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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·长沙期末）实数a，b满足，则（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由得，
解得，所以．
故答案为：D.
【分析】本题围绕复数运算与复数相等的条件展开，解题思路是：先对进行复数乘法运算展开，再依据复数相等的定义（实部与实部相等，虚部与虚部相等 ）列出方程组，求解得到、的值，最后计算，核心是复数运算规则与相等条件的运用.
2．（2025高二下·长沙期末）已知集合，若，则实数（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，所以，
的定义域为，即，解得，
所以，，且，所以．
故答案为：.
【分析】本题需要分别求出集合A（函数值域）和集合B（函数定义域），再根据A = B建立等式求解a，核心是三角函数值域与二次根式定义域的求解.
3．（2025高二下·长沙期末）设，则的大小关系是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】因为设，则根据函数的单调性，判定对数、指数函数、，从而可知结论为，选B。
【点评】解决该试题的关键是利用对数函数和指数函数的单调性，选择中间变量0，1，来进行比较，从而得到结论。
4．（2025高二下·长沙期末）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数单调递增，所以，
要使得函数的值域为，
则当时，，解得，所以实数的取值范围是
故答案为：D.
【分析】本题需分别分析分段函数两部分的单调性与取值范围，结合值域为的条件，确定对数函数部分需满足的关系，进而求解的取值范围.
5．（2025高二下·长沙期末）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（　　）
A． B．1 C．0 D．
【答案】D
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，是两个单位向量，
故在上的投影向量为，得，
所以．
故答案为：.
【分析】本题要先利用投影向量的定义求出，再依据向量数量积的运算规则，结合单位向量模长为的性质，计算的值，关键在于理解投影向量与数量积的联系以及向量运算律的运用．
6．（2025高二下·长沙期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线（，）的渐近线方程为，即．
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
．
又，，
，．
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，
双曲线C的焦距为．
故答案为：C
【分析】本题需先根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线斜率，得到a、b的联系，再用点到直线距离公式求b，最后结合a、b、c关系求焦距，核心是双曲线渐近线性质与点到直线距离的运用．
7．（2025高二下·长沙期末）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于个数据，第百分位数的位置为，根据百分位数定义，位置为小数时，向上取整，即第个数据为第百分位数，又，则，，即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且，
由此可得和是数列的最大项，故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位
所以第90百分位数为或.
故答案选：B.
【分析】本题需先判断数列的单调性，确定其最大项的位置，再依据百分位数的计算方法（数据个数乘以百分位比例，确定对应位置数据 ）求解，核心是数列单调性分析与百分位数定义的运用.
8．（2025高二下·长沙期末）设函数的定义域为，若，且对任意，满足：，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；数列的求和
【解析】【解答】解：已知，将换为，得．
又因为，而，所以：
结合，可得，则
．
故答案为：B.
【分析】本题需要通过对已知不等式进行变形和推导，确定的具体表达式，再利用累加法结合等比数列求和公式计算，关键在于不等式的放缩与通项公式的确定．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·长沙期末）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（　　）
A．事件与事件B相互独立 B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据，可得；
又，可得；
A、即满足，因此事件与事件B相互独立，A正确；
B、易知，B错误；
C、由可得，C正确；
D、计算可得，所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误.
10．（2025高二下·长沙期末）已知，若，则正确的是（　　）
A．
B．
C．除以6所得余数为5
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，令，
得，
∴，所以A正确；
对于B：令∴，
所以，所以B错误；
对于C：由A知，
所以，除以6的余数为5，C正确；
对于D：由，
得，令，
得，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合二项式定理计算即可.
11．（2025高二下·长沙期末）已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，又因为，，
、平面，故平面，A正确；
B、，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B正确；
C、不妨取的中点，连接、，则，
，
同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C正确；
D、以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：
则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：
因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、核心是线面垂直判定定理，需验证直线是否垂直平面内两条相交直线和.
B、核心是空间向量模长公式，先将分解为，再利用向量垂直性质化简模长平方，结合异面直线夹角范围求范围 .
C、核心是空间向量数量积运算，通过取中点，结合球心性质，对展开分解，代入的条件，转化为二次函数求取值范围 .
D、核心是外接球构造与表面积计算，通过作平行四边形将异面直线成角转化为平面角，分两种夹角情况，利用外接球直径与矩形、异面直线的关系，结合球表面积公式判断 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·长沙期末）设函数，，若是奇函数，则　 　．
【答案】
【知识点】正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由是奇函数，得，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题需要先利用辅助角公式对函数进行化简，再根据奇函数的性质（奇函数在处有定义时， ，或正弦函数为奇函数的条件 ）确定的取值，最后计算，核心是辅助角公式与奇函数性质的运用.
