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7.3　正切函数的图象与性质(教学方式:深化学习课梯度进阶式教学)
[课时目标]　1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
1.正切函数的图象
(1)正切函数y=tan x在上的图象.
(2)正切函数的图象称作　　　　　.
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
2.正切函数的性质
函数 y=tan x
定义域 　　　　　　　　　
值域 R
周期性 最小正周期　　
奇偶性 　　　
对称性 对称中心　　　　　　
单调性 在区间　　　　　　　　(k∈Z)上单调递增
|微|点|助|解|
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是T=.若不知ω的正负,则该函数的最小正周期为T=.
(2)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,并且每个单调区间均为开区间.
(3)正切函数在定义域内不是单调函数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数. (　 )
(2)正切函数存在闭区间[a,b],使y=tan x是增函数. (　 )
(3)若x是第一象限的角,则y=tan x是增函数. (　 )
(4)正切函数y=tan x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (　 )
2.函数y=2tan(-x)是 (　 )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.非奇非偶函数
3.函数y=tan 2x的定义域为　　　　　　　　.
4.函数y=tan x,x∈的值域是　　　　.
题型(一)　正切函数的图象及应用
[例1]　(1)下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x)在x∈内的大致图象,那么由a到c对应的函数关系式应是 (　 )
A.①②③　　　　 B.①③②
C.③②① D.③①②
(2)函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是 (　 )
A.3　　 B.4
C.5　　　 D.6
听课记录:
|思|维|建|模|
(1)作正切函数的图象时,先画一个周期的图象,再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象,通过图象的特点,可用“三点两线法”,这三点是,(0,0),,两线是直线x=±,为渐近线.
(2)如果由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图象,可利用图象中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图象,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图象;同理,只要作出y=f(x)的图象,令图象“上不动,下翻上”便可得到y=|f(x)|的图象.
　　[针对训练]
1.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为 (　 )
2.不等式-1≤tan x≤的解集为　　　　.
题型(二)　正切函数的定义域和值域
[例2]　(1)函数f(x)=tan的定义域为 (　 )
(2)函数y=2tan,x∈的值域是 (　 )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
听课记录:
|思|维|建|模|
求正切函数定义域、值域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
(3)处理正切函数的值域问题时,应注意正切函数自身的值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解.
　　[针对训练]
3.函数y=的定义域为 (　 )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
4.函数y=tan2+tan+1的定义域为　　　　　　　　,值域为　　　　　.
题型(三)　正切函数的单调性及应用
[例3]　(1)函数y=tan的单调递增区间是 (　 )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
(2)下列不等式正确的是 (　 )
A.tan>tan
B.tan 4>tan 3
C.tan 281°>tan 665°
D.tan听课记录:
|思|维|建|模|
1.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
　　[针对训练]
5.已知函数 y=tan ωx在上是减函数, 则 (　 )
A.0<ω<1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
6.在tan,tan,tan,tan中值最大的是 (　 )
A.tan 　 B.tan　
C.tan D.tan
题型(四)　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题
[例4]　(1)函数y=2tan的最小正周期是 (　 )
A. B.
C. D.π
(2)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)图象的一个对称中心为
D.f(x)的最小正周期为π
听课记录:
|思|维|建|模|
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
　　[针对训练]
7.关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述不正确的是 (　 )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称
C.f(x)的最小正周期是
D.f(x)在(k∈Z)上单调递增
8.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)与直线y=a交于A,B两点,且线段AB长度的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后恰好关于原点对称,则φ的最大值为 (　 )
A. B.
C.
7.3　正切函数的图象与性质
课前预知教材
1.(2)正切曲线
2.　π　奇函数　(k∈Z)　
[基础落实训练]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　2.A　3.
4.[0,1]
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1]　解析:(1)y=|tan x|≥0,其图象在x轴及其上方,只有图象a符合,即a对应①,排除C、D.易知y=tan x在内的图象为图b,即b对应②,故排除B选项.y=tan(-x)=-tan x在上单调递减,只有图象c符合,即c对应③,故选A.
