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2025届江苏省射阳中学高三模拟预测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·射阳模拟）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，得，
∵，∴，
∴，
所以 .
故答案为：C.
【分析】由函数求值域的方法，从而求出集合，再利用对数型函数定义域求解方法，从而求出集合，再由交集的运算法则，从而得出.
2．（2025·射阳模拟）已知复数的共轭复数为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则何共轭复数的定义，再结合复数乘法运算法则，从而得出.
3．（2025·射阳模拟）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，，，显然，
，
当且仅当时，即当，时取等号.
故答案为：D．
【分析】依题意可得，再由乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．（2025·射阳模拟）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上投影向量，
，
，
则，
又因为，
.
故答案为：B．
【分析】利用数量积求投影向量的公式，再结合数量积运算和两向量夹角的取值范围，从而得出向量与的夹角.
5．（2025·射阳模拟）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
，
，
，
.
故答案为：C．
【分析】根据复数的几何意义得出复数z，再利用同角三角函数基本关系式和两角差的余弦公式，从而得出的值.
6．（2025·射阳模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和多项式的运算以及组合数公式，从而得出的值.
7．（2025·射阳模拟）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题；相等向量
【解析】【解答】解：设，
则的直线方程为，，
整理得：
由，
解得，则定点
因为，
则为中点，
所以，
则直线，即．
故答案为：A.
【分析】根据极点和极线的定义，从而写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点的斜率乘积为定值，从而得出直线的方程.
8．（2025·射阳模拟）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为外接球半径，则，
所以
设外接球球心，
在
则
在
则
则，
.
故答案为：D．
【分析】利用组合体的存在外接球，从而作出图形，再由图形列出关于h和r的关系式，从而求出圆台外接球的半径和圆台的高，再利用圆台的体积公式得出圆台的体积.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
9．（2025·射阳模拟）已知，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
当且仅当时取等号，故A正确；
因为
当且仅当时取等号，故B错误；
因为，
当，时取等号，故C正确；
因为，
当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用基本不等式求最值的方法判断出选项A；由结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项B；将代入，从而得出，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项C；利用基本不等式结合指数的运算，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025·射阳模拟）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
由关于原点对称，
得，，
又因为，则，.
对于A，因为的最小正周期，故A正确；
对于B、C，由，
得，
则直线是的图象一条对称轴，故B正确、C错误；
对于D，由，得，
又因为在上有极大值点又有极小值点，
所以，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题得到函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性、单调性，从而得出正弦型函数的对称性、单调性，则判断出选项B和选项C；利用正弦型函数的图象结合函数极值点定义，则根据已知条件得出实数a的取值范围，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．（2025·射阳模拟）投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：第一次投掷出现反面，则，故A正确；
B、得2分的事件为：投掷1次出现正面或投掷2次都出现反面，故，故B错误；
C、当时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面，
也可以是在得分后投掷出现正面，因此，故C正确；
D、由C可知，当时，，则，
因此数列是常数列，，即，
所以当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·射阳模拟）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为　 　．
【答案】
【知识点】等比关系的确定；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，
其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，共12种取法，
假设任取三项并能构成等比数列为事件A，
所以．
故答案为：.
【分析】根据等比数列的性质，从而可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，再根据计数原理可得前8项中任取三项，共有种取法，再结合古典概率公式得出这3项能构成等比数列的概率.
13．（2025·射阳模拟）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则　 　．
【答案】3
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：令，
因为是定义域为的偶函数，所以，即，两边求导可得：，则，
又因为，所以的图象关于直线对称，则，
用代替可得，
将代入中，可得①，
用代替可得②，
由②-①可得：，则是周期为的周期函数，
所以，
在中，令，可得，
又因为的图象关于直线对称，所以，
在中，令，可得，解得，
则，即.
故答案为：3.
【分析】令，根据是偶函数得出的一个等式关系，求导得到的一个等式关系，结合推出的周期，最后根据周期求的值即可.
