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2024-2025学年江西省多校联考高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，满足，，在方向上的投影向量为，则，的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线与平面相交于点，点在直线上，，是平面内的任意两点，，，，不重合，且，，三点不共线，下列说法正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 平面内一定存在直线平行于平面
C. 平面内一定存在直线垂直于平面
D. 若平面垂直于平面和平面，则
10.平行四边形中，，，，点在对角线上，其中的重心为，外心为，垂心为，则下列结论正确的是( )
A. 若且，则
B.
C.
D. 与共线
11.如图，在正方体中，，，为棱的中点，以下结论正确的是( )
A. 当时，面积的最小值为
B. 当时，直线与平面所成的角为
C. 二面角的平面角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为虚数单位，则的虚部为______．
13.已知，则______．
14.在直角三角形中，，为斜边上的动点，沿向上翻折得到三棱锥，使得平面平面，则该三棱锥体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为．
求角；
求的周长．
16.本小题分
已知向量，，，．
若，求实数的值；
若与共线，求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，点在线段上，平面，，是的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知函数图象相邻的两个最高点和一个最低点恰好能构成一个边长为的等边三角形，且直线是图象的一条对称轴．
求的解析式．
设，的值域为．
求；
对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，已知等边三角形的边长为，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，得到如图所示的四棱锥．
证明：．
在棱上是否存在点满足平面？若存在，求出的值；若不存在，请说出理由．
已知二面角的大小是，点在四边形内包括边界，且，当直线与直线的夹角的余弦值最大时，求的值．
参考答案
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14.
15.由的面积，
可得，解得，结合，可得；
因为，，，
由余弦定理得，解得，
所以的周长．
16.由可得，
因为，且，，
所以，
解得．
因为与共线，
所以可设，
即，
则有，
解得，
故．
由，
可得，
又，
而，
故．
17.证明：因为平面，所以．
又，所以是的中点，
所以，．
取的中点，连接，，
可知，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，从而．
因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
又，，
所以三棱锥的体积为．
18.如图，是边长为的等边三角形，它的高为，
即，得．
因为，
所以的最小正周期，
即，解得，
又直线是图象的一条对称轴，
所以，，
解得，，
因为，
所以，
所以；
当时，，
；
所以，
故；
由知的最大值为，
所以不等式转化为，
即存在，使得不等式成立．
令，．
因为抛物线的对称轴方程为，开口向上，
所以，
所以，解得，
即实数的取值范围为．
19.证明：在中，，，
由余弦定理求得．
因为，所以．
由题中图可知，，，
，，平面
所以平面，
因为平面，
所以．
假设在棱上存在点满足平面，如图，
过点作，交于点，连接．
因为，所以平面，
又因为平面，，，平面，
所以平面平面．
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以．
又因为，
所以，从而．
由可知，，
所以二面角的平面角为，则．
如图，过点作，垂足为，求得．
由可知平面，所以平面平面，
又平面平面，所以平面．
因为，可得，所以点在以为圆心，为半径的圆上．
直线与平面所成的角为，
直线与直线所成的角最小为，
此时，，，，
在中，由余弦定理求得．
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