(2)如图,函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是3.
答案:(1)A　(2)A
[针对训练]
1.选D　∵f(x)为奇函数,∴排除B、C.当x趋近于时,f(x)趋近于-∞,故选D.
2.解析:
作出函数y=tan x在区间上的图象,如图所示.观察图象可得,在内,满足条件的x的取值范围为-≤x≤.由正切函数的周期性知,不等式的解集为
答案:
[题型(二)]
[例2]　解析:(1)由题意可知f(x)=tan需满足2x+≠+kπ,k∈Z,
即x≠+,k∈Z.故函数f(x)=tan的定义域为
,故选C.
(2)∵x∈,
∴x-∈,
∴y=2tan∈[-2,2],故选C.
答案:(1)C　(2)C
[针对训练]
3.选C　由题意可得1-tan x≥0,且x≠+kπ,k∈Z,即tan x≤1,
∴x∈,k∈Z.
4.解析:由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z.
所以函数的定义域为
.
设t=tan,则t∈R,y=t2+t+1=+≥,所以原函数的值域是.
答案:　
[题型(三)]
[例3]　解析:(1)由kπ-<+因此,函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z).
(2)因为tan<0,tan>0,所以A选项错误.
因为<3<π,π<4<,所以tan 3<0,tan 4>0.所以B选项正确.
因为tan 281°=tan,tan 665°=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan 281°因为tan=tan=tan,tan=tan=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,
所以tan>tan.
所以D选项错误.
答案:(1)B　(2)B
[针对训练]
5.选B　因为函数 y=tan ωx在上是单调函数,
所以最小正周期T≥π,即≥π,解得0<|ω|≤1.
又函数y=tan ωx在上是减函数,则根据复合函数单调性判定知ω<0.
综上,-1≤ω<0.故选B.
6.选B　因为0<<<<<<π,所以tan,tan>0且tan,tan<0.又正切函数在上单调递增,所以tan故tan最大.
[题型(四)]
[例4]　解析:(1)T==.
(2)因为f(x)=tan,所以2x+≠kπ+,解得x≠+,k∈Z.
即函数的定义域不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A错误.
当x=时,2x+=,此时f(x)无意义,故f(x)在区间上单调递增不正确,故B错误.
当x=时,2x+=,正切函数无意义,故为函数的一个对称中心,故C正确.
由题易知函数的最小正周期为,故D错误.
答案:(1)B　(2)C
[针对训练]
7.选C　作出f(x)=|tan x|的图象如图所示,
对于A,f(-x)=|tan(-x)|=|tan x|=f(x),故f(x)是偶函数,故A正确;
对于B,结合正切函数的性质知f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,故B正确;
对于C,f(x)的最小正周期是π,故C错误;
对于D,结合正切函数的性质知f(x)在(k∈Z)上单调递增,故D正确.故选C.
8.选C　由题意知,函数f(x)的最小正周期T=,则=,得ω=3.
所以f(x)=tan(3x-φ).将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=tan=tan的图象.
因为该图象关于原点对称,则-φ=,k∈Z,所以φ=-,k∈Z.
当k>0时,k∈Z,φ<0,不合题意,当k=0时,φ=,
又0<φ<π,所以当k=-1时,φ取,当k≤-2时,φ≥,不合题意,
故φ的最大值为,故选C.
5 / 6(共63张PPT)
7.3
正切函数的图象与性质
(深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
1.正切函数的图象
(1)正切函数y=tan x在上的图象.
(2)正切函数的图象称作 .
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
正切曲线
2.正切函数的性质
函数 y=tan x
定义域 ______________________________
值域 R
周期性 最小正周期___
奇偶性 __________
对称性 对称中心_____________
单调性 在区间 ________________ (k∈Z) 上单调递增
π
奇函数
(k∈Z)
|微|点|助|解|
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是T=.若不知ω的正负,则该函数的最小正周期为T=.
