资源简介

浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·台州模拟）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（　　）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆M：，
所以，圆的圆心坐标为，半径为.
故答案为：D.
【分析】利用已知圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径长.
2．（2025·台州模拟）已知等差数列的公差，，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列的公差，
由，得，解得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式，从而用公差表示，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
3．（2025·台州模拟）若随机变量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
因为随机变量且，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正态密度对应的概率密度函数图象的对称性和绝对值不等式求解方法，从而得出的值.
4．（2025·台州模拟）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，，
所以，
解得，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和复数的加法运算法则以及复数求模公式，从而得出a的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2025·台州模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，
事件B表示：另一个也是红球，
则，，
已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为：.
故答案为：A.
【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，再利用组合数公式和古典概率公式，从而分别求出和的值，再利用条件概率公式，从而求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率.
6．（2025·台州模拟）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
又因为函数既有极大值，又有极小值，
则关于的方程有两个不等的正根、，
所以，，
解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法，从而得出，利用函数既有极大值，又有极小值，则关于的方程有两个不等的正根、，再根据二次方程根的分布可得关于实数的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
7．（2025·台州模拟）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（　　）
A．4 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，分别为上下底面的外心，
则外接球球心在线段上，
连接并延长交于，连接并延长交AB于D，
设等边三角形的边长为，
根据正三角形面积公式，
∴，，
设等边三角形的边长为，
根据正三角形面积公式，
∴，C=CD=，
则，
设正三棱台的外接球的半径，
所以，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用正三角形的面积公式分别求出上下底面所在平面截球所得圆的半径，从而找到球心，再利用勾股定理得出正三棱台外接球的半径.
8．（2025·台州模拟）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由双曲线定义得，，，
设，则
由图可知，
，
在中，
由余弦定理，得，解得，
∴.
在中，
由余弦定理，得，
∴，
则双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】设，根据双曲线定义表示出，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系式，再利用双曲线的离心率公式，从而得到双曲线C的离心率.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·台州模拟）已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：由函数是定义域为R且周期为2，
则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，
可知函数关于y轴对称，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于B：由图象可知为函数图象的对称轴，
得，故B正确；
对于C：令，
则，
又因为，
所以恒成立，则单调递增，
当时，，则，
由图象可知，当时，单调递增，则；
当时，单调递减，则，故C错误；
对于D：由函数图象可知，当时，，，
令，
则，在该区间单调递增，且，
则，满足，
则当时，，单调递减，；
当时，，单调递增，，
则，，
所以，
则，
令，该函数周期，且关于轴对称，
则在R上恒成立，故D正确.
故答案为：.
【分析】结合函数是定义域为R且周期为2，可得函数在R上的图象关于y轴对称，从而判断出函数为偶函数，则可判断选项A；由函数的图象的对称轴，则可以判断选项B；令，利用导数判断函数的单调性，从而判断出的大小，则可判断选项C；由图象可知，在时，，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，令，再结合函数的周期性和对称性，则在R上恒成立，则判断出选项D，从而找出对恒成立的选项.
10．（2025·台州模拟）已知，，，则下列选项正确的是（　　）
A．的取值范围是
B．的最大值为30
C．的最小值为
D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于选项A：由向量模长的三角不等式，
得，
当且仅当同向时，取得最大值9，
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
因为长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
则的取值范围是[0，9]，故选项A正确；
对于选项B，因为
当同向时，，
则的最大值为，故B正确；
对于选项C、选项D，因为
设，则上式为①，
当与反向时，，
，
所以，
代入①式，得，
所以，当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用向量的模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号），则用该不等式求出的最大值，则判断出选项A；再把首尾顺次连接构成封闭三角形时，则是最小值，再利用向量的数量积化简，则得出当向量同向时数量积取得最大值和反向或特殊位置时取得最小值，从而得出的最值，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025·台州模拟）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．截口曲线的离心率为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的侧面积为
D．该几何体的上截面面积为
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，
所以，截面椭圆长轴长为，短轴长为，
则，
所以，故A错误；
对于选项B：因为上、下截面间的距离为，
所以，
将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，
则正好是以底面半径为，高为的圆柱，
则，故B正确；
对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2的圆柱的侧面，
则，故选项C正确；
对于选项D：利用椭圆的面积公式，得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，则根据正弦函数的定义求出椭圆长轴长和短轴长，则判断出选项A；利用割补法将图形等价于底面半径为，高为的圆柱，即可判断出选项B和选项C；利用椭圆的面积公式判断出选项D，从而找出正确的结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·台州模拟）已知，，则=　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
平方可得：，
两式相加得：.