13．（2025高二下·长沙期末）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为　 　．
【答案】16
【知识点】基本不等式；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16.
故答案为：16.
【分析】本题要先依据椭圆定义得出 的定值，再运用基本不等式（均值不等式）求 的最大值，核心是椭圆定义与基本不等式的结合运用.
14．（2025高二下·长沙期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：
如图所示，作出函数的图象.
由得，，
∴或，
由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根，
要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点，
结合图象可得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题需先将函数g(x)的零点问题转化为关于f(x)的方程的根的问题，再通过分析分段函数f(x)的图象，结合方程根的个数与函数图象交点个数的关系，确定实数t的取值范围，核心是函数零点与图象交点的转化及分段函数图象的分析.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·长沙期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，且满足，求的周长．
【答案】（1）解：在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而
所以．
（2）解：由，得，解得，
由，得，由（1）得，
则，即，解得，，
所以的周长为．
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）核心是正弦定理角化边（将角的关系转化为边的关系 ），再结合余弦定理求角，关键是利用定理实现边角转化.
（2）先由向量数量积定义结合（1）的结论求出ac，再用正弦定理角化边得到a + c与b的关系，最后联立（1）中边的等式求解边长，进而得周长，核心是向量与定理的综合运用.
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而
所以．
（2）由，得，解得，
由，得，由（1）得，
则，即，解得，，
所以的周长为．
16．（2025高二下·长沙期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．
（1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（1）解：依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：由题意得，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
【知识点】超几何分布；二项分布；组合及组合数公式；正态分布定义
【解析】【分析】（1）分布列求解：先确定不合格人数，明确随机变量的可能取值，再利用超几何分布概率公式（从有限个物件中抽取个，其中含个指定物件，计算抽取个指定物件的概率 ）计算每个取值的概率，构建分布列.
（2）期望计算：先根据样本数据求出均值和方差（即正态分布的和 ），再利用正态分布的性质求出成绩落在区间的概率，最后结合二项分布期望公式（，为试验次数，为成功概率 ）计算期望.
（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）依题意，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
17．（2025高二下·长沙期末）如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，．
（1）求证：；
（2）若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接．
在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF，
．
，，平面，
平面ABCD．
又平面ABCD，
．
又为EF的中点，
．
（2）解：连接，，如图所示，
由四面体ABEF的体积，得.
因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面BEF的法向量是．
由，得，取，得．
设平面ABE的法向量是．
由，得，取，得．
所以，
由图象可知，二面角为锐角，
故所求二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）核心是利用圆柱的垂直关系与三角形全等，通过证明，得出对应边相等，关键是找到全等的条件（边、角关系) .
（2）先根据四面体体积求出的值，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法（求两个平面法向量，计算法向量夹角余弦值 ）求解二面角，核心是坐标系构建与法向量运算.
（1）连接．
在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF，
．
，，平面，
平面ABCD．
又平面ABCD，
．
又为EF的中点，
．
（2）连接，，如图所示，
由四面体ABEF的体积，得．
因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面BEF的法向量是．
由，得，取，得．
设平面ABE的法向量是．
由，得，取，得．
所以，
由图象可知，二面角为锐角，
故所求二面角的余弦值为．
18．（2025高二下·长沙期末）已知在点处与轴相切.
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求证.
【答案】（1）解：因为在点处与轴相切，，
所以，，解得.
即：.
（2）解：由(1)得，定义域，导数：
令，求 的单调性（二次导数 ）：
当 时，， 单调递增，故（因 ）， 单调递减。
当 时，， 单调递减，故， 单调递减。
综上， 的单调递减区间为，无单调递增区间。
（3）证明：因为，则，要证，
即证，
即证，
设，则，
即证，
即证，
令，，
又，
所以在上单调递增，，
即，故不等式成立.
即：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)：利用“相切条件（函数值为0、导数值为0 ）”联立方程，直接解。
(2)：通过“导数的导数（二次导数 ）”分析一阶导数的单调性，进而确定原函数的单调区间。
(3)：不等式变形后换元（ ），构造函数，利用导数判断单调性证明不等式。
（1）因为在点处与轴相切，，
所以，，解得.
（2）由（1）得，，定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，所以，所以单调递减，
当时，，单调递减，，所以单调递减，
所以的单调递减区间为，无单调递增区间.
（3）因为，则，要证，
即证，
即证，
设，则，
即证，
即证，
令，，
又，
所以在上单调递增，，
即，故不等式成立.