(2)正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,并且每个单调区间均为开区间.
(3)正切函数在定义域内不是单调函数.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数. (　 )
(2)正切函数存在闭区间[a,b],使y=tan x是增函数. (　 )
(3)若x是第一象限的角,则y=tan x是增函数. (　 )
(4)正切函数y=tan x的对称中心为(kπ,0)(k∈Z). (　 )
基础落实训练
×
√
×
×
2.函数y=2tan(-x)是 (　 )
A.奇函数 　　 B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数 　　 D.非奇非偶函数
解析: y=2tan(-x)=-2tan x,为奇函数.
√
3.函数y=tan 2x的定义域为　　　　　　　 　　.
解析:由正切函数的定义知,若使y=tan 2x有意义,则2x≠kπ+(k∈Z),
解得x≠+(k∈Z).
4.函数y=tan x,x∈的值域是　　　　.
解析: 函数y=tan x在上是单调递增的,所以ymax=tan=1,
ymin=tan 0=0.
[0,1]
课堂题点研究·迁移应用融通
题型(一)　正切函数的图象及应用
[例1]　(1)下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x)在x∈内的大致图象,那么由a到c对应的函数关系式应是(　 )
A.①②③　 B.①③②　
C.③②①　 D.③①②
√
解析: y=|tan x|≥0,其图象在x轴及其上方,只有图象a符合,即a对应①,排除C、D.易知y=tan x在内的图象为图b,即b对应②,故排除B选项.y=tan(-x)=-tan x在上单调递减,只有图象c符合,即c对应③,故选A.
(2)函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是(　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:如图,函数y=sin x与y=tan x在区间上的交点个数是3.
√
|思|维|建|模|
(1)作正切函数的图象时,先画一个周期的图象,再把这一图象向左、右平移.从而得到正切函数的图象,通过图象的特点,可用“三点两线法”,这三点是,(0,0),,两线是直线x=±,为渐近线.
(2)如果由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图象,可利用图象中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图象,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图象;同理,只要作出y=f(x)的图象,令图象“上不动,下翻上”便可得到y=|f(x)|的图象.
针对训练
1.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为(　 )
解析:∵f(x)为奇函数,∴排除B、C.当x趋近于时,f(x)趋近于-∞,故选D.
√
2.不等式-1≤tan x≤的解集为　　 　　.
解析:作出函数y=tan x在区间上的图象,如图所示.
观察图象可得,在内,满足条件的x
的取值范围为-≤x≤.由正切函数的周期
性知,不等式的解集为
.
题型(二)　正切函数的定义域和值域
[例2]　(1)函数f(x)=tan的定义域为(　 )
A.
B.
C.
D.
√
解析:由题意可知f(x)=tan需满足2x+≠+kπ,k∈Z,
即x≠+,k∈Z.故函数f(x)=tan的定义域为,故选C.
(2)函数y=2tan,x∈的值域是(　 )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
解析:∵x∈,∴x-∈,∴y=2tan∈[-2,2],故选C.
√
|思|维|建|模|　求正切函数定义域、值域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
(3)处理正切函数的值域问题时,应注意正切函数自身的值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解.
针对训练
3.函数y=的定义域为(　 )
A.,k∈Z B.,k∈Z
C.,k∈Z D.,k∈Z
解析:由题意可得1-tan x≥0,且x≠+kπ,k∈Z,即tan x≤1,
∴x∈,k∈Z.
√
4.函数y=tan2+tan+1的定义域为　 　　　　　　 　　,
值域为　　　　　.
解析:由3x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z.所以函数的定义域为.设t=tan,则t∈R,y=t2+t+1=+≥,
所以原函数的值域是.
题型(三)　正切函数的单调性及应用
[例3]　(1)函数y=tan的单调递增区间是(　 )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析:由kπ-<+因此,函数y=tan的单调递增区间是(k∈Z).
