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2024-2025学年陕西省渭南高级中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.设，是直线上两点，则“，到平面的距离相等”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D. ．
5.三棱锥，侧棱平面，底面是一个边长为的正三角形，二面角为，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知直线，是两条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，则
7.古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律图正八边形是由图八卦模型图抽象并以正八边形的中心为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A. 当时，
B. 若，则
C. 若，则
D. 若与的夹角为钝角，则
10.下列命题正确的是( )
A. 若复数，则
B. 复数，则是纯虚数
C.
D. 若复数满足，则的最小值为
11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 该直三棱柱的外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的高为，且轴截面为等腰直角三角形，则该圆锥的表面积为______．
13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，若是边上的一点，且，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，．
求；
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．
求；
若，，求的周长．
17.本小题分
如下图，在矩形中，，，为的中点，沿将折起到的位置，使平面平面为线段的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
若，，，求；
设，若对任意的，，都有，求正实数的取值范围．
19.本小题分
如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，分别为，正方向同向的单位向量，若向量，则记向量在的斜坐标系中若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，．
求的对称轴方程．
证明：有且只有一个零点．
判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
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13.
14.
15.根据题意及向量数量积的运算律可知，；
根据向量夹角公式及数量积的运算可知，
与的余弦值为：．
16.解：由正弦定理及，得，
所以，
因为，所以．
因为，所以，
由余弦定理知，，
所以，即，
所以的周长为．
17.证明：取的中点，连接，，
则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，而平面，
所以平面；
由为线段的中点，为线段的中点，
则，
又平面，而平面，
所以平面，
又，且，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
根据题意及可知四边形是一个直角梯形，
又，，，
则，，
所以，即，
又平面平面，平面平面，
又平面，则平面，
所以直线与平面所成的角为直线与直线所成的角，
即是直线与平面所成的角，
在中，，，，
则，
所以在中，，
故直线与平面所成角的正切值为．
18.由的部分图象知，，则，
由图知，可得，则，
又，可得，，则，
所以；
由题设，得，
由，则，且，
可得，，
所以；
由题意，，，则，
由，则，故，
由，而，
所以，
当，则，此时恒成立，满足；
当，则，此时，解得，所以，满足；
所以的取值范围是
19.由题意，，
，
由，得，
所以对称轴方程为；
证明：由得，其定义域是，
当时，与均为增函数，
故单调递增，且，
，，则，
所以在上有且只有一个零点，
时，，所以，无零点，
时，，，，无零点，
综上，在上，有且只有一个零点；
由，，
由，又在上单调递减，所以，
所以．
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