故答案为：.
【分析】利用平方关系结合两角差的余弦公式，从而得出的值.
13．（2025·台州模拟）如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，
因为，所以，
设，
则，，，
由题意，可得，
则，
可得，
因为，
所以，
在中，由余弦定理，
可得
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理可得的值，设，则，，，在中，利用余弦定理结合二次函数图象求最值的方法，从而可得的最小值.
14．（2025·台州模拟）已知集合，含两个元素的集合．
（1）若，则满足条件的集合A的个数为　 　；
（2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为　 　．（结果均要化简）
【答案】；
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断；等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由，
可得，
因为，
所以，
又因为，
所以.
根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，
则，
当时，可取2，3，4，……，，共种可能；
当时，可取3，4，……，，共种可能；
当时，可取4，……，，共种可能；
……
当时，可取，，，，，共5种可能；
当时，可取，，，共种可能；
当时，可取，共种可能，
易知1，3，5，……，，，
构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项，
和为.
（2）由（1）知，，
因为，可知为4的整数倍，
①当为奇数时，应取2的奇数倍，
显然在，满足条件的有2，6，……，，
有个；
在，满足条件的有1，3，5，……，，
有个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍，
显然在，满足条件的有4，8，……，，
有个；
在，满足条件的有2，6，……，，
有个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且，
显然在，满足条件的有4，8，……，，
则个；
在，满足条件的有4，8，……，，且则个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为，
综上所述，
满足条件的不同的有序数对的个数为.
故答案为：；.
【分析】（1）根据已知条件可得，根据集合中元素的性质，设，则，依次列举可得取不同值时取值的情况，观察可得数列可构成一个等差数列，再根据等差数列前项和公式计算出满足条件的集合A的个数.
（2）根据已知条件可知为4的整数倍，再分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍三种情况，从而分别求出满足条件的个数，进而求和得出满足条件的不同的有序数对的个数.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·台州模拟）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
了解情况 非常了解 一般了解 不了解
人数（名） 580 320 100
（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名，根据古典概型概率公式，可得，
所以，从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率为：.
（2）解：因为原来 “不了解” 的市民占比为0.1，
“非常了解” 的市民占比为，
“一般了解” 的市民占比为，
经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，
有转变为 “非常了解”，其余保持不变，
所以，重点宣传后 “非常了解” 的概率为：.
从该市成年人口中随机抽取3人，
记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，
因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，
所以，
根据二项分布的概率公式，
得，
，
，
，
.
所以X的分布列为：
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
因为，
根据二项分布的数学期望公式，可得.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而得出其对垃圾分类知识“不了解”的概率.
（2）先求出重点宣传后 “非常了解” 的概率，再根据二项分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名，
根据古典概型概率公式可得，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率.
（2）原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为，
经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以，
根据二项分布的概率公式.
，
，
，
.
所以X的分布列为：
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
因为，根据二项分布的数学期望公式可得.
16．（2025·台州模拟）已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，取的中点N，连接，
又因为M是PD的中点，
所以且，
又因为，AD=2，BC=1，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：取的中点E，连接，
因为三角形为等边三角形，
所以，且，
且，
所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
，
所以三角形为等边三角形，
因为平面，
平面，
所以平面，
作于点O，
因为平面，
所以，
又因为平面，
平面，
所以平面，
如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则，则，
显然平面的法向量为，
设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，则，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）取的中点E，连接，再利用二面角的定义，从而得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线CM与平面ABCD所成角的正弦值.