√
(2)下列不等式正确的是 (　 )
A.tan>tan B.tan 4>tan 3
C.tan 281°>tan 665° D.tan解析:因为tan<0,tan>0,所以A选项错误.因为<3<π,π<4<,
所以tan 3<0,tan 4>0.所以B选项正确.因为tan 281°=tan,
tan 665°=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,
所以tan 281°√
因为tan=tan=tan,tan=
tan=tan,又正切函数y=tan x在上单调递增,所以tan>tan.所以D选项错误.
|思|维|建|模|
1.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,
解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化
为正值再求单调区间.
针对训练
5.已知函数 y=tan ωx在上是减函数, 则(　 )
A.0<ω<1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
解析:因为函数 y=tan ωx在上是单调函数,所以最小正周期T≥π,即≥π,解得0<|ω|≤1.又函数y=tan ωx在上是减函数,则根据复合函数单调性判定知ω<0.综上,-1≤ω<0.故选B.
√
6.在tan,tan,tan,tan中值最大的是(　 )
A.tan 　 B.tan　
C.tan D.tan
解析:因为0<<<<<<π,所以tan,tan>0且tan,tan<0.
又正切函数在上单调递增,所以tan√
题型(四)　与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题
[例4]　(1)函数y=2tan的最小正周期是(　 )
A.
C.D.π
解析: T==.
√
(2)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是(　 )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)图象的一个对称中心为
D.f(x)的最小正周期为π
√
解析:因为f(x)=tan,所以2x+≠kπ+,解得x≠+,k∈Z.
即函数的定义域不关于原点对称,所以f(x)不是奇函数,故A错误.
当x=时,2x+=,此时f(x)无意义,故f(x)在区间上单调递增不正确,故B错误.当x=时,2x+=,正切函数无意义,故为函数的一个对称中心,故C正确.由题易知函数的最小正周期为,故D错误.
|思|维|建|模|
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ),它的最小正周期T=.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
针对训练
7.关于函数f(x)=|tan x|的性质,下列叙述不正确的是 (　 )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称
C.f(x)的最小正周期是
D.f(x)在(k∈Z)上单调递增
√
解析:作出f(x)=|tan x|的图象如图所示,对于A,f(-x)=|tan(-x)|=|tan x|=f(x),
故f(x)是偶函数,故A正确;对于B,结合正切函数的性质知f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,故B正确;对于C,f(x)的最小正周期是π,故C错误;对于D,结合正切函数的性质知f(x)在(k∈Z)上单调递增,故D正确.故选C.
8.已知函数f(x)=tan(ωx-φ)(ω>0,0<φ<π)与直线y=a交于A,B两点,且线段AB长度的最小值为,若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后恰好关于原点对称,则φ的最大值为(　 )
A.
C.
√
解析:由题意知,函数f(x)的最小正周期T=,则=,得ω=3.
所以f(x)=tan(3x-φ).将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,
得到y=tan=tan的图象.
因为该图象关于原点对称,则-φ=,k∈Z,所以φ=-,k∈Z.
当k>0时,k∈Z,φ<0,不合题意,当k=0时,φ=,又0<φ<π,所以当k=-1时,
φ取,当k≤-2时,φ≥,不合题意,故φ的最大值为,故选C.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——达标评价
1.函数 y=tan 的最小正周期是(　 )
A. C.π D.2π
解析:函数y=tan的最小正周期是T=.故选B.
√
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2
3
4
2.函数f(x)=tan图象的对称中心可能是(　 )
A.
C.
解析:由2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z.当k=0时,x=.
√
1
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8
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15
3
4
2
3.函数y=|tan 2x|是 (　 )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
解析: f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=.
√
1
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2
4.x∈[0,2π],y=+的定义域为(　 )
A.
C.
解析:由题意知∴函数的定义域为,故选C.
√
1
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3
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2
5.(多选)已知函数f(x)=tan,则(　 )
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的图象关于点对称
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
3
4
2
解析:由|x|+≠+kπ,k∈Z,得|x|≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=tan=tan=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确.当x>0时,f(x)=tan,作出函数f(x)在x>0时的简图,再由f(x)的图象关于y轴对称得函数f(x)的简图,如图.
