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【单元学习指导与练习】知识巩固 第15讲 锐角三角函数与解直角三角形（同步练习）
一、A组
1． 在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，则（　　)
A．c=b·sin B．B. b=c·sinB
C．a=b ·tanB D．b=c·tanB
2． 如图所示，在正方形网格中，∠1，∠2，∠3的大小关系为 （　　)
A．∠1=∠2=∠3 B．∠1<∠2<∠3
C．∠1=∠2>∠3 D．∠1<∠2=∠3
3． 在△ABC 中， 且△ABC 的周长为36，则此三角形的面积为 （　　)
A．12 B．24 C．48 D．96
4． 如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD 的长度约为（参考数据： （　　)
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
5．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB 的值是　 　.
6．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图所示，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF>∠BAF，连结BE.设∠BAF=α，∠BEF=β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1： n，tanα=tan2β，则n=　 　.
7． 如图甲所示为一台手机支架，图乙是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点A，B 转动，已知 BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC 转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，点C 到AE 的距离为　 　 cm.（结果保留一位小数，参考数据：
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中“方田”章给出计算弧田面积所用公式如下：弧田面积 （弦×矢+矢2)，弧田（如图所示)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，那么cos∠OAB 的值为　 　.
9． 如图所示，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，
（1）求∠B 的度数和AB 的长.
（2）求 tan∠CDB 的值.
二、B组
10． 在平面直角坐标系中，A（2，0)，B（4，4)，连结OB，AB，则 =　 　若点C 在y轴上，作点C 关于直线OB，AB 的对称点D，E，则DE 的最小值为　 　.
11． 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，连结AC，OC.若 则 tan∠BOC=　 　.
12．某款折叠型的电脑支架由底座AB、电脑承载面CD 和长短两根转轴EB，EF 组成，在B，E，F 处安装有轴承，转轴BE，EF 可以自由转动， BE=2EF=20cm.某次展开后其侧面如图所示，此时 54°，∠BEF=120°；
（参考数据： 1.3764，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)
（1）求∠CFE 的度数.
（2）求电脑承载面CD 与底座AB 之间的距离.（结果精确到0.1cm).
（3）求轴承B，F之间的距离.
13．课题小组学习“如何设计遮阳棚”时，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图甲)，其中AC 为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD 为遮阳棚的宽度（可变动)，
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角α最小（约 ；夏至日正午的太阳高度角α最大（约 .请你协助该小组，完成以下任务：
（1）【任务1】如图乙，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD 应该不超过多少长度 （结果精确到0.1cm)
（2）【任务 2】如图丙，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端 E 到移门的距离为180cm，桌子高度MN=80cm.若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD 应该多长 （结果精确到0.1cm.参考数据： 0. ≈
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如下
由正弦定义可知
∴
由正切定义可知
∴
A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】本题考查锐角三角函数的恒等变形，只要牢记基本公式，就可以找到正确答案。
2．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：作辅助线如图
易知
A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】本题巧用正方形网格找平行线，再利用平行线的性质可以找到相等的角，并且比较出相关角的大小关系，又快又准确。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：依题意画图如下
∵
∴设AD=3x，AB=5x
在中，由勾股定理可求BD=4x
∵AB=AC，
∴BC=2BD=8x
∵的周长为36
∴5x+5x+8x=36
解得x=2
∴BC=8x=16，AD=3x=6
∴
故答案为：C.
【分析】本题根据三角函数按比设参，再利用勾股定理求出第三边，结合等腰三角形的性质表示出其三边长度，然后利用周长为36求出x的值，从而可以求出底和高，面积就迎刃而解了。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，（米）
在中，（米）
∴CD=AD-AC=3.66（米）
故答案为D：.
【分析】这是一道解直角三角形常规题型，先求AD，再求AC，两者相减即为CD，要注意计算的准确性。
5．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
6．【答案】3
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；正切的概念；数形结合
【解析】【解答】解：设AE=a，DE=b，则BF=a，AF=b，则，。
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵
∴n=3
故答案为：3.
【分析】本题有一定难度，需要充分挖掘两个正方形面积之比和两个锐角三角函数之间的关系，利用锐角三角函数进行代换。
7．【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：延长BC交AE于点D，过点B作于点F，过点C作于点G。
易求
在中，
在中，
∴
在中，
故答案为：6.3.