（1）如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点，
则且，又因为，AD=2，BC=1，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以直线平面
（2）取的中点E，连接，因为三角形为等边三角形，
所以，且
且，所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，所以为二面角的平面角，
所以，，所以三角形为等边三角形，
因为平面，平面，
所以平面，作于点O，因为平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则，，
显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
17．（2025·台州模拟）已知数列和满足，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如）
【答案】（1）解：由，
可得，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，
故，
由，
可得①，
当时，
则②，
①②得，
解得，
因为也满足，
故对任意的，.
（2）解：因为
，
所以
另一方面，
当时，
所以
所以，
又因为，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由已知条件得出，再利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，从而确定该数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，进而得出，再利用数列前项和与数列通项的关系式以及检验法，从而求出数列的通项公式.
（2）由放缩法得出，当时，，再结合放缩法得出的取值范围，从而可得的值.
（1）由可得，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，故，
由已知，
可得①，
当时，则有②，
①②得，解得，
也满足，
故对任意的，.
（2）因为
，
所以，，
另一方面，当时，
，
所以，，
所以，，
又因为，因此，.
18．（2025·台州模拟）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程；
（3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）解：由题意知，直线的斜率存在，设，
则
可得，
因为线段的中点为，
所以，
所以，
则直线的方程为，即．
（3）解：设抛物线的切线方程为，
则，
所以，
由，可得，
则，
设直线的方程为，
联立，
则，
同理可得，
则 ，
所以点到直线线的距离为，
所以，
令，
因为，
所以，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，此时.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标得出的值，从而得出抛物线的标准方程.
（2）根据点差法结合两点求斜率公式以及中点坐标公式，从而得出直线的斜率，进而得出直线l的方程
（3）设抛物线的切线方程为，联立直线方程与抛物线方程，从而得出交点坐标关系式，设的方程为，联立，从而求出、，再利用两点求距离公式得出，则根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据三角形面积公式得出，令再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数h(m)的最小值，进而得出面积的最小值.
（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，
所以，则的方程为，即．
（3）设抛物线的切线方程为，
，即，由，可得，
，设的方程为，
联立，
，同理，
，
点到直线线的距离，所以，
令，
因为，则，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，此时.
19．（2025·台州模拟）函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合．
（1）若，求；
（2）若，为自然对数底数（下同），求证：；
（3）若，求，并说明理由．
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，，
所以，函数在处的切线方程为，
则.
（2）证明：假设，
则存在，使得对任意的，
所以，
因为，则，
所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，
所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，则.
（3）解：因为，
所以，
所以，，，
所以，在处的切线方程为：，
所以，，
令
当时，，
可知当时，，
因此，
，，且当时，，
，
令，
则，
①若，
则当时，，
则在上单调递增，
所以，，即
则函数在上单调递减，此时，矛盾；
②若，
则当时，，
则函数在上单调递增，
所以，
则函数在上单调递减，此时，矛盾；
③若，
则当时，，
则函数在上单调递减，
则，
所以函数在上单调递减，此时，
矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，
则函数在上单调递增，
所以，，
则函数在上单调递增，此时，
当时，，
则函数在上单调递减，
所以，
则函数在上单调递增，此时，
当时，，又因为，
所以，，
则函数在上单调递增，
此时，，
综上所述，.
【知识点】并集及其运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出函数在处的切线方程，从而得出.
（2）利用导数求出，再利用反证法，取，从而证出，进而推出矛盾，则证出.
（3）利用导数的几何意义求出，令，从而推导出，进而分析可知，，且当时，，对的取值进行分类讨论，再利用导数判断函数的单调性，从而分析出的符号变化，再结合集合中的元素特征进行验证，从而得出.
