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21.3　实际问题与一元二次方程
21.3.1　用一元二次方程解决传播问题和增长率问题
新课导入
导入课题
问题1：列方程解应用题的基本步骤有哪些？
问题2：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了
流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
本节课我们学习一元二次方程的应用.
审、设、列、解、验、答
知识点一：传播问题
1. 设初始感染1个人，经过反复传播，每一轮平均一个人传染x个人．
(1)第一轮后共有________人感染；
(2)第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______________人感染．
(1＋x)
1＋x＋x(1＋x)
2. 探究1：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
(1)用含x的代数式表示：第一轮后共有_______人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_______________人患了流感；
(2)根据题意，列出相应方程为___________________；
(3)解方程，得___________________________________；
(4)根据问题的实际意义，平均一个人传染了____个人．
(1＋x)
1＋x＋x(1＋x)
1＋x＋x(1＋x)＝121
x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)
10
4. 探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：(1)设甲种药品成本的年平均下降率为x，则两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2，
根据题意，得_______________________，
解方程得_______________________________，
∴甲种药品成本的年平均下降率约为_______；
5 000(1－x)2＝3 000
x1≈1.775(舍去)，x2≈0.225＝22.5%
22.5%
(2)设乙种药品成本的年平均下降率为y，则两年后乙种药品成本为6 000(1－y)2，
根据题意，得_______________________，
解方程得__________________________________，
∴乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%；
(3)根据(1)(2)知，甲、乙两种药品成本的年平均下降率_________．
6 000(1－y)2＝3 600
y1≈1.775(舍去)，y2≈0.225＝22.5%
一样大
【典例导引】
5. 【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x2＝91，
解得x1＝9，x2＝－10(舍去).
答：每个支干长出9个小分支
【变式训练】
6. 中秋节当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有111人，问小明给多少人发了短信？
解：设小明发短信给x个人，由题意，得1＋x＋x2＝111，
解得x1＝10，x2＝－11(不合题意，舍去).
答：小明给10个人发了短信
7. 【例2】 青山村种的水稻2010年平均每公顷产7 200 kg，2012年平均每公顷产8 450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率．
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有7 200(1＋x)2＝8 450，
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8.33%
8. 某公司今年10月的营业额为2 500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9 100万元，求该公司11，12月两个月营业额的月均增长率．
解：设该公司11，12月两个月营业额的月均增长率是x.
根据题意，得2 500＋2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝9 100，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－3.2(不合题意，舍去).
答：该公司11，12月两个月营业额的月均增长率是20%
课堂小结
传播问题
两个要点：
传染源和传播速度
传染轮数与传染总人数之间的关系：
设1个人每次可以传染x人
第一轮：
(1+x)人
第二轮：
(1+x)+x(1+x)人
第三轮：
(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人
第n轮：
(1+x)+x(1+x)+…x(1+x)n=(1+x)n人

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