【分析】根据题意先作出必要的辅助线，将已知的角度放入三角形中，再灵活利用解直接三角形的知识，先在中求出BF的长度，然后转入右边的中，求出BD 长度，于是可求CD长，最后转入中，求出CG的长度即为所求。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；余弦的概念
9．【答案】（1）解：∠B=45°，AB=3
（2）解：tan∠CDB=2
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（1）过点C作于点E。
∵，且是锐角
∴
∴是等腰直角三角形
即CE=BE
在中，设CE=x，AE=2x，由勾股定理得
解得
∴CE=1，AE=2
∴AB=AE+BE=2+1=3
（2）∵点D是AB中点
∴BD=
DE=BD-BE=
∴
【分析】（1）已知一个锐角的正弦值，反推这个锐角度数是必须掌握的技能，需熟记特殊角的各类锐角三角函数值，才能顺利解决问题。
（2）本题考查解直角三角形的综合运用，既有由线段求角的锐角三角函数的问题，又有由某个锐角的三角函数求这个角的问题，解题中需要抓住CE的特殊身份，灵活在多个三角形中发挥作用，才能达到求解的目的。
10．【答案】；
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，作轴，.
∵
∴
又
∴AG=OG=
∴BG=OB-OG=
在中，；
如图2，设。
∴点C关于直线OB的对称点为
∵，
∴直线AB为y=2x-4
∵
∴直线CE为
∵，
∴
∴
又∵
∴O关于直线AB的对称点
∴直线EF为
又直线CE为
∴
∴
∴当c=4时，DE取最小值为。
故答案为：；.
【分析】本题第一空属于基础题，直接构造直角三角形即可求出；第二空难度较大，不仅需要熟练掌握互相垂直的两条直线的比例系数乘积等于-1，还要利用到全等三角形的知识灵活转换点的坐标，以及含参直线解析式的运算都是解题关键。
11．【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：在中，
∴设BC=x，AC=3x
由勾股定理得
∴
在中， tan∠BOC=
故答案为：.
【分析】本题利用BC作为桥梁，在两个直角三角形中自由代换，同时按比设参，用参数表示出相关线段的长度，最后求比值时刚好消去参数得到答案。
12．【答案】（1）解：过点E作。
∵
∴
∵
∴
易证
∴；
（2）解：如图甲，过点E作MN⊥AB，交AB，CD于点M，N
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD.
∵∠BEF=120°，∠ABE=54°，
∴∠NEF+120°=90°+54°.
∴∠NEF=90°+54°-120°=24°.
∴EM=EB·sin54°≈20×0.8090≈16.18.
∴EN=EF·cos24°≈10×0.9135≈9.135.
∴MN=16.18+9.135=25.315≈25.3
（3）解：如图乙，过点F作BE的垂线，交BE的延长线于点H，连结FB.
∵∠BEF=120°，
∴∠FEH=60°.
∴FH=10×=5.
【知识点】平行线之间的距离；解直角三角形—构造直角三角形；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）平行线之间的拐点问题是常见的典型题，其固定方法都是过拐点作平行线，利用平行的传递性解决问题；
（2）平行线AB、CD之间的距离就等于过点E且垂直于平行线的线段MN的长度，分别在与中求出EN、EM，再相加即可；
（3）由于要求B、F之间的距离，故必须连接这两点，注意到∠BEF=120°，所以应该想到延长BE，过点F作于点H，接下来就利用特殊角的三角函数在与中转换求解。
13．【答案】（1）解：过点B作BH⊥AD
∠α=35°，∴∠BAH=55°，∵AB=50cm，∴BH=AB·sin55°=50×0.82=41.∵∠ABD=80°，∴∠BDH=45°，∴BD=BH=41×1.41°≈57.8cm.∴在冬至日正午时，BD应该不超过57.8cm
（2）解：过点E作EP⊥AC，连结BE
∵PE=180cm，PC=MN=80cm，∴PB=180cm，∴∠PBE=∠PEB=45°，∵∠α=80°，∠ABD=80°，∴∠BDE=90°，∴BE=PE≈253.8cm，BD=BE·sin55°≈208.1cm.∴在夏至日正午时，BD应该长约208.1cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）要求冬至日这天遮阳棚BD的长度，就要想办法将它放入直角三角形中，故过点B作BH⊥AD，利用图中角之间的关系，在中即可求出BD的长度；
（2）注意到这里有两个80°角，不难发现，只要连接BE就能将BD放入直角三角形中，又过点E作EP⊥AC，易知为等腰直角三角形，且直角边为180cm，则斜边BE可求，最后在中可求出BD的长度。
1 / 1【单元学习指导与练习】知识巩固 第15讲 锐角三角函数与解直角三角形（同步练习）
一、A组
1． 在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，则（　　)
A．c=b·sin B．B. b=c·sinB
C．a=b ·tanB D．b=c·tanB
【答案】B
【知识点】正弦的概念；正切的概念
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如下
由正弦定义可知
∴
由正切定义可知
∴
A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】本题考查锐角三角函数的恒等变形，只要牢记基本公式，就可以找到正确答案。
2． 如图所示，在正方形网格中，∠1，∠2，∠3的大小关系为 （　　)
A．∠1=∠2=∠3 B．∠1<∠2<∠3
C．∠1=∠2>∠3 D．∠1<∠2=∠3
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：作辅助线如图
易知
A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】本题巧用正方形网格找平行线，再利用平行线的性质可以找到相等的角，并且比较出相关角的大小关系，又快又准确。
3． 在△ABC 中， 且△ABC 的周长为36，则此三角形的面积为 （　　)
A．12 B．24 C．48 D．96
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：依题意画图如下
∵
∴设AD=3x，AB=5x
在中，由勾股定理可求BD=4x
∵AB=AC，
∴BC=2BD=8x
∵的周长为36
∴5x+5x+8x=36
解得x=2
∴BC=8x=16，AD=3x=6
∴
故答案为：C.