（1）因为，则，所以，，，
所以，函数在处的切线方程为，故.
（2）假设，则存在，使得对任意的，则有，
因为，则，所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，即.
（3）因为，则，
所以，，，
所以，在处的切线方程为，
所以，，
令，
当时，，可知当时，，因此，
，，且时，，
，
令，则，
①若，则当时，，则在上单调递增，
所以，，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
②若，则当时，，即函数在上单调递增，
所以，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
③若，则当时，，
即函数在上单调递减，则，
所以函数在上单调递减，此时，矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，则函数在上单调递增，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，而，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
1 / 1浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·台州模拟）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（　　）
A．，4 B．，4 C．，2 D．，2
2．（2025·台州模拟）已知等差数列的公差，，则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·台州模拟）若随机变量，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·台州模拟）已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·台州模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·台州模拟）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·台州模拟）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（　　）
A．4 B． C．3 D．
8．（2025·台州模拟）已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025·台州模拟）已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·台州模拟）已知，，，则下列选项正确的是（　　）
A．的取值范围是
B．的最大值为30
C．的最小值为
D．的最小值为
11．（2025·台州模拟）如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．截口曲线的离心率为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的侧面积为
D．该几何体的上截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·台州模拟）已知，，则=　 　．
13．（2025·台州模拟）如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是　 　．
14．（2025·台州模拟）已知集合，含两个元素的集合．
（1）若，则满足条件的集合A的个数为　 　；
（2）若，则满足条件的不同的有序数对的个数为　 　．（结果均要化简）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·台州模拟）某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如右：
了解情况 非常了解 一般了解 不了解
人数（名） 580 320 100
（1）从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
（2）该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”，有20%转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.
16．（2025·台州模拟）已知四棱锥，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是等边三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）当二面角的大小为时，求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值．
17．（2025·台州模拟）已知数列和满足，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如）
18．（2025·台州模拟）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线l的方程；
（3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
19．（2025·台州模拟）函数的定义域为，记的图象在点处的切线方程为．定义集合；集合．
（1）若，求；
（2）若，为自然对数底数（下同），求证：；
（3）若，求，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为圆M：，
所以，圆的圆心坐标为，半径为.
故答案为：D.
【分析】利用已知圆的标准方程，从而求出圆心坐标和圆的半径长.
2．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等差数列的公差，
由，得，解得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和等差数列的通项公式，从而用公差表示，再利用基本不等式求最值的方法，从而求出的最小值.
3．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，
可得，
则，
因为随机变量且，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用正态密度对应的概率密度函数图象的对称性和绝对值不等式求解方法，从而得出的值.
4．【答案】C
【知识点】充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，，
所以，
解得，
所以“”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和复数的加法运算法则以及复数求模公式，从而得出a的值，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，
事件B表示：另一个也是红球，
则，，
已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为：.
故答案为：A.
【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，再利用组合数公式和古典概率公式，从而分别求出和的值，再利用条件概率公式，从而求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，
所以，
又因为函数既有极大值，又有极小值，
则关于的方程有两个不等的正根、，
所以，，
解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法，从而得出，利用函数既有极大值，又有极小值，则关于的方程有两个不等的正根、，再根据二次方程根的分布可得关于实数的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，分别为上下底面的外心，
则外接球球心在线段上，
连接并延长交于，连接并延长交AB于D，
设等边三角形的边长为，
根据正三角形面积公式，
∴，，
设等边三角形的边长为，
根据正三角形面积公式，
∴，C=CD=，
则，
设正三棱台的外接球的半径，
所以，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】利用正三角形的面积公式分别求出上下底面所在平面截球所得圆的半径，从而找到球心，再利用勾股定理得出正三棱台外接球的半径.
8．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由双曲线定义得，，，
设，则
由图可知，
，
在中，
由余弦定理，得，解得，
∴.
在中，
由余弦定理，得，
∴，
则双曲线的离心率为.
