
．
故答案为：
16．87分
解：小云这学期的体育综合成绩是（分），
故答案为：87分．
17．4
解：
．
18．（1）；（2）
解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：；
（2）解方程：
∴，
∴，
解得：．
19．(1)；
(2)．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵和是方程的两个实数根，
∵，，
∴，
∴，
解得：．
20．(1)40，9，9，36
(2)见解析
(3)估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人
（1）解：一共抽取了人，
则中位数为第20位和第21位的平均数，
∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为分；
C等级人数为：（人），
∵40个数据中，9分出现的次数最多，
∴众数为9；
∵D级所占的百分比为：，
∴D级对应扇形的圆心角为：；
故答案为：40，9，9，36．
（2）解：C等级人数为：（人），
补全条形图如下：
（3）解：（人），
∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴的面积．
22．(1)种植黄桃亩数的年平均增长率为
(2)①与之间的函数关系式为：；
②销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元．
（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为，
根据题意得：，
∴或，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①设与之间的函数关系式为：，
则，
解得：，
∴与之间的函数关系式为：；
②设每天的销售利润为w，
由题意得：，
∵，
∴当时，利润最大，最大利润为1210，
答：销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润，最大销售利润是1210元．
23．(1)①10；②
(2)
（1）①∵在矩形中，已知，
∴当时，
∴
∴四边形是正方形
∴
∵，
∴；
②如图所示，延长到点G使
∵四边形是正方形，，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴；
（2）如图所示，连接
∵
∴设，
∵四边形是矩形
∴，设
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴代入得，
∴，即
∴
∴
∴
∴，
∴．
24．(1)
(2)①；②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标
（1）解：∵直线l：，
令，则，
∴直线l：的不动点坐标为；
（2）①解：令，解得：；
∴，
如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入直线l：，则，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
将代入，则，
∴；
②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标，
设直线的解析式为，点，
将点代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标．
25．(1)，，
(2)
(3)或2
（1）∵、点，若满足点，则称点A、B关于点对称，
∴，
∴点关于对称的坐标为，
∴点关于原点的对称点的坐标为即，
点关于点的对称点的坐标即，
点关于点的对称点的坐标，
故答案为：，，；
（2）∵，
∴．
∵抛物线：与抛物线：关于点R对称，
∴的顶点M关于R的对称点必为的顶点，
设R点坐标为
∵：的顶点为，的坐标为，
∴，
将点向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得，代入得，
，
解得，
∴，
∴，，
∴点R的坐标为；
（3）设上任一点为，则其关于对称点为，代入，得
：，对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大．
当时，
时取得最大值，时取得最小值，
∵抛物线的最大值和最小值之差为3，
∴，
∴，符合题意；
当时，
时取得最大值，时取得最小值，
∵抛物线的最大值和最小值之差为3，
∴，
∴，符合题意；
当时，
时取得最大值，时取得最小值或时取得最小值，
∵抛物线的最大值和最小值之差为3，
∴或，
∴或，均不符合题意；
综上可知，m的值为或2．

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