19．（2025高二下·长沙期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程．
（2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为．
（ⅰ）求证：三点共线；
（ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解动点到点的距离比它到直线的距离小，
点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为．
（2）（ⅰ）解：设，，，，
则直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
，，，即，故．
又直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点．
所以三点共线；
（ⅱ）解：，，
，，得，
，
，
上面两式相减得，
由（ⅰ）知，即，，
过点作交于点，
，，，，，
则，
又，不妨设，则，
四边形是平行四边形，，
分别是的中点，，，
，，
设的边上的高为，的边上的高为，则，
，，
，
，，，
．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）核心是利用抛物线的定义（到定点与定直线距离相等的点的轨迹 ），通过分析动点的距离关系，转化为抛物线的定义形式，确定焦点和准线，进而得方程.
（2）（ⅰ）证明三点共线：通过设点坐标，利用点差法求出直线斜率，再结合直线、的方程，证明它们的交点在所在直线上，关键是斜率计算与方程联立.
（ⅱ）求四边形的面积：先根据，及直线平行关系，结合（ⅰ）中斜率与中点的联系，求出直线、的斜率和长度，再利用梯形面积公式（因 ）计算，核心是斜率、长度与面积公式的结合.
（1）动点到点的距离比它到直线的距离小，
点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为．
（2）（ⅰ）设，，，，
则直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
，，，即，故．
又直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点．
所以三点共线；
（ⅱ），，
，，得，
，
，
上面两式相减得，
由（ⅰ）知，即，，
过点作交于点，
，，，，，
则，
又，不妨设，则，
四边形是平行四边形，，
分别是的中点，，，
，，
设的边上的高为，的边上的高为，则，
，，
，
，，，
．
1 / 1湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·长沙期末）实数a，b满足，则（　　）
A． B． C．1 D．3
2．（2025高二下·长沙期末）已知集合，若，则实数（　　）
A．1 B． C．2 D．4
3．（2025高二下·长沙期末）设，则的大小关系是 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·长沙期末）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·长沙期末）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（　　）
A． B．1 C．0 D．
6．（2025高二下·长沙期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（　　）
A． B．2 C． D．4
7．（2025高二下·长沙期末）已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·长沙期末）设函数的定义域为，若，且对任意，满足：，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·长沙期末）随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（　　）
A．事件与事件B相互独立 B．
C． D．
10．（2025高二下·长沙期末）已知，若，则正确的是（　　）
A．
B．
C．除以6所得余数为5
D．
11．（2025高二下·长沙期末）已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，则平面
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·长沙期末）设函数，，若是奇函数，则　 　．
13．（2025高二下·长沙期末）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为　 　．
14．（2025高二下·长沙期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·长沙期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，且满足，求的周长．
16．（2025高二下·长沙期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，．
（1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，．
17．（2025高二下·长沙期末）如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，．
（1）求证：；
（2）若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值．
18．（2025高二下·长沙期末）已知在点处与轴相切.
（1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求证.
19．（2025高二下·长沙期末）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程．
（2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为．
（ⅰ）求证：三点共线；
（ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由得，
解得，所以．
故答案为：D.
【分析】本题围绕复数运算与复数相等的条件展开，解题思路是：先对进行复数乘法运算展开，再依据复数相等的定义（实部与实部相等，虚部与虚部相等 ）列出方程组，求解得到、的值，最后计算，核心是复数运算规则与相等条件的运用.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：，所以，
的定义域为，即，解得，
所以，，且，所以．
故答案为：.
【分析】本题需要分别求出集合A（函数值域）和集合B（函数定义域），再根据A = B建立等式求解a，核心是三角函数值域与二次根式定义域的求解.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】因为设，则根据函数的单调性，判定对数、指数函数、，从而可知结论为，选B。
【点评】解决该试题的关键是利用对数函数和指数函数的单调性，选择中间变量0，1，来进行比较，从而得到结论。
4．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，函数单调递增，所以，
要使得函数的值域为，
则当时，，解得，所以实数的取值范围是
故答案为：D.
【分析】本题需分别分析分段函数两部分的单调性与取值范围，结合值域为的条件，确定对数函数部分需满足的关系，进而求解的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，是两个单位向量，
故在上的投影向量为，得，
所以．
故答案为：.