14．（2025·射阳模拟）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，
若在五角星内，只要延长与边界相交于点，
在保持夹角不变情形下，，
则，
所以必定在五角星边界上先考察点位置，
根据对称性，分两种情形：
1．点在边上：
①先考虑极端情形：若点与右顶点重合，
则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），
所以此时最小，
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，
且在上投影向量的模也变小为，
故变大，不合题意；
2．点在的边上：
①先考虑极端情形：若点与顶点重合，
则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是，
且根据相交弦定理知：，
所以此时
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，
而在上投影向量的模会变大，
过作的垂线，垂足为，则四点共圆，
由相交弦定理知，
则此时，
如图：在顶角为的等腰三角形，设，
取，则，
所以，解得，
所以，
综上所述，当，分别与顶点重合时，取最小值，
根据黄金分割比，
又因为，所以，
同理可得，
则，
所以
.
故答案为：.
【分析】按照PQ所处的位置分类结合向量数量积的几何意义以及图形特征，从而可得点分别在图中的处时取最小值，再利用黄金分割的方法，从而得出的最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·射阳模拟）已知的三边所对的角分别为．
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）证明：由正弦定理，得，
，
，
．
（2）解：因为
，
令，
则
因为在上单调递增，
则原函数也是在上单调递增，
，
则的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边角互化，再利用余弦定理得到，再结合两角和的正弦公式和同角三角函数关系式，从而证出.
（2）由（1）结合三角形内角和定理、诱导公式和两角和的正切公式，从而得出角C的正切值，再利用角B的取值范围得出角B的正切的取值范围，令，所以再利用函数的单调性，从而得出的取值范围．
（1）由正弦定理得
，
．
（2），
，令，
由于在上单调递增，
则原函数也是在上单调递增.
，即的取值范围为．
16．（2025·射阳模拟）在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：平面底面，平面平面，
又因为平面平面
又因为平面.
（2）解：因为底面是等腰梯形，
所以，，
，
，
由 （1）平面
以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系，
，
设平面的一个法向量，
，
令，可得，
又因为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面再利用线面垂直的性质定理，从而证出.
（2）以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）平面底面，
平面平面
平面平面
又因为平面.
（2）因为底面是等腰梯形，，
，
，
，
由 （1）平面
以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系．
，
设平面的一个法向量，
，
令可得，
而平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为
．
17．（2025·射阳模拟）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线.
（1）当时，求函数与在公共点处的切线方程；
（2）求的最小值：
【答案】（1）解：当时，，
设为与的一个公共点，
因为，
则，
得，
所以，切点为且，
所以与在公共点处的切线方程为
（2）解：设为与的一个公共点，
因为，
所以
由②得，则，
将其代入①中得，，
则，
令，
则，
所以，当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，
所以，
又因为，所以，当且仅当时取“”，
则的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)设出切点坐标，再利用导数的几何意义得出直线的斜率，再根据函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，从而建立方程组求解得出切点坐标和切线斜率，进而得出函数与在公共点处的切线方程.
(2) 设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出直线的斜率，从而建立包含三个未知数的方程组，消参得到关于的关系式，再转化为函数关系式，通过导数判断函数单调性，从而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出a的最小值.
（1）当时，，
设为与的一个公共点，
因，
则得，
故切点为且，
所以与在公共点处的切线方程为
（2）设为与的一个公共点，
因，
则
由②得，即，将其代入①中得，，
即，
令，则，
则当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，
故，又因，故，当且仅当时取“”，
故的最小值为.
18．（2025·射阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线，
（1）求的方程；
（2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
（3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值．
【答案】（1）解：设双曲线的焦半距为c，则，
又因为离心率为，所以，
代入得，解得，
所以双曲线的方程为
（2）证明：设，不妨设OA为渐近线，
OB为渐近线，直线AP的方程为，
联立方程组，得，
解得，
所以，
同理可得，
所以，
因为直线OA的斜率，
所以
，所以，
所以平行四边形PAOB的面积为
因为点P在双曲线C上，
所以，
则，
所以平行四边形PAOB的面积为
（3）解：设，，，
因为函数的导数为，
所以直线PC的方程为，
因为在直线PC上，
则，，
同理可得，
所以，均满足方程，
所以直线CD的方程为，
联立方程，得，
所以，，
则，
又因为P到直线CD的距离，
所以面积为：
，
又因为，
所以，
当P为时T取最小值时，
所以面积最小值为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，c的值，进而得出双曲线的方程.
（2）设，联立直线与双曲线方程得出点坐标，从而得到，再结合平行四边形面积公式得出平行四边形PAOB的面积为定值.
