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阶段质量评价(一)　三角函数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.cos= (　　)
A. B.-
C.-
2.已知角α的终边经过点(3,-4),则sin α+= (　　)
A.-
C.
3.点A(sin 2 023°,cos 2 023°)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=sin 2x的图象 (　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]的图象大致为 (　　)
6.已知cos=,且-π<α<-,则cos等于 (　　)
A.
C.- D.-
7.已知tan θ=3,则等于 (　　)
A.-
C.0 D.
8.设a=sin,b=cos,c=tan,则 (　　)
A.aC.b二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.关于函数f(x)=cos x+|cos x|,下列四个结论正确的是 (　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在区间(0,π)上单调递减
C.f(x)为周期函数
D.f(x)的值域为[-1,1]
10.已知函数f(x)=tan x,x1,x2∈(x1≠x2),则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x1+π)=f(x1)
B.f(-x1)=f(x1)
C.>0
D.f>(x1x2>0)
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M成中心对称,且与点M相邻的一个最低点为N,则下列判断正确的是 (　　)
A.函数f(x)=Asin(ωx+φ)中T=π,ω=2
B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
C.点是函数f(x)的一个对称中心
D.函数y=1与y=f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为7π
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.y=cos在上的值域为　　　　.
13.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20 cm,则扇形的周长为　　　　cm.
14.已知函数f(x)=sin,x∈,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,求f(x)的表达式.
16. (15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图象如图所示.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈,求函数f(x)的值域.
17.(15分)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间和对称轴;
(2)若x∈,求f(x)的最大值和最小值.
18.(17分)已知函数f(x)=-sin2x+asin x+1.
(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若当a>0时,函数f(x)的最大值是3,求实数a的值.
19.(17分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象与x轴交于A,B两点,A,B两点间的最短距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求f(x)的解析式.
(2)若函数y=f(x)-m在x∈内有且只有一个零点,求实数m的值.
阶段质量评价(一)
1.选D　cos=cos=cos=.故选D.
2.选D　因为角α的终边经过点(3,-4),所以r==5,则sin α=-,cos α=,
即sin α+=.故选D.
3.选C　∵2 023°=5×360°+223°,
∴2 023°为第三象限角,则sin 2 023°<0,cos 2 023°<0.
∴点A(sin 2 023°,cos 2 023°)位于第三象限,故选C.
4.选D　y=sin
=sin,
故将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,
可得y=sin的图象,故选D.
5.选A　因为f(x)=xcos x+sin x,
所以f(-x)=-xcos x-sin x=-f(x),
即题中所给的函数为奇函数,函数图象关于坐标原点对称,据此可知选项C、D错误.
当x=π时,y=πcos π+sin π=-π<0,据此可知选项B错误.故选A.
6.选D　依题意cos=sin=sin=.
因为-π<α<-,
所以<-α<.
故cos=-=-.故选D.
7.选B　因为tan θ=3,
所以
====.故选B.
8.选D　sin=cos
=cos=cos,
而函数y=cos x在(0,π)上单调递减,则1>cos>cos>0,
即0tan=1,即b9.选AC　∵f(-x)=cos(-x)+|cos(-x)|=cos x+|cos x|=f(x),
∴f(x)为偶函数,A正确;
当x∈时,f(x)=cos x-cos x=0,不满足单调递减定义,B错误;
当x∈,k∈Z时,f(x)=2cos x;
当x∈,k∈Z时,f(x)=0,
∴f(x)是以2π为最小正周期的周期函数,C正确;
当x∈,k∈Z时,f(x)∈[0,2],故f(x)值域为[0,2],D错误.故选A、C.
10.选AC　f(x)=tan x的最小正周期为π,故A正确;
函数f(x)=tan x为奇函数,故B不正确;
C表明函数单调递增,而f(x)=tan x在区间上单调递增,故C正确;
由函数f(x)=tan x的图象可知,
函数在区间上有f>,
在区间上有f<,故D不正确.故选A、C.