故答案为：B.
【分析】设，根据双曲线定义表示出，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的关系式，再利用双曲线的离心率公式，从而得到双曲线C的离心率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A：由函数是定义域为R且周期为2，
则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，
可知函数关于y轴对称，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于B：由图象可知为函数图象的对称轴，
得，故B正确；
对于C：令，
则，
又因为，
所以恒成立，则单调递增，
当时，，则，
由图象可知，当时，单调递增，则；
当时，单调递减，则，故C错误；
对于D：由函数图象可知，当时，，，
令，
则，在该区间单调递增，且，
则，满足，
则当时，，单调递减，；
当时，，单调递增，，
则，，
所以，
则，
令，该函数周期，且关于轴对称，
则在R上恒成立，故D正确.
故答案为：.
【分析】结合函数是定义域为R且周期为2，可得函数在R上的图象关于y轴对称，从而判断出函数为偶函数，则可判断选项A；由函数的图象的对称轴，则可以判断选项B；令，利用导数判断函数的单调性，从而判断出的大小，则可判断选项C；由图象可知，在时，，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，令，再结合函数的周期性和对称性，则在R上恒成立，则判断出选项D，从而找出对恒成立的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：对于选项A：由向量模长的三角不等式，
得，
当且仅当同向时，取得最大值9，
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
因为长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
则的取值范围是[0，9]，故选项A正确；
对于选项B，因为
当同向时，，
则的最大值为，故B正确；
对于选项C、选项D，因为
设，则上式为①，
当与反向时，，
，
所以，
代入①式，得，
所以，当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C正确、选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用向量的模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号），则用该不等式求出的最大值，则判断出选项A；再把首尾顺次连接构成封闭三角形时，则是最小值，再利用向量的数量积化简，则得出当向量同向时数量积取得最大值和反向或特殊位置时取得最小值，从而得出的最值，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：对于A：因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，
所以，截面椭圆长轴长为，短轴长为，
则，
所以，故A错误；
对于选项B：因为上、下截面间的距离为，
所以，
将该几何体沿A点平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，
则正好是以底面半径为，高为的圆柱，
则，故B正确；
对于选项C：同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2的圆柱的侧面，
则，故选项C正确；
对于选项D：利用椭圆的面积公式，得，故选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为，则根据正弦函数的定义求出椭圆长轴长和短轴长，则判断出选项A；利用割补法将图形等价于底面半径为，高为的圆柱，即可判断出选项B和选项C；利用椭圆的面积公式判断出选项D，从而找出正确的结论.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
平方可得：，
两式相加得：.
故答案为：.
【分析】利用平方关系结合两角差的余弦公式，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
由余弦定理，可得，
因为，所以，
设，
则，，，
由题意，可得，
则，
可得，
因为，
所以，
在中，由余弦定理，
可得
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理可得的值，设，则，，，在中，利用余弦定理结合二次函数图象求最值的方法，从而可得的最小值.
14．【答案】；
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合间关系的判断；等差数列概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由，
可得，
因为，
所以，
又因为，
所以.
根据集合元素的无序性以及互异性，不妨设，
则，
当时，可取2，3，4，……，，共种可能；
当时，可取3，4，……，，共种可能；
当时，可取4，……，，共种可能；
……
当时，可取，，，，，共5种可能；
当时，可取，，，共种可能；
当时，可取，共种可能，
易知1，3，5，……，，，
构成了一个以1为首项，2为公差的等差数列，项数为项，
和为.
（2）由（1）知，，
因为，可知为4的整数倍，
①当为奇数时，应取2的奇数倍，
显然在，满足条件的有2，6，……，，
有个；
在，满足条件的有1，3，5，……，，
有个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
②当为2的奇数倍时，应取4的整数倍，
显然在，满足条件的有4，8，……，，
有个；
在，满足条件的有2，6，……，，
有个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为；
③当为2的偶数倍，即4的整数倍时，应取4的整数倍，且，
显然在，满足条件的有4，8，……，，
则个；
在，满足条件的有4，8，……，，且则个，
此时满足条件的不同的有序数对的个数为，
综上所述，
满足条件的不同的有序数对的个数为.
