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(共47张PPT)
向量的数量积
(基本概念课——逐点理清式教学)
5.1.1
课时目标
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.　
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　向量的数量积
逐点清(二)　投影向量与投影数量
逐点清(三)　数量积的运算性质
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　向量的数量积
01
1.定义
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,向量a与b的夹角∠AOB记为或θ(0°≤θ≤180°). 称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos= .
2.规定
规定零向量与任一向量的数量积为 .
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
多维理解
3.数量积与夹角的关系
当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;
当90°<≤180°时,a·b<0;当=0°时,a·b=|a||b|;
当=180°时,a·b=-|a||b|.
|微|点|助|解|
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或a b.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于(　 )
A.3 B.-3
C.-3 D.3
解析:由平面向量数量积的定义可得
a·b=|a||b|cos 120°=×2×=-3.
√
微点练明
2.在等腰△ABC中,∠C=120°,AC=4,则·=(　 )
A.8 B.-12
C.16 D.-24
解析:由条件可知AC=CB=4,·=-·=-||||cos 120°=
-4×4×=8.
√
3.若a与b满足|a|=|b|=1,=60°,则a·a+a·b等于 (　 )
A.
C.1+ D.2
解析:由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=,故选B.
√
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a=(　 )
A.3 B.-3
C. D.-
解析:在等边三角形ABC中,有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120°+
1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D.
√
5.如图,已知A,B是圆C上两点,若||=4,则·=(　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:在圆C中,取AB的中点D,连接CD,
如图,则有CD⊥AB,而||=4,所以=||||cos∠CAD=
||||=||2=8.故选D.
√
逐点清(二)　
投影向量与投影数量
02
1.投影向量与投影数量
如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A',得到向量γ=,γ称为a在b上的 .
|a|cos称为投影向量γ的数量,也称
为向量a在向量b方向上的 ,
可以表示为 .
投影向量
投影数量
多维理解
2.数量积的几何意义
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量 的乘积(如图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量 的乘积.
|a|cos θ
|b|cos θ
|微|点|助|解|
(1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影数量的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影数量的乘积.其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量是不同的.
(2)b在a方向上的投影数量为|b|·cos θ(θ是a与b的夹角),也可以成 .
(3)投影数量是一个数量,其值可为正,可为负,也可为零,而投影向量是向量.
(4)在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影数量为(　 )
A.1 B.
C.
解析:由题意,a在b上的投影数量为|a|cos=1×=.
√
微点练明
2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= (　 )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
解析:a·b=|b|·|a|cos=|b|·|2e|=2×2=4.故选C.
√
3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为(　 )
A.-
C.-
解析:取AB中点D,连接OD,因为O为正三角形ABC
的中心,所以OD⊥AB,则向量在向量上的
投影向量为=-,故选C.
√
4.已知△ABC的外接圆圆心为O,且+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为(　 )
A.
C.- D.-
√
解析:已知+=2,故点O为BC中点.又因为点O为△ABC的外接圆圆心,所以△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.由于||=||,易知△ABO为等边三角形,如图,过点A作BC的垂线,垂足为D,设AB=BO=BC=m,则BD=.因此向量在向量上的投影向量为=.故选A.
5.已知|a|=2,a与b的夹角为,e是与b同向的单位向量,则a在b方向上的投影向量为　　　　.
解析:a在b方向上的投影向量为|a|cos ·e=2cos·e=-e.
-e
逐点清(三)　数量积的运算性质
03
1.平面向量数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b= ;
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)= ;
(3)关于加法的分配律:(a+b) ·c= .
b·a
(λa) ·b = a· (λb)
a·c + b·c
多维理解
2.平面向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量,则a·e=e·a= ;
(2)若a,b是非零向量,则a·b=0 ;
(3)a·a=|a|2,即|a|= ;
(4)cos= ;
(5)|a·b|≤ ,当且仅当a∥b时等号成立.
|a|cos< a,e>
a⊥b
(|a||b|≠0)
|a||b|
|微|点|助|解|
(1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.
(2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)
表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　 )
A.0·a=0 B.(a·b) ·c=a·(b·c)
C.a·b=0 a⊥b D.(a+b) ·(a-b)=|a|2-|b|2
解析:0·a=0,A错误; (a·b) ·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,但a与c不一定共线,B错误;a·b=0 a⊥b,C正确;
(a+b) ·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,D正确.故选A、B.
√
√
微点练明
2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b) ·(b-2a)=(　 )
A.-36 B.-12
C.6 D.36
解析: (a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=
3×4×1×-1-2×16=-36.故选A.
√
3.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影数量为 (　 )
A. B.2
C. D.3
解析:投影数量为===.
