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2024-2025学年江西省九师联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量服从两点分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.若函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数的定义域为，当且，时，恒成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列四个命题，其中是真命题的有( )
A. 若点，，，共面，则存在实数，，使得
B. 若分别为平面，的法向量，且，则
C. 若分别为平面，的法向量，且，则
D. 若，，，，则直线，所成的角为
10.下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，，则( )
A. 函数的一个周期为
B. 函数是偶函数
C.
D. 不存在，使得在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
13.某市名学生的联考数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是______参考数据：若，则，
14.一个盒子中有个球，分别标记为号，若每次取个，有放回地取次，记至少取出次的球的个数为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某饮品店统计了一天营业时间单位：小时与饮品销量单位：杯的数据如表：
营业时间
饮品销量
已知与线性相关．
根据以上数据求饮品销量关于营业时间的回归直线方程；
若平均一杯饮品的纯利润为元，某日该饮品店计划早上点开始营业，晚上点结束营业，中间不休息，试预测当日饮品的总利润能否超过元？
参考公式：回归直线方程中，．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，是线段上一点，且．
求证：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，．
求函数与的解析式；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛每局比赛必须决出胜负，规则如下：前天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得分，失败得分；积分赛在后天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得分，次局获胜得分，失败得分小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立．
已知趣味赛两天积分不为的参赛选手可获得精美礼品一份，．
求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率；
在小张获得精美礼品的条件下，求小张天趣味赛仅积分的概率；
设小张在后天的积分赛中，恰有天每天积分不低于分的概率为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
若从到的平均变化率为，，求方程在上的解；
求证：对任意实数，，；
若对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题设，，，
，，
所以，则，
所以回归直线方程为；
由题意，当营业时间时，杯，
所以利润为，故当日饮品的总利润能超过元．
16.证明：在上取点，使得，得，
因为，
所以，因为，所以，
又因为，，所以，，
可得四边形为平行四边形，，
又因为平面，平面，
所以平面；
因为底面，，以为原点，
，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，
，
设为平面的一个法向量，
则，则，
令，则，，所以，
设为平面的一个法向量，
则，则，
令，则，，所以，
可得．
可得平面与平面所成角的余弦值为．
17.因为，是奇函数，是偶函数，
所以，，
则，
可得，
联立方程，
解得，．
因为，即，
又因为，
令，则，
可得，
整理可得，
原题意等价于在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以实数的取值范围为．
18.设第天积分为为事件，第天积分为为事件，
第天积分为为事件，第天积分为为事件，
根据题意可知，，
设小张在趣味赛中获得精美礼品为事件，
则小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为；
设事件为小张天趣味赛仅积分，
则，
从而在小张获得精美礼品的条件下，小张天趣味赛仅积分的概率为：
；
设小张每天积分不低于分为事件，
则，从而，
则，，
，
令，
则在上单调递增，在上单调递减，
从而．
19.根据题设导函数，
，
因此函数，令函数，且，解得；
证明：设，那么，即，
因此，，
令函数，，
因此导函数，当且仅当，时等号成立，即函数在上单调递减，
导函数，当且仅当，时等号成立，即函数在上单调递增，
综上所述，，，得证，
因此对任意实数，，；
根据题设对恒成立，
令，，
当函数时，那么，而，那么在上存在，不符；
当时，令函数，那么导函数，
显然导函数在上单调递减，且，
使，
因此时，导函数，时，导函数，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
又，故，所以，
故在上单调递增，则，满足题设，
综上，．
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