（3）设，，，通过导数得出切线方程，再结合韦达定理得出弦长，再利用点到直线的距离公式得出三角形的高，代入三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，从而得出面积的最小值．
（1）解：设双曲线的焦半距为c，则，
又因为离心率为，所以，
代入得，解得，
所以双曲线的方程为
（2）证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线，
直线AP的方程为，
联立方程，解得，
所以
同理可得，所以
由于直线OA的斜率，因此，所以，
所以平行四边形PAOB的面积为，
因为点P在双曲线C上，所以，即，
所以平行四边形PAOB的面积为
（3）解：设，，，
因为函数的导数为，所以直线PC的方程为，
由于在直线PC上，则，，
同理，
所以，均满足方程，
所以直线CD的方程为，
联立方程，得，
所以，，
则，
又因为P到直线CD的距离，
所以面积，
又因为，
所以，当P为时T取最小值，
所以面积最小值为
19．（2025·射阳模拟）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.
（1）当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
（2）若累计得分为的概率为，（初始得分为分，）
①求的表达式().
②求获得亚军的概率.
【答案】（1）解：设进行完轮答题时，得分的次数为，则.
所以，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
则.
（2）解：①当时，
即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，
则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，
其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，
其概率为.
则，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：
又因为，所以，
所以获得冠军的概率：，
所以获得亚军的概率为：
【知识点】等比数列的前n项和；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件和二项分布求概率公式，从而得出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出.
（2）①利用递推思想，也就是要分析累计得分，可能是上一次累计得分，再得2分，也可能是上一次累计得分，再得1分，再计算相应的概率可得递推关系.
②根据递推关系和首项，就可以用数列中的累加思想求通项，再求出的值，即可表示得冠军的概率，再利用两人争夺冠亚军是对立事件，则根据对立事件概率求法得出获得亚军的概率.
（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
（2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
则，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：.
而，所以.
所以获得冠军的概率：.
所以获得亚军的概率为：.
1 / 12025届江苏省射阳中学高三模拟预测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·射阳模拟）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·射阳模拟）已知复数的共轭复数为，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025·射阳模拟）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·射阳模拟）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·射阳模拟）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·射阳模拟）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·射阳模拟）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·射阳模拟）已知一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为．圆台的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
9．（2025·射阳模拟）已知，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·射阳模拟）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为
11．（2025·射阳模拟）投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·射阳模拟）从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为　 　．
13．（2025·射阳模拟）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则　 　．
14．（2025·射阳模拟）如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2025·射阳模拟）已知的三边所对的角分别为．
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围．
16．（2025·射阳模拟）在四棱锥中，底面是等腰梯形，，面底面．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（2025·射阳模拟）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线.
（1）当时，求函数与在公共点处的切线方程；
（2）求的最小值：
18．（2025·射阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线，
（1）求的方程；
（2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
（3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值．
19．（2025·射阳模拟）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.
（1）当进行完轮答题后，甲同学总分为，求的分布列及；
（2）若累计得分为的概率为，（初始得分为分，）
①求的表达式().
②求获得亚军的概率.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，得，
∵，∴，
∴，
所以 .
故答案为：C.
【分析】由函数求值域的方法，从而求出集合，再利用对数型函数定义域求解方法，从而求出集合，再由交集的运算法则，从而得出.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则何共轭复数的定义，再结合复数乘法运算法则，从而得出.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，，，显然，
，
当且仅当时，即当，时取等号.
故答案为：D．
【分析】依题意可得，再由乘“1”法和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．【答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在上投影向量，
，
，
则，
又因为，
.
故答案为：B．
【分析】利用数量积求投影向量的公式，再结合数量积运算和两向量夹角的取值范围，从而得出向量与的夹角.
5．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
，
，
，
.
故答案为：C．
【分析】根据复数的几何意义得出复数z，再利用同角三角函数基本关系式和两角差的余弦公式，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由题意知：.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和多项式的运算以及组合数公式，从而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的综合问题；相等向量
【解析】【解答】解：设，
则的直线方程为，，
整理得：
由，
解得，则定点
因为，
则为中点，
所以，
则直线，即．
故答案为：A.
【分析】根据极点和极线的定义，从而写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点的斜率乘积为定值，从而得出直线的方程.
8．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为外接球半径，则，
所以
设外接球球心，
在
则
在
则
则，
.