故答案为：；.
【分析】（1）根据已知条件可得，根据集合中元素的性质，设，则，依次列举可得取不同值时取值的情况，观察可得数列可构成一个等差数列，再根据等差数列前项和公式计算出满足条件的集合A的个数.
（2）根据已知条件可知为4的整数倍，再分为奇数、为2的奇数倍、为2的偶数倍三种情况，从而分别求出满足条件的个数，进而求和得出满足条件的不同的有序数对的个数.
15．【答案】（1）解：已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名，根据古典概型概率公式，可得，
所以，从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率为：.
（2）解：因为原来 “不了解” 的市民占比为0.1，
“非常了解” 的市民占比为，
“一般了解” 的市民占比为，
经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，
有转变为 “非常了解”，其余保持不变，
所以，重点宣传后 “非常了解” 的概率为：.
从该市成年人口中随机抽取3人，
记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，
因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，
所以，
根据二项分布的概率公式，
得，
，
，
，
.
所以X的分布列为：
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
因为，
根据二项分布的数学期望公式，可得.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件和古典概率公式，从而得出其对垃圾分类知识“不了解”的概率.
（2）先求出重点宣传后 “非常了解” 的概率，再根据二项分布求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（1）已知随机抽取了1000名市民进行调查，其中 “不了解” 的人数为100名，
根据古典概型概率公式可得，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识 “不了解” 的概率.
（2）原来 “不了解” 的市民占比为0.1，“非常了解” 的市民占比为，“一般了解” 的市民占比为，
经过重点宣传后，“不了解” 的市民中有转变为 “一般了解”，有转变为 “非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后 “非常了解” 的概率为.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识 “非常了解” 的人数，因为每次抽取是相互独立的，且抽取到 “非常了解” 的概率都为0.6，所以，
根据二项分布的概率公式.
，
，
，
.
所以X的分布列为：
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
因为，根据二项分布的数学期望公式可得.
16．【答案】（1）证明：如图，取的中点N，连接，
又因为M是PD的中点，
所以且，
又因为，AD=2，BC=1，
所以且，
所以四边形为平行四边形，故，
又因为平面，平面，
所以直线平面.
（2）解：取的中点E，连接，
因为三角形为等边三角形，
所以，且，
且，
所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
，
所以三角形为等边三角形，
因为平面，
平面，
所以平面，
作于点O，
因为平面，
所以，
又因为平面，
平面，
所以平面，
如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则，则，
显然平面的法向量为，
设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出线线平行，再利用平行四边形定义判断出四边形为平行四边形，则，再利用线线平行证出线面平行，即证出直线平面.
（2）取的中点E，连接，再利用二面角的定义，从而得到为二面角的平面角，再建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线CM与平面ABCD所成角的正弦值.
（1）如图，取的中点N，连接，又M是PD的中点，
则且，又因为，AD=2，BC=1，
所以且，所以四边形为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以直线平面
（2）取的中点E，连接，因为三角形为等边三角形，
所以，且
且，所以四边形为平行四边形，，
因为，所以，所以为二面角的平面角，
所以，，所以三角形为等边三角形，
因为平面，平面，
所以平面，作于点O，因为平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，如上图所示，以O为坐标原点，以OC为x轴，
以平行于AD为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，
则，，
显然平面的法向量为，设直线CM与平面ABCD所成角为，
则，
故直线CM与平面ABCD所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：由，
可得，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，
故，
由，
可得①，
当时，
则②，
①②得，
解得，
因为也满足，
故对任意的，.
（2）解：因为
，
所以
另一方面，
当时，
所以
所以，
又因为，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；反证法与放缩法；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由已知条件得出，再利用等比数列的定义判断出数列是等比数列，从而确定该数列的首项和公比的值，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，进而得出，再利用数列前项和与数列通项的关系式以及检验法，从而求出数列的通项公式.