根据函数图象知,函数f(x)不具有周期性,且在
区间上单调递增,函数图象不关于点
对称,故B、D错误,C正确.故选A、C.
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6.函数y=tan,x∈的值域是　　　　.
解析:∵x∈,∴+∈,结合正切函数的性质可得1(1,]
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7.比较大小:tan　　　　tan.
解析:因为tan=tan,tan=tan,
又y=tan x在上是增函数,所以tan即tan<
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8.函数y=3tan的单调递减区间为　　 　　.
解析:∵y=3tan=-3tan,∴kπ-<-解得4kπ-(k∈Z)
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9.(10分)设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;
解:∵ω=,∴最小正周期T===2π.
令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心是(k∈Z).
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(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解:令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.
∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期
内的简图,如图所示.
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10. (12分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图.
(1)求A,ω,φ的值;
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解:根据函数图象可知,=-=,则T==,解得ω=2.
所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f(x)过点(0,1)和点,
所以因为-<φ<,所以<+φ<,
则+φ=π,即φ=.所以A=1.所以f(x)=tan.
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(2)求y=f(x)的单调递增区间.
解:由kπ-<2x+解得-1
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B级——重点培优
11.下列选项大小关系正确的是(　 )
A.cos 2C.cos 2√
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解析:因为<2<,且y=sin x在上单调递减,
y=cos x在上单调递减,y=tan x在上单调递增,
所以1=sin>sin 2>sin=,0=cos>cos 2>cos=-,tan 2所以tan 21
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12.函数f(x)=a-tan 2x在x∈的最大值为7,最小值为3,则ab为(　 )
A. C.
解析:∵x∈,∴b>-.∴2x∈.
∵函数f(x)在x∈的最大值为7,最小值为3,
∴2b<,即b<.∵根据正切函数g(x)=tan x在为增函数,
√
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∴f(x)=a-tan 2x在上为减函数.∴f=a+3=7 a=4.
∴f(b)=4-tan 2b=3,则tan 2b=.∵2b∈,∴2b=,
即b=.∴ab=4×=.
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13.(多选)已知函数f(x)=tan(7x+φ)+1的图象经过点,则(　 )
A.φ=
B.f(x)的最小正周期为
C.f(x)的定义域为
D.不等式f(x)<2的解集为,k∈Z
√
√
√
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解析:由题知f=tan+1=1,则tan=0,因为|φ|<,所以φ=-,
A错误.f(x)的最小正周期T==,B正确.令7x-≠+kπ,k∈Z,
则x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为,C正确.
令tan+1<2,则tan<1,得-+kπ<7x-<+kπ,k∈Z,
即-+k∈Z,D正确.故选B、C、D.
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14.如图所示,函数y=tan的部分
图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF
的面积为　　　　.
解析:在y=tan中,令x=0,
得y=tan=1,故|OD|=1.又函数y=tan的最小正周期为T=,∴|EF|=.∴S△DEF=·|EF|·|OD|=××1=.
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15.(14分)设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的单调区间;
解:由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ).因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,
所以2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.因为0<φ<,所以φ=,
故f(x)=tan.令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得-+1
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所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间.
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
解:由(1)知,f(x)=tan.由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z.
所以不等式-1≤f(x)≤的解集为 .课时跟踪检测(十六)　正切函数的图象与性质
(满分100分,A级选填小题每题5分,B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1.函数 y=tan 的最小正周期是 (　　)
A.
C.π D.2π
2.函数f(x)=tan图象的对称中心可能是 (　　)
A.
C.
3.函数y=|tan 2x|是 (　　)
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
4.x∈[0,2π],y=+的定义域为 (　　)
A.
C.
5.(多选)已知函数f(x)=tan,则 (　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在区间上单调递增
D.f(x)的图象关于点对称
6.函数y=tan,x∈的值域是　　　　.