11.选ACD　由题意知=-=,
∴T=π,则ω==2,A=3,故A正确.
∵函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点M成中心对称,
∴2×+φ=kπ(k∈Z),
解得φ=kπ-(k∈Z).
∵0<φ<π,∴当k=1时,φ=.
∴f(x)=3sin.
对于B,当x=时,
f=-3sin=-,故B不正确.
对于C,由2x+=kπ,k∈Z,
解得x=-,k∈Z.
当k=0时,对称中心为,故C正确.
对于D,∵-≤x≤,
∴0≤2x+≤6π.
∴函数f(x)的图象与y=1有6个交点.
根据函数的交点设横坐标从左到右分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,
由2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z.所以x1+x2=2×=,x3+x4=2×=2π+,x5+x6=2×=4π+.
所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=+2π++4π+=7π.所以所求函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π,故D正确.故选A、C、D.
12.解析:∵0≤x≤,
∴-≤x-≤.
∴≤cos≤1,即≤y≤1,
即y∈.
答案:
13.解析:由题意,根据角度制与弧度制的互化,可得圆心角α=54°=.
∴由扇形的弧长公式,
可得弧长l=|α|·r=6π.
∴扇形的周长为(6π+40)cm.
答案:6π+40
14.解析:令-+2kπ≤3x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+≤x≤+(k∈Z).
又x∈,
所以令k=1,解得≤x≤.
故函数的单调递增区间为.
答案:
15.解:由图象得A=1,
=-==,
∴ω=2,从而f(x)=sin(2x+φ).
又∵点在函数的图象上,
∴sin=1,
从而+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z .
∵φ∈,∴φ=.
故f(x)的表达式为f(x)=sin.
16.解:(1)由题图可知A=2.
因为T=-=,所以T=π.
所以ω==2,此时f(x)=2sin(2x+φ).
把点代入f(x)表达式,
得sin=1,
则-+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,故φ=,
故f(x)=2sin.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z).
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
(2)因为x∈,所以2x+∈.
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值,f(x)min=2sin=-;
当2x+=,即x=-时,f(x)取得最大值,f(x)max=2sin=2.
故函数f(x)的值域为[-,2].
17.解:(1)由题意知T=π=,解得ω=2.
所以f(x)=2cos.
令-π+2kπ≤2x+≤2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z).
故函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),
解得x=-+,k∈Z.
所以f(x)的对称轴为x=-+(k∈Z).
(2)因为x∈,所以2x+∈.
所以当2x+=0,即x=-时,
f(x)max=2;
当2x+=,即x=时,f(x)min=-.
所以当x∈时,f(x)max=2,f(x)min=-.
18.解:(1)当a=1时,f(x)=-sin2x+sin x+1.
令t=sin x, -1≤t≤1,
则y=-t2+t+1=-+.
当t=时,函数f(x)的最大值是,
当t=-1时,函数f(x)的最小值是-1.
∴函数f(x)的值域为.
(2)当a>0时,f(x)=-sin2x+asin x+1=+1+.
当≥1,即a≥2时,当且仅当sin x=1 时,f(x)max=a,又函数f(x)的最大值是3,∴a=3.
当0<<1,即0又函数f(x)的最大值是3,∴1+=3,
解得a=2,又0综上,实数a的值为3.
19.解:(1)由题知A,B两点间的最短距离为,所以T=,T=.所以ω=2.因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),即φ=+kπ(k∈Z).又因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin.
(2)因为函数y=f(x)-m在x∈内有且只有一个零点,所以f(x)-m=0在x∈内只有一个实根,即函数y=sin在x∈的图象与直线y=m只有一个交点.当x=0,y=sin=,当x=,y=sin=-,
结合函数图象可知,函数y=sin在x∈的图象与直线y=m只有一个交点时,m∈∪{1}.
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