资源简介

2024-2025学年安徽省黄山市高二下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则
A. B. C. D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则
A. B. C. D.
4.函数的部分图象可能为
A. B.
C. D.
5.设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第四象限，是的左焦点，则
A. B. C. D.
6.在正方体中，直线与平面所成的角的正弦值为
A. B. C. D.
7.从，，，，中任取个数，使这个数恰好成等比数列的不同取法有 种．
A. B. C. D.
8.甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷次，乙抛掷次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．假设其坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则
A.
B.
C. 如果某天有可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车
D. 如果某天有可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车
10.已知点和点是以原点为圆心，为半径的圆上的两个动点，圆心到直线的距离为，点为直线：上动点，则
A. 面积为定值
B. 以为直径的圆可能与直线相交
C. 当直线与直线平行时，的最大值小于
D. 设直线与两坐标轴分别交于，两点，则的最大值为
11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线：绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的如图阴影区域，，为与其中两条曲线的交点，则下列说法正确的有
A.
B. 直线被第一象限花瓣截得弦长的最大值为
C. 直线被第二象限花瓣截得弦长的最大值为
D. 阴影区域的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中含的项的系数为 ．
13.已知数列满足，，则 ．
14.已知函数的两相邻对称轴之间的距离为，且对任意的，恒成立．若函数，则方程在上的所有实数根之和等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求；
求的单调区间和极值．
16.本小题分
如图，在菱形中，，，点为的中点，将沿直线翻折成，连接、，点为中点．
求证：面；
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知双曲线：的右顶点，且双曲线的一个焦点在抛物线准线上．过双曲线上一点作直线与的两条渐近线分别交于，两点，且．
求双曲线的方程；
求的面积为坐标原点．
18.本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加了跳远比赛，为了鼓励同学们跳出更好的成绩，学校规定在比赛中第一跳成绩在以上含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：：
甲：，，，，，，，，，；
乙：，，，；
丙：，，，，，；
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
设是甲、乙、丙在校运动会跳远比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
在校运动会跳远比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
为了夺得校运动会跳远比赛的冠军，甲进行了刻苦的训练，赛前甲进行了三次试跳，成绩分别为：，，根据试跳结果，能否认为甲通过刻苦训练提升了跳远水平？请说明理由．
参考公式：，
19.本小题分
对于实数，给定实数，若存在一个递增的无穷正整数数列，使得，则称数列是的一个级展开．
若数列是的一个级展开，求；
若，试判断是否存在级展开？若存在，求出数列，若不存在，说明理由；
已知是方程的实根，证明：有且仅有一个级展开．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意：，
所以函数在点处的切线切线斜率，
直线的斜率为，且函数在点处的切线与直线垂直，
所以 ，解得．
由知，因此，
，
令，解得 或 ，
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增，
因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
在处，函数取得极大值，且为；
在处，函数取得极小值，且为．
16.证明：取的中点，连接，，，如图：
在菱形，因为，，
所以为等边三角形，
点为中点，所以，则，
由为的中点，所以，
则，又，平面，
所以，
因为，分别为，中点，则，
又，平面，
所以，
又因为平面，，
所以平面，
又平面，所以 平面．
解：以为原点，，所在直线分别为，轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
已知，，则，，
所以，，，，
，则，
设，，因为点为中点，
则，则，
由，则，解得，
又，，
则
解得，，所以，
则，，
设平面的法向量为，
则
令，得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：由双曲线右顶点，得，
抛物线中，
故，其准线方程为，
因为双曲线的一个焦点在该准线上，
故双曲线的右焦点为，即，
所以，
因此双曲线的方程为；
显然直线不垂直于轴，
设直线方程为，则直线交轴于点
由知，双曲线的渐近线为，
设，
由，消去得，
则 ，
，有 ，
由 ，得为线段中点，点，
而点在双曲线： 上，
所以，整理得，
又 ，
又原点到直线的距离，
所以的面积为．

18.解：甲的次成绩中，大于或等于的有次，故甲获得优秀奖的概率；
乙的次成绩中，大于或等于的有次，故乙获得优秀奖的概率；
丙的次成绩中，大于或等于的有次，故丙获得优秀奖的概率，
的取值可以是，，，，
则；
；
；
，
所以的数学期望为；
甲、乙、丙三人参赛成绩有种，
其中丙获得冠军的情况有种，
乙获得冠军的情况有种，
甲获得冠军的情况有种，
所以乙获得冠军的概率估计值最大；
甲训练前次成绩均值：，训练后三次试跳均值：，训练后均值显著高于训练前，
故可认为甲提升了跳远水平．
19.解：，
所以
假设存在递增正整数数列使得，
由于数列递增，则，，，，，
所以，与矛盾，
故当时不存在这样的展开；
设 ，因为，
所以在上单调递增，
因为 ，，故，且
设递增数列的通项公式为 ，
则，
因为，所以，
所以存在的级展开．
假设存在两个不同的递增正整数列和，均为的 级展开，
若，，故，与和均为矛盾。
若，同理可得，亦矛盾，因此
同理，假设，则剩余和，
需满足后续项指数一致，否则和无法相等，递推归纳可得所有项指数必须一致，即数列唯一，
综上所述，有且仅有一个级展开．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