【分析】本题要先利用投影向量的定义求出，再依据向量数量积的运算规则，结合单位向量模长为的性质，计算的值，关键在于理解投影向量与数量积的联系以及向量运算律的运用．
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：双曲线（，）的渐近线方程为，即．
，分别为C的两条渐近线的倾斜角，
．
又，，
，．
又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，，
双曲线C的焦距为．
故答案为：C
【分析】本题需先根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线斜率，得到a、b的联系，再用点到直线距离公式求b，最后结合a、b、c关系求焦距，核心是双曲线渐近线性质与点到直线距离的运用．
7．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于个数据，第百分位数的位置为，根据百分位数定义，位置为小数时，向上取整，即第个数据为第百分位数，又，则，，即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且，
由此可得和是数列的最大项，故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位
所以第90百分位数为或.
故答案选：B.
【分析】本题需先判断数列的单调性，确定其最大项的位置，再依据百分位数的计算方法（数据个数乘以百分位比例，确定对应位置数据 ）求解，核心是数列单调性分析与百分位数定义的运用.
8．【答案】B
【知识点】抽象函数及其应用；数列的求和
【解析】【解答】解：已知，将换为，得．
又因为，而，所以：
结合，可得，则
．
故答案为：B.
【分析】本题需要通过对已知不等式进行变形和推导，确定的具体表达式，再利用累加法结合等比数列求和公式计算，关键在于不等式的放缩与通项公式的确定．
9．【答案】A,C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据，可得；
又，可得；
A、即满足，因此事件与事件B相互独立，A正确；
B、易知，B错误；
C、由可得，C正确；
D、计算可得，所以，D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：对于A：由已知，令，
得，
∴，所以A正确；
对于B：令∴，
所以，所以B错误；
对于C：由A知，
所以，除以6的余数为5，C正确；
对于D：由，
得，令，
得，所以D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法结合二项式定理计算即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、若，又因为，，
、平面，故平面，A正确；
B、，由题意，
所以
，
因为、互为异面直线，则，
故，故，B正确；
C、不妨取的中点，连接、，则，
，
同理可得，，
所以，
，
因为，故，故，C正确；
D、以、为邻边作平行四边形，则为矩形，
故的各顶点都在球的球面上，如下图所示：
则，又因为，，、平面，
所以，平面，且，
如下图所示：
圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心.
可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示：
因为，故异面直线、所成的角为或其补角，
当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为，
设球的半径为，则，
此时，球的表面积为；
当时，由于，则，
则外接圆直径为，则，
此时，球的表面积为.
综上所述，球的表面积为或，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A、核心是线面垂直判定定理，需验证直线是否垂直平面内两条相交直线和.
B、核心是空间向量模长公式，先将分解为，再利用向量垂直性质化简模长平方，结合异面直线夹角范围求范围 .
C、核心是空间向量数量积运算，通过取中点，结合球心性质，对展开分解，代入的条件，转化为二次函数求取值范围 .
D、核心是外接球构造与表面积计算，通过作平行四边形将异面直线成角转化为平面角，分两种夹角情况，利用外接球直径与矩形、异面直线的关系，结合球表面积公式判断 .
12．【答案】
【知识点】正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
由是奇函数，得，则，
所以.
故答案为：.
【分析】本题需要先利用辅助角公式对函数进行化简，再根据奇函数的性质（奇函数在处有定义时， ，或正弦函数为奇函数的条件 ）确定的取值，最后计算，核心是辅助角公式与奇函数性质的运用.
13．【答案】16
【知识点】基本不等式；椭圆的定义
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16.
故答案为：16.
【分析】本题要先依据椭圆定义得出 的定值，再运用基本不等式（均值不等式）求 的最大值，核心是椭圆定义与基本不等式的结合运用.
14．【答案】
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：
如图所示，作出函数的图象.
由得，，
∴或，
由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根，
要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点，
结合图象可得，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】本题需先将函数g(x)的零点问题转化为关于f(x)的方程的根的问题，再通过分析分段函数f(x)的图象，结合方程根的个数与函数图象交点个数的关系，确定实数t的取值范围，核心是函数零点与图象交点的转化及分段函数图象的分析.
15．【答案】（1）解：在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而
所以．
（2）解：由，得，解得，
由，得，由（1）得，
则，即，解得，，
所以的周长为．
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）核心是正弦定理角化边（将角的关系转化为边的关系 ），再结合余弦定理求角，关键是利用定理实现边角转化.
（2）先由向量数量积定义结合（1）的结论求出ac，再用正弦定理角化边得到a + c与b的关系，最后联立（1）中边的等式求解边长，进而得周长，核心是向量与定理的综合运用.