【分析】本题根据三角函数按比设参，再利用勾股定理求出第三边，结合等腰三角形的性质表示出其三边长度，然后利用周长为36求出x的值，从而可以求出底和高，面积就迎刃而解了。
4． 如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D 处，使∠D=30°，则CD 的长度约为（参考数据： （　　)
A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在中，（米）
在中，（米）
∴CD=AD-AC=3.66（米）
故答案为D：.
【分析】这是一道解直角三角形常规题型，先求AD，再求AC，两者相减即为CD，要注意计算的准确性。
5．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB 的值是　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
6．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图所示，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，∠ABF>∠BAF，连结BE.设∠BAF=α，∠BEF=β，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1： n，tanα=tan2β，则n=　 　.
【答案】3
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；正切的概念；数形结合
【解析】【解答】解：设AE=a，DE=b，则BF=a，AF=b，则，。
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵
∴n=3
故答案为：3.
【分析】本题有一定难度，需要充分挖掘两个正方形面积之比和两个锐角三角函数之间的关系，利用锐角三角函数进行代换。
7． 如图甲所示为一台手机支架，图乙是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点A，B 转动，已知 BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC 转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，点C 到AE 的距离为　 　 cm.（结果保留一位小数，参考数据：
【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：延长BC交AE于点D，过点B作于点F，过点C作于点G。
易求
在中，
在中，
∴
在中，
故答案为：6.3.
【分析】根据题意先作出必要的辅助线，将已知的角度放入三角形中，再灵活利用解直接三角形的知识，先在中求出BF的长度，然后转入右边的中，求出BD 长度，于是可求CD长，最后转入中，求出CG的长度即为所求。
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中“方田”章给出计算弧田面积所用公式如下：弧田面积 （弦×矢+矢2)，弧田（如图所示)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，那么cos∠OAB 的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；余弦的概念
9． 如图所示，在△ABC 中，CD 是边AB 上的中线，∠B 是锐角，
（1）求∠B 的度数和AB 的长.
（2）求 tan∠CDB 的值.
【答案】（1）解：∠B=45°，AB=3
（2）解：tan∠CDB=2
【知识点】等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（1）过点C作于点E。
∵，且是锐角
∴
∴是等腰直角三角形
即CE=BE
在中，设CE=x，AE=2x，由勾股定理得
解得
∴CE=1，AE=2
∴AB=AE+BE=2+1=3
（2）∵点D是AB中点
∴BD=
DE=BD-BE=
∴
【分析】（1）已知一个锐角的正弦值，反推这个锐角度数是必须掌握的技能，需熟记特殊角的各类锐角三角函数值，才能顺利解决问题。
（2）本题考查解直角三角形的综合运用，既有由线段求角的锐角三角函数的问题，又有由某个锐角的三角函数求这个角的问题，解题中需要抓住CE的特殊身份，灵活在多个三角形中发挥作用，才能达到求解的目的。
二、B组
10． 在平面直角坐标系中，A（2，0)，B（4，4)，连结OB，AB，则 =　 　若点C 在y轴上，作点C 关于直线OB，AB 的对称点D，E，则DE 的最小值为　 　.
【答案】；
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，作轴，.