故答案为：D．
【分析】利用组合体的存在外接球，从而作出图形，再由图形列出关于h和r的关系式，从而求出圆台外接球的半径和圆台的高，再利用圆台的体积公式得出圆台的体积.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
当且仅当时取等号，故A正确；
因为
当且仅当时取等号，故B错误；
因为，
当，时取等号，故C正确；
因为，
当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用基本不等式求最值的方法判断出选项A；由结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项B；将代入，从而得出，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项C；利用基本不等式结合指数的运算，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
由关于原点对称，
得，，
又因为，则，.
对于A，因为的最小正周期，故A正确；
对于B、C，由，
得，
则直线是的图象一条对称轴，故B正确、C错误；
对于D，由，得，
又因为在上有极大值点又有极小值点，
所以，
解得，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题得到函数的解析式，利用正弦型函数的最小正周期公式判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性、单调性，从而得出正弦型函数的对称性、单调性，则判断出选项B和选项C；利用正弦型函数的图象结合函数极值点定义，则根据已知条件得出实数a的取值范围，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：A、由题意可知：第一次投掷出现反面，则，故A正确；
B、得2分的事件为：投掷1次出现正面或投掷2次都出现反面，故，故B错误；
C、当时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面，
也可以是在得分后投掷出现正面，因此，故C正确；
D、由C可知，当时，，则，
因此数列是常数列，，即，
所以当时，，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可.
12．【答案】
【知识点】等比关系的确定；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法，
其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，共12种取法，
假设任取三项并能构成等比数列为事件A，
所以．
故答案为：.
【分析】根据等比数列的性质，从而可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，再根据计数原理可得前8项中任取三项，共有种取法，再结合古典概率公式得出这3项能构成等比数列的概率.
13．【答案】3
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：令，
因为是定义域为的偶函数，所以，即，两边求导可得：，则，
又因为，所以的图象关于直线对称，则，
用代替可得，
将代入中，可得①，
用代替可得②，
由②-①可得：，则是周期为的周期函数，
所以，
在中，令，可得，
又因为的图象关于直线对称，所以，
在中，令，可得，解得，
则，即.
故答案为：3.
【分析】令，根据是偶函数得出的一个等式关系，求导得到的一个等式关系，结合推出的周期，最后根据周期求的值即可.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，
若在五角星内，只要延长与边界相交于点，
在保持夹角不变情形下，，
则，
所以必定在五角星边界上先考察点位置，
根据对称性，分两种情形：
1．点在边上：
①先考虑极端情形：若点与右顶点重合，
则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即与重合），
所以此时最小，
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，
且在上投影向量的模也变小为，
故变大，不合题意；
2．点在的边上：
①先考虑极端情形：若点与顶点重合，
则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是，
且根据相交弦定理知：，
所以此时
②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，
而在上投影向量的模会变大，
过作的垂线，垂足为，则四点共圆，
由相交弦定理知，
则此时，
如图：在顶角为的等腰三角形，设，
取，则，
所以，解得，
所以，
综上所述，当，分别与顶点重合时，取最小值，
根据黄金分割比，
又因为，所以，
同理可得，
则，
所以
.
故答案为：.
【分析】按照PQ所处的位置分类结合向量数量积的几何意义以及图形特征，从而可得点分别在图中的处时取最小值，再利用黄金分割的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】（1）证明：由正弦定理，得，
，
，
．
（2）解：因为
，
令，
则
因为在上单调递增，
则原函数也是在上单调递增，
，
则的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边角互化，再利用余弦定理得到，再结合两角和的正弦公式和同角三角函数关系式，从而证出.
（2）由（1）结合三角形内角和定理、诱导公式和两角和的正切公式，从而得出角C的正切值，再利用角B的取值范围得出角B的正切的取值范围，令，所以再利用函数的单调性，从而得出的取值范围．
（1）由正弦定理得
，
．
（2），
，令，
由于在上单调递增，
则原函数也是在上单调递增.
，即的取值范围为．
16．【答案】（1）证明：平面底面，平面平面，
又因为平面平面
又因为平面.
（2）解：因为底面是等腰梯形，
所以，，
，
，
由 （1）平面
以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系，
，
设平面的一个法向量，
，
令，可得，
又因为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得平面再利用线面垂直的性质定理，从而证出.
（2）以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）平面底面，
平面平面
平面平面
又因为平面.