√
4.若单位向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=-,则|a-b|等于(　 )
A.1 B.
C.
解析:因为a,b为单位向量,所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=
-a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|===,故选C.
√
5.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且a⊥(a-b),则a与b的夹角为(　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
解析:因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-|a||b|cos=0,
解得cos=.又因为0°≤≤180°,所以a与b的夹角为30°,
故选A.
√
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
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2
1.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c= (　 )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
解析:b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A.
√
1
5
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14
2
3
4
2.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　 )
A.
C.
解析:设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],因为cos θ= ==-,
所以θ=.
√
1
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3
4
2
3.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影数量为 (　 )
A.2 B.
C.2 D.4
解析:因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos30°×=4××=b,所以a在b的方向上的投影数量为|b|=2,故选C.
√
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2
4.对于非零向量a与b,下列不等式恒成立的是 (　 )
A.a·b≥|a|·|b| B.a·b≤|a|·|b|
C.a·b>|a|·|b| D.a·b<|a|·|b|
解析:设非零向量a与b的夹角为θ,则θ∈[0,π],cos θ∈[-1,1],
则a·b=|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|,故选B.
√
1
5
6
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8
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3
4
2
5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= (　 )
A.
C.-
解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,则c2=(-a-b)2=a2+2a·b+b2,
即4+2|a||b|·cos+9=16,从而12cos=3,解得cos=.
√
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3
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2
6.在四边形ABCD中,=,且(+)·(-)=0,那么四边形ABCD为(　 )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
解析:由=,可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)·(-)=0,得-=0,即=,所以||=||.所以四边形ABCD为菱形.故选C.
√
1
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3
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2
7.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|= (　 )
A.5 B.13
C.3
解析:选D　|3a-4b|=
=
==,故选D.
√
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3
4
2
8.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)= (　 )
A.4 B.3
C.2 D.0
解析:∵a∥b,a⊥c,∴b⊥c,
∴a·c=0,b·c=0,
∴c·(a+2b)=a·c+2b·c=0+0=0.
√
1
5
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4
2
9.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m与n的夹角为θ,若cos θ=,
n⊥(t m+n),则实数t的值为(　 )
A.4 B.-4
C. D.-
解析:由题意知,cos θ===,所以m·n=|n|2=n2,因为
n·(t m+n)=0,所以t m·n+n2=0,即t n2+n2=0,所以t=-4.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的 (　 )
A.充分不必要条件 　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件 　　　　D.既不充分也不必要条件
解析:若平面向量a,b平行,则向量a,b方向相同或相反,所以a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|;若a·b=|a||b|,则cos=1,即向量a,b方向相同,以及向量a,b平行.综上,“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的必要不充分条件.故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
1
5
6
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9
10
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12
13
14
3
4
2
12.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影向量为　　　　.
解析:因为a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,
所以(2a-b)·a=2|a|2-a·b=2×22-2×6×=2.所以2a-b在a方向上的投影向量为=a.
a
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足=2,
则· (+)=　　　　.
解析:因为M是BC的中点,=2,AM=1,所以·(+)=·2=·===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2.
(1)求|a|;
解:由题意知,e1·e2=1×1×cos=.因为a=3e1+4e2,
所以|a|===
=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.
解:因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2,
所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ.
因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0,
解得λ=-.5.1.1　向量的数量积(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)
[课时目标]
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面
向量的数量积.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.　
逐点清(一)　向量的数量积
[多维理解]
1.定义
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,向量a与b的夹角∠AOB记为或θ(0°≤θ≤180°).　　　　　　称为a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos=　　　　　　.
2.规定
规定零向量与任一向量的数量积为　　　　.
3.数量积与夹角的关系
当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;当90°<≤180°时,a·b<0;当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|.
|微|点|助|解|
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
[微点练明]
1.已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角是120°,则a·b等于 (　 )
A.3 B.-3 C.-3 D.3
2.在等腰△ABC中,∠C=120°,AC=4,则·= (　 )
A.8 B.-12
C.16 D.-24
3.若a与b满足|a|=|b|=1,=60°,则a·a+a·b等于 (　 )
A.
C.1+ D.2
4.已知等边三角形ABC的边长为1,设=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a= (　 )
A.3 B.-3
C. D.-
5.如图,已知A,B是圆C上两点,若||=4,则·= (　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
逐点清(二)　投影向量与投影数量
[多维理解]
1.投影向量与投影数量
如图,已知两个非零向量a和b,作=a,=b,过点A向直线OB作垂线,垂足为A',得到向量γ=,γ称为a在b上的　　　　　　.
|a|cos称为投影向量γ的数量,也称为向量a在向量b方向上的　　　　　　,可以表示为　　　　.
