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2024-2025学年安徽省黄山市高一下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列各组向量中，可以作为基底的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.某小区随机调查了户居民月均用水量，数据如下单位：吨：，，，，，，，，，估计该小区每户居民月均用水量的样本数据的分位数为
A. B. C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为
A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
5.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则“，与所成的角相等”是“”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知向量，，，满足，且，，，则与夹角的余弦值为
A. B. C. D.
7.黄山市境内风光奇绝，拥有处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于，两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，，两个景点都不选的概率为，则，两个景点都选的概率为
A. B. C. D.
8.一封闭圆锥容器的轴截面是边长为的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图形成“右拖尾”形态，图形成对称形态，图形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的有
A. 图的众数中位数平均数 B. 图的众数平均数中位数
C. 图的平均数中位数众数 D. 图的中位数平均数众数
10.如图，在正四棱柱中，底面正方形边长为，，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有
A. 已知直线为平面和平面的交线，则平面内存在直线与平行
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与平面所成角最大时，
D. 的最小值为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，为角的平分线交于，则
A. B. 的面积为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从，，这三个数中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 ．
13.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，，则侧面与底面所成角的正弦值为 ．
14.已知平面向量，，满足，，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，其中是实数．
若，求的取值范围；
若，求的值．
16.本小题分
为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间单位：分钟的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于分钟的学生称为“运动爱好者”．
试求频率分布直方图中的值和该校学生中“运动爱好者”的人数；
在抽取的名学生中，随机选取了名学生的每天平均运动时间单位：分钟：，，，，，已知这个数的平均数，方差，若剔除其中的和这两个数，求剩余个数的平均数与方差．
17.本小题分
元萝卜下棋机器人是商汤科技于年推出的家庭消费级人工智能产品，该机器人融合了传统象棋文化和人工智能技术，不仅可以陪伴象棋学习，还可以进行象棋对弈．现有三个不同等级的元萝卜机器人，依次简记为甲、乙、丙．
某象棋手依次与甲、乙、丙各比赛一局，各局比赛结