（2）因为底面是等腰梯形，，
，
，
，
由 （1）平面
以为原点，以分别为轴，建立如图所示的坐标系．
，
设平面的一个法向量，
，
令可得，
而平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为
．
17．【答案】（1）解：当时，，
设为与的一个公共点，
因为，
则，
得，
所以，切点为且，
所以与在公共点处的切线方程为
（2）解：设为与的一个公共点，
因为，
所以
由②得，则，
将其代入①中得，，
则，
令，
则，
所以，当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，
所以，
又因为，所以，当且仅当时取“”，
则的最小值为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)设出切点坐标，再利用导数的几何意义得出直线的斜率，再根据函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，从而建立方程组求解得出切点坐标和切线斜率，进而得出函数与在公共点处的切线方程.
(2) 设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出直线的斜率，从而建立包含三个未知数的方程组，消参得到关于的关系式，再转化为函数关系式，通过导数判断函数单调性，从而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出a的最小值.
（1）当时，，
设为与的一个公共点，
因，
则得，
故切点为且，
所以与在公共点处的切线方程为
（2）设为与的一个公共点，
因，
则
由②得，即，将其代入①中得，，
即，
令，则，
则当时，在区间单调递增；
当时，在单调递减，
故，又因，故，当且仅当时取“”，
故的最小值为.
18．【答案】（1）解：设双曲线的焦半距为c，则，
又因为离心率为，所以，
代入得，解得，
所以双曲线的方程为
（2）证明：设，不妨设OA为渐近线，
OB为渐近线，直线AP的方程为，
联立方程组，得，
解得，
所以，
同理可得，
所以，
因为直线OA的斜率，
所以
，所以，
所以平行四边形PAOB的面积为
因为点P在双曲线C上，
所以，
则，
所以平行四边形PAOB的面积为
（3）解：设，，，
因为函数的导数为，
所以直线PC的方程为，
因为在直线PC上，
则，，
同理可得，
所以，均满足方程，
所以直线CD的方程为，
联立方程，得，
所以，，
则，
又因为P到直线CD的距离，
所以面积为：
，
又因为，
所以，
当P为时T取最小值时，
所以面积最小值为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而解方程组得出a，c的值，进而得出双曲线的方程.
（2）设，联立直线与双曲线方程得出点坐标，从而得到，再结合平行四边形面积公式得出平行四边形PAOB的面积为定值.
（3）设，，，通过导数得出切线方程，再结合韦达定理得出弦长，再利用点到直线的距离公式得出三角形的高，代入三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，从而得出面积的最小值．
（1）解：设双曲线的焦半距为c，则，
又因为离心率为，所以，
代入得，解得，
所以双曲线的方程为
（2）证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线，
直线AP的方程为，
联立方程，解得，
所以
同理可得，所以
由于直线OA的斜率，因此，所以，
所以平行四边形PAOB的面积为，
因为点P在双曲线C上，所以，即，
所以平行四边形PAOB的面积为
（3）解：设，，，
因为函数的导数为，所以直线PC的方程为，
由于在直线PC上，则，，
同理，
所以，均满足方程，
所以直线CD的方程为，
联立方程，得，
所以，，
则，
又因为P到直线CD的距离，
所以面积，
又因为，
所以，当P为时T取最小值，
所以面积最小值为
19．【答案】（1）解：设进行完轮答题时，得分的次数为，则.
所以，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
则.
（2）解：①当时，
即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，
则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，
其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，
其概率为.
则，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：
又因为，所以，
所以获得冠军的概率：，
所以获得亚军的概率为：
【知识点】等比数列的前n项和；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件和二项分布求概率公式，从而得出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出.
（2）①利用递推思想，也就是要分析累计得分，可能是上一次累计得分，再得2分，也可能是上一次累计得分，再得1分，再计算相应的概率可得递推关系.
②根据递推关系和首项，就可以用数列中的累加思想求通项，再求出的值，即可表示得冠军的概率，再利用两人争夺冠亚军是对立事件，则根据对立事件概率求法得出获得亚军的概率.
（1）设进行完轮答题时，得分的次数为，.
，，
随机变量表示甲同学的总分，其可能取值为，，，，
，
，
，
所以的分布列为：
3 4 5 6
（2）①当时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则，
累计得分为分的情况分两种：
（i），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
（ii），即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为.
则，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
②由①得，，，，
各式累加得：.
而，所以.
所以获得冠军的概率：.
所以获得亚军的概率为：.
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