（2）由放缩法得出，当时，，再结合放缩法得出的取值范围，从而可得的值.
（1）由可得，且，
所以，数列是首项和公比都为的等比数列，
所以，，故，
由已知，
可得①，
当时，则有②，
①②得，解得，
也满足，
故对任意的，.
（2）因为
，
所以，，
另一方面，当时，
，
所以，，
所以，，
又因为，因此，.
18．【答案】（1）解：因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）解：由题意知，直线的斜率存在，设，
则
可得，
因为线段的中点为，
所以，
所以，
则直线的方程为，即．
（3）解：设抛物线的切线方程为，
则，
所以，
由，可得，
则，
设直线的方程为，
联立，
则，
同理可得，
则 ，
所以点到直线线的距离为，
所以，
令，
因为，
所以，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，此时.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标得出的值，从而得出抛物线的标准方程.
（2）根据点差法结合两点求斜率公式以及中点坐标公式，从而得出直线的斜率，进而得出直线l的方程
（3）设抛物线的切线方程为，联立直线方程与抛物线方程，从而得出交点坐标关系式，设的方程为，联立，从而求出、，再利用两点求距离公式得出，则根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据三角形面积公式得出，令再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数h(m)的最小值，进而得出面积的最小值.
（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，
所以，则的方程为，即．
（3）设抛物线的切线方程为，
，即，由，可得，
，设的方程为，
联立，
，同理，
，
点到直线线的距离，所以，
令，
因为，则，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，此时.
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，，
所以，函数在处的切线方程为，
则.
（2）证明：假设，
则存在，使得对任意的，
所以，
因为，则，
所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，
所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，则.
（3）解：因为，
所以，
所以，，，
所以，在处的切线方程为：，
所以，，
令
当时，，
可知当时，，
因此，
，，且当时，，
，
令，
则，
①若，
则当时，，
则在上单调递增，
所以，，即
则函数在上单调递减，此时，矛盾；
②若，
则当时，，
则函数在上单调递增，
所以，
则函数在上单调递减，此时，矛盾；
③若，
则当时，，
则函数在上单调递减，
则，
所以函数在上单调递减，此时，
矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，
则函数在上单调递增，
所以，，
则函数在上单调递增，此时，
当时，，
则函数在上单调递减，
所以，
则函数在上单调递增，此时，
当时，，又因为，
所以，，
则函数在上单调递增，
此时，，
综上所述，.
【知识点】并集及其运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出函数在处的切线方程，从而得出.
（2）利用导数求出，再利用反证法，取，从而证出，进而推出矛盾，则证出.
（3）利用导数的几何意义求出，令，从而推导出，进而分析可知，，且当时，，对的取值进行分类讨论，再利用导数判断函数的单调性，从而分析出的符号变化，再结合集合中的元素特征进行验证，从而得出.
（1）因为，则，所以，，，
所以，函数在处的切线方程为，故.
（2）假设，则存在，使得对任意的，则有，
因为，则，所以，
所以，函数在处的切线方程为，
所以，所以，
当时，，与假设矛盾，
因此，假设不成立，即.
（3）因为，则，
所以，，，
所以，在处的切线方程为，
所以，，
令，
当时，，可知当时，，因此，
，，且时，，
，
令，则，
①若，则当时，，则在上单调递增，
所以，，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
②若，则当时，，即函数在上单调递增，
所以，即函数在上单调递减，
此时，矛盾；
③若，则当时，，
即函数在上单调递减，则，
所以函数在上单调递减，此时，矛盾；
④若，则矛盾；
⑤若，当时，，则函数在上单调递增，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，则函数在上单调递增，
此时，
当时，，而，
所以，，则函数在上单调递增，
此时，.
综上所述，.
1 / 1

展开更多......

收起↑