∵
∴
又
∴AG=OG=
∴BG=OB-OG=
在中，；
如图2，设。
∴点C关于直线OB的对称点为
∵，
∴直线AB为y=2x-4
∵
∴直线CE为
∵，
∴
∴
又∵
∴O关于直线AB的对称点
∴直线EF为
又直线CE为
∴
∴
∴当c=4时，DE取最小值为。
故答案为：；.
【分析】本题第一空属于基础题，直接构造直角三角形即可求出；第二空难度较大，不仅需要熟练掌握互相垂直的两条直线的比例系数乘积等于-1，还要利用到全等三角形的知识灵活转换点的坐标，以及含参直线解析式的运算都是解题关键。
11． 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B，连结AC，OC.若 则 tan∠BOC=　 　.
【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：在中，
∴设BC=x，AC=3x
由勾股定理得
∴
在中， tan∠BOC=
故答案为：.
【分析】本题利用BC作为桥梁，在两个直角三角形中自由代换，同时按比设参，用参数表示出相关线段的长度，最后求比值时刚好消去参数得到答案。
12．某款折叠型的电脑支架由底座AB、电脑承载面CD 和长短两根转轴EB，EF 组成，在B，E，F 处安装有轴承，转轴BE，EF 可以自由转动， BE=2EF=20cm.某次展开后其侧面如图所示，此时 54°，∠BEF=120°；
（参考数据： 1.3764，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452)
（1）求∠CFE 的度数.
（2）求电脑承载面CD 与底座AB 之间的距离.（结果精确到0.1cm).
（3）求轴承B，F之间的距离.
【答案】（1）解：过点E作。
∵
∴
∵
∴
易证
∴；
（2）解：如图甲，过点E作MN⊥AB，交AB，CD于点M，N
∵CD∥AB，
∴MN⊥CD.
∵∠BEF=120°，∠ABE=54°，
∴∠NEF+120°=90°+54°.
∴∠NEF=90°+54°-120°=24°.
∴EM=EB·sin54°≈20×0.8090≈16.18.
∴EN=EF·cos24°≈10×0.9135≈9.135.
∴MN=16.18+9.135=25.315≈25.3
（3）解：如图乙，过点F作BE的垂线，交BE的延长线于点H，连结FB.
∵∠BEF=120°，
∴∠FEH=60°.
∴FH=10×=5.
【知识点】平行线之间的距离；解直角三角形—构造直角三角形；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）平行线之间的拐点问题是常见的典型题，其固定方法都是过拐点作平行线，利用平行的传递性解决问题；
（2）平行线AB、CD之间的距离就等于过点E且垂直于平行线的线段MN的长度，分别在与中求出EN、EM，再相加即可；
（3）由于要求B、F之间的距离，故必须连接这两点，注意到∠BEF=120°，所以应该想到延长BE，过点F作于点H，接下来就利用特殊角的三角函数在与中转换求解。
13．课题小组学习“如何设计遮阳棚”时，计划在移门上方安装一个可伸缩的遮阳棚（如图甲)，其中AC 为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD 为遮阳棚的宽度（可变动)，
小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息：太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角α最小（约 ；夏至日正午的太阳高度角α最大（约 .请你协助该小组，完成以下任务：
（1）【任务1】如图乙，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD 应该不超过多少长度 （结果精确到0.1cm)
（2）【任务 2】如图丙，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端 E 到移门的距离为180cm，桌子高度MN=80cm.若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD 应该多长 （结果精确到0.1cm.参考数据： 0. ≈
【答案】（1）解：过点B作BH⊥AD
∠α=35°，∴∠BAH=55°，∵AB=50cm，∴BH=AB·sin55°=50×0.82=41.∵∠ABD=80°，∴∠BDH=45°，∴BD=BH=41×1.41°≈57.8cm.∴在冬至日正午时，BD应该不超过57.8cm
（2）解：过点E作EP⊥AC，连结BE
∵PE=180cm，PC=MN=80cm，∴PB=180cm，∴∠PBE=∠PEB=45°，∵∠α=80°，∠ABD=80°，∴∠BDE=90°，∴BE=PE≈253.8cm，BD=BE·sin55°≈208.1cm.∴在夏至日正午时，BD应该长约208.1cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）要求冬至日这天遮阳棚BD的长度，就要想办法将它放入直角三角形中，故过点B作BH⊥AD，利用图中角之间的关系，在中即可求出BD的长度；
（2）注意到这里有两个80°角，不难发现，只要连接BE就能将BD放入直角三角形中，又过点E作EP⊥AC，易知为等腰直角三角形，且直角边为180cm，则斜边BE可求，最后在中可求出BD的长度。
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