2.数量积的几何意义
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量　　　　的乘积(如图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量　　　　的乘积.
|微|点|助|解|
(1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影数量的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影数量的乘积.其中a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数量是不同的.
(2)b在a方向上的投影数量为|b|·cos θ(θ是a与b的夹角),也可以写成.
(3)投影数量是一个数量,其值可为正,可为负,也可为零,而投影向量是向量.
(4)在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
[微点练明]
1.已知|a|=1,|b|=2,其中a,b的夹角为,则a在b上的投影数量为 (　 )
A.1 B.
C.
2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量,且|b|=2,若a在b方向上的投影向量为2e,则a·b= (　 )
A.2 B.-2
C.4 D.-4
3.已知O为正三角形ABC的中心,则向量在向量上的投影向量为 (　 )
A.-
C.-
4.已知△ABC的外接圆圆心为O,且+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为 (　 )
A.
C.- D.-
5.已知|a|=2,a与b的夹角为,e是与b同向的单位向量,则a在b方向上的投影向量为　　　　.
逐点清(三)　数量积的运算性质
[多维理解]
1.平面向量数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=　　　　;
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=　　　　　　　　　　　　　　;
(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=　　　　　　　　　　　　.
2.平面向量的数量积的性质
(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=　　　　　　　　　　　　;
(2)若a,b是非零向量,则a·b=0 　　　　;
(3)a·a=|a|2,即|a|=　　　　;
(4)cos=　　　　　　　　　　;
(5)|a·b|≤　　　　,当且仅当a∥b时等号成立.
|微|点|助|解|
(1)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.
(2)对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
[微点练明]
1.(多选)设a,b,c是任意的非零向量,则下列结论不正确的是 (　 )
A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·b=0 a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2
2.已知向量a,b夹角的余弦值为-,且|a|=4,|b|=1,则(a-b)·(b-2a)= (　 )
A.-36 B.-12
C.6 D.36
3.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=5,则2a-b在a方向上的投影数量为 (　 )
A. B.2
C. D.3
4.若单位向量a,b满足(a-2b)·(a+b)=-,则|a-b|等于 (　 )
A.1 B.
C.
5.已知向量a,b满足|a|=,|b|=2,且a⊥(a-b),则a与b的夹角为 (　 )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
5.1.1
[逐点清(一)]
[多维理解]　1.|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　2.0
[微点练明]　1.B　2.A　3.B　4.D　5.D
[逐点清(二)]
[多维理解]　1.投影向量　投影数量　
a·　2.|a|cos θ　|b|cos θ
[微点练明]　1.D　2.C　3.C　4.A　5.-e
[逐点清(三)]
[多维理解]　1.(1)b·a　(2)(λa)·b=a·(λb)　(3)a·c+b·c　2.(1)|a|cos　(2)a⊥b　(3)　(4)(|a||b|≠0)　(5)|a||b|
[微点练明]　1.AB　2.A　3.A　4.C　5.A
5 / 5课时跟踪检测(二十五)　向量的数量积
(满分80分,选填小题每题5分)
1.已知a,b是互相垂直的单位向量,若c=a-2b,则b·c= (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.2
2.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 (　　)
A.
C.
3.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b的方向上的投影数量为 (　　)
A.2 B.
C.2 D.4
4.对于非零向量a与b,下列不等式恒成立的是 (　　)
A.a·b≥|a|·|b| B.a·b≤|a|·|b|
C.a·b>|a|·|b| D.a·b<|a|·|b|
5.已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos= (　　)
A.
C.-
6.在四边形ABCD中,=,且(+)·(-)=0,那么四边形ABCD为 (　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
7.已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为60°,则|3a-4b|= (　　)
A.5 B.13
C.3
8.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a+2b)= (　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
9.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,设m与n的夹角为θ,若cos θ=,n⊥(t m+n),则实数t的值为 (　　)
A.4 B.-4
C. D.-
10.“平面向量a,b平行”是“平面向量a,b满足a·b=|a||b|”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是　　　　.
12.已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=6,则2a-b在a方向上的投影向量为　　　　.
13.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足=2,则·(+)=　　　　.
14.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2.
(1)求|a|;
(2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.
课时跟踪检测(二十五)
1.A　2.B　3.C　4.B　5.D　6.C　7.D　8.D　9.B　10.B　11.　12.a　13.
14.解:(1)由题意知,e1·e2=1×1×cos=.因为a=3e1+4e2,
所以|a|=
=
==.
(2)因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2,
所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ.
因为a⊥(a+b),
所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0,解得λ=-.
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