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2024-2025学年贵州省毕节市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.下列四组函数中，表示同一个函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.若，是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.从名男生和名女生中选出人去参加某项活动，如果男生中的甲和女生中的乙至少有人参加，则不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，，的中点，下列说法不正确的是( )
A. 与是异面直线
B. 平面
C.
D.
7.已知抛物线：的焦点为，为上的一点，过作的准线的垂线，垂足为，，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. D.
8.已知函数的一个极值点为，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 是函数的极小值点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数据，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 这组数据的平均数是 B. 这组数据的方差是
C. 这组数据的极差是 D. 这组数据的第百分位数是
10.的三边分别为，，，且，，则( )
A. 的外接圆的半径为 B. 若，则
C. 若，则有两解 D. 周长的最大值为
11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A. 当时，
B.
C. 若方程有四个解，则的取值范围是
D. 是的极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式的第项的二项式系数是______．
13.已知，是函数的两个零点，则 ______．
14.已知为双曲线：的右焦点，为的左顶点，为上的点，且垂直于轴．若直线的斜率为，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，．
若，求函数的最小值；
若，讨论函数的单调性．
17.本小题分
如图，四边形中，，，为的中点，在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面．
证明：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是．
求动点的轨迹方程；
动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值．
19.本小题分
在科技飞速发展的今天，人工智能已经成为推动人类社会进步的重要力量某工具提供聊天机器人、写作助手以及学习助手等功能，它可以回答各种问题并进行对话，帮助人们获取信息为了解性别因素是否对该工具提问的经常性有影响，随机调查了人，得到如下列联表：
单位：人
性别 提问情况 合计
经常提问 不经常提问
女性
男性
合计
请补全列联表，依据小概率值的独立性检验，说明女性和男性在对该工具提问的经常性方面是否存在差异？
已知该工具对某个问题能准确答对其中的，且个若从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率最大，求此时的取值．
附：，其中．
参考答案
1.
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4.
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10.
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13.
14.
15.等差数列的前项和为，设公差为，
由，，可得，
解得，
则，．
，
则，
，
得，
所以，．
16.，，
．
，
令得，
即当时，，当时，，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
；
，
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，若，则，函数在区间上单调递增，
若，则，函数在区间上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
17.证明：取的中点，连接，，
由题意得，．
四边形为平行四边形，
，．
又，，
，，
四边形为平行四边形，
．
又平面，平面，
平面；
，，四边形为矩形．
又平面平面，，，．
则以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为．
则，则，即，
令，可得，
设求与平面所成角为，
所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
18.因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是，
所以，
此时，
整理得，
所以动点的轨迹方程为；
设，，
所以，直线的方程为，
设与直线平行的直线的方程为，
联立，消去并整理得，
令，
解得，
当时，直线的方程为，
此时直线与直线间的距离为；
当时，直线的方程为，
此时直线与直线间的距离为，
因为．
所以的面积的最大值．
19.补全后的列联表如下：
性别 提问情况 合计
经常提问 不经常提问
女性
男性
合计
零假设：女性和男性在对该工具提问的经常性方面无差异，
因为，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为女性和男性在对该工具提问的经常性方面无差异；
从这个问题中随机抽取个对该工具提问，恰好答对个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，
所以所求．
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