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2024-2025学年吉林省通化市、吉林市八校联考高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.用，，，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
3.下列哪组中的两个函数是同一函数( )
A. B.
C. ， D. ，
4.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减的概率为，且随机变量，则附：若，则，，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 常数项为 B. 含的项的系数为
C. 所有的二项式系数之和为 D. 所有项的系数之和为
10.若为非零常数，函数的定义域为，则下列说法正确的是( )
A. 若是奇函数，则
B. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称
C. 若，则函数的图象关于直线对称
D. 若，则函数的图象关于点对称
11.一个盒子中装有个黑球和个白球，现从中先后无放回地取个球记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了比较、、、四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了、、、四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据．
13.已知函数的定义域为，满足，，当时，，则 ______．
14.若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
企业为了更加了解某设备的维修成本，统计此设备的使用年限单位：年和所支出的维修费用单位：万元的有关资料如下表所示：
使用年限年
维修费用万元
求线性回归方程的系数，；
估计当使用年限为年时，维修费用是多少．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
16.本小题分
月日，在十四届全国人大三次会议举行的记者会上，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，体重管理年实施的首期三年体重管理行动，目的是“在全社会形成重视体重、管好体重，健康饮食、积极参与运动锻炼等良好的生活方式和习惯”由于肥胖对人体健康的危害，某健康咨询机构为了了解居民是否有减肥的
想法，随机调查了名居民，得到如下列联表：
有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民
女性居民
合计
求的值，并完成上述列联表；
根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与是否有减肥的想法有关？
以样本估计总体，且以频率估计概率，若从男性居民中随机抽取人，记其中“有减肥想法”的人数为，求的期望值．
附：，其中．
17.本小题分
某种资格证考试，每位考生一年内最多有次考试机会一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完次机会李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为，，，且每次考试是否通过相互独立，试求：
李明在一年内参加考试次数的分布列；
李明在一年内领到资格证书的概率．
18.本小题分
已知函数，．
判断函数的奇偶性；
判断并证明函数在区间上的单调性；
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知函数．
若，求证：在上单调递减；
若在上恒成立，求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由表中数据可得，，，
由最小二乘法公式可得，，．
回归直线方程为，
当时，，
故估计当使用年为年时，维修用是万元．
16.列联表中部分数据补充如下：
有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民
女性居民
合计
由上知，有，解得，
完成列联表如下：
有减肥的想法 没有减肥的想法 合计
男性居民
女性居民
合计
零假设：性别与是否有减肥的想法无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为性别与是否有减肥的想法有关；
由表格中的数据知，从男性居民中抽取人，其“有减肥想法”的概率为，
则，，，，，，
所以．
17.解：的取值分别为，，．
，
，
．
李明参加考试次数的分布列为：
李明在一年内领到资格证书的概率为：
．
18.解：依题意，函数的定义域关于原点对称，
又，
是定义在上的奇函数．
在上单调递增，理由如下：
任取，，且，
，且，，
则，
，，
在上单调递增．
由知，在上单调递增，
由可得，，解得：
故不等式的解集为．
19.解：证明：由，那么函数，
因此导函数，令函数，
那么导函数，令，则，
因此，导函数，在单调递减，
，导函数，在单调递增，
因此导函数，
那么函数在单调递减；
根据在恒成立，
那么在恒成立，
令函数在恒成立，
导函数，令函数，
当时，函数，，，因此
因此导函数，那么函数在单调递减，
因此，这与在恒成立矛盾，因此不满足条件，
当时，函数，对称轴，
如果根的判别式，即，
当时，，根的判别式，函数，
因此导函数，那么函数在单调递增，
因此，因此．
如果根的判别式，即，
当时，函数，那么
因此当时，，函数在单调递增，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
因此与在恒成立矛盾，
所以．
证明：时，
故时，，
令，则，，，，，
则个不等式相加
故．
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