7.比较大小:tan　　　　tan.
8.函数y=3tan的单调递减区间为　　　　.
9.(10分)设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
10.(12分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图.
(1)求A,ω,φ的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
B级——重点培优
11.下列选项大小关系正确的是 (　　)
A.cos 2C.cos 212.函数f(x)=a-tan 2x在x∈的最大值为7,最小值为3,则ab为 (　　)
A.
C.
13.(多选)已知函数f(x)=tan(7x+φ)+1的图象经过点,则 (　　)
A.φ=
B.f(x)的最小正周期为
C.f(x)的定义域为
D.不等式f(x)<2的解集为,k∈Z
14.如图所示,函数y=tan的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积为　　　　.
15.(14分)设函数f(x)=tan(ωx+φ),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
课时跟踪检测(十六)
1.选B　函数y=tan的最小正周期是T=.故选B.
2.选C　由2x-=,k∈Z,得x=+,k∈Z.当k=0时,x=.
3.选D　　f(-x)=|tan(-2x)|
=|tan 2x|=f(x),故为偶函数,T=.
4.选C　由题意知
∴函数的定义域为,故选C.
5.选AC　由|x|+≠+kπ,k∈Z,得|x|≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定义域关于原点对称.
又f(-x)=tan=tan=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确.
当x>0时,f(x)=tan,作出函数f(x)在x>0时的简图,再由f(x)的图象关于y轴对称得函数f(x)的简图,如图.
根据函数图象知,函数f(x)不具有周期性,且在区间上单调递增,函数图象不关于点对称,故B、D错误,C正确.故选A、C.
6.解析:∵x∈,∴+∈,结合正切函数的性质可得1答案:(1,]
7.解析:因为tan=tan,
tan=tan,
又y=tan x在上是增函数,
所以tan答案:<
8.解析:∵y=3tan
=-3tan,
∴kπ-<-解得4kπ-∴函数y=3tan的单调递减区间为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
9.解:(1)∵ω=,∴最小正周期T===2π.令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心是(k∈Z).
(2)令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示.
10.解:(1)根据函数图象可知,=-=,则T==,解得ω=2.所以f(x)=Atan(2x+φ).因为f(x)过点(0,1)和点,
所以因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=π,即φ=.所以A=1.
所以f(x)=tan.
(2)由kπ-<2x+解得-,k∈Z.
11.选B　因为<2<,且y=sin x在上单调递减,y=cos x在上单调递减,y=tan x在上单调递增,
所以1=sin>sin 2>sin=,0=cos>cos 2>cos=-,tan 2所以tan 212.选B　∵x∈,∴b>-.
∴2x∈.
∵函数f(x)在x∈的最大值为7,最小值为3,
∴2b<,即b<.∵根据正切函数g(x)=tan x在为增函数,
∴f(x)=a-tan 2x在上为减函数.
∴f=a+3=7 a=4.
∴f(b)=4-tan 2b=3,
则tan 2b=.∵2b∈,
∴2b=,即b=.
∴ab=4×=.
13.选BCD　由题知f=tan+1=1,
则tan=0,因为|φ|<,所以φ=-,A错误.
f(x)的最小正周期T==,B正确.
令7x-≠+kπ,k∈Z,则x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为,C正确.
令tan+1<2,
则tan<1,
得-+kπ<7x-<+kπ,k∈Z,
即-+所以不等式f(x)<2的解集为,k∈Z,D正确.故选B、C、D.
14.解析:在y=tan中,令x=0,得y=tan=1,故|OD|=1.
又函数y=tan的最小正周期为T=,∴|EF|=.∴S△DEF=·|EF|·|OD|=××1=.
答案:
15.解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即=,因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ).
因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,所以2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.
因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan.
令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,得-+所以函数的单调递增区间为,k∈Z,无单调递减区间.
(2)由(1)知,f(x)=tan.
由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,即-+≤x≤+,k∈Z.
所以不等式-1≤f(x)≤的解集为
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