（1）在中，由及正弦定理，得，
即，由余弦定理得，而
所以．
（2）由，得，解得，
由，得，由（1）得，
则，即，解得，，
所以的周长为．
16．【答案】（1）解：依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）解：由题意得，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
【知识点】超几何分布；二项分布；组合及组合数公式；正态分布定义
【解析】【分析】（1）分布列求解：先确定不合格人数，明确随机变量的可能取值，再利用超几何分布概率公式（从有限个物件中抽取个，其中含个指定物件，计算抽取个指定物件的概率 ）计算每个取值的概率，构建分布列.
（2）期望计算：先根据样本数据求出均值和方差（即正态分布的和 ），再利用正态分布的性质求出成绩落在区间的概率，最后结合二项分布期望公式（，为试验次数，为成功概率 ）计算期望.
（1）依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）依题意，，
，则，，
于是，
学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，，
所以Y的数学期望.
17．【答案】（1）证明：连接．
在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF，
．
，，平面，
平面ABCD．
又平面ABCD，
．
又为EF的中点，
．
（2）解：连接，，如图所示，
由四面体ABEF的体积，得.
因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面BEF的法向量是．
由，得，取，得．
设平面ABE的法向量是．
由，得，取，得．
所以，
由图象可知，二面角为锐角，
故所求二面角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）核心是利用圆柱的垂直关系与三角形全等，通过证明，得出对应边相等，关键是找到全等的条件（边、角关系) .
（2）先根据四面体体积求出的值，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法（求两个平面法向量，计算法向量夹角余弦值 ）求解二面角，核心是坐标系构建与法向量运算.
（1）连接．
在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF，
．
，，平面，
平面ABCD．
又平面ABCD，
．
又为EF的中点，
．
（2）连接，，如图所示，
由四面体ABEF的体积，得．
因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，．
设平面BEF的法向量是．
由，得，取，得．
设平面ABE的法向量是．
由，得，取，得．
所以，
由图象可知，二面角为锐角，
故所求二面角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：因为在点处与轴相切，，
所以，，解得.
即：.
（2）解：由(1)得，定义域，导数：
令，求 的单调性（二次导数 ）：
当 时，， 单调递增，故（因 ）， 单调递减。
当 时，， 单调递减，故， 单调递减。
综上， 的单调递减区间为，无单调递增区间。
（3）证明：因为，则，要证，
即证，
即证，
设，则，
即证，
即证，
令，，
又，
所以在上单调递增，，
即，故不等式成立.
即：.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)：利用“相切条件（函数值为0、导数值为0 ）”联立方程，直接解。
(2)：通过“导数的导数（二次导数 ）”分析一阶导数的单调性，进而确定原函数的单调区间。
(3)：不等式变形后换元（ ），构造函数，利用导数判断单调性证明不等式。
（1）因为在点处与轴相切，，
所以，，解得.
（2）由（1）得，，定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，所以，所以单调递减，
当时，，单调递减，，所以单调递减，
所以的单调递减区间为，无单调递增区间.
（3）因为，则，要证，
即证，
即证，
设，则，
即证，
即证，
令，，
又，
所以在上单调递增，，
即，故不等式成立.
19．【答案】（1）解动点到点的距离比它到直线的距离小，
点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为．
（2）（ⅰ）解：设，，，，
则直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
，，，即，故．
又直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点．
所以三点共线；
（ⅱ）解：，，
，，得，
，
，
上面两式相减得，
由（ⅰ）知，即，，
过点作交于点，
，，，，，
则，
又，不妨设，则，
四边形是平行四边形，，
分别是的中点，，，
，，
设的边上的高为，的边上的高为，则，
，，
，
，，，
．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）核心是利用抛物线的定义（到定点与定直线距离相等的点的轨迹 ），通过分析动点的距离关系，转化为抛物线的定义形式，确定焦点和准线，进而得方程.
（2）（ⅰ）证明三点共线：通过设点坐标，利用点差法求出直线斜率，再结合直线、的方程，证明它们的交点在所在直线上，关键是斜率计算与方程联立.
（ⅱ）求四边形的面积：先根据，及直线平行关系，结合（ⅰ）中斜率与中点的联系，求出直线、的斜率和长度，再利用梯形面积公式（因 ）计算，核心是斜率、长度与面积公式的结合.
（1）动点到点的距离比它到直线的距离小，
点到的距离与到直线的距离相等，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为．
（2）（ⅰ）设，，，，
则直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
直线的斜率为，，
直线的方程为，即，
，，，即，故．
又直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
令，得，
所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点．
所以三点共线；
（ⅱ），，
，，得，
，
，
上面两式相减得，
由（ⅰ）知，即，，
过点作交于点，
，，，，，
则，
又，不妨设，则，
四边形是平行四边形，，
分别是的中点，，，
，，
设的边上的高为，的边上的高为，则，
，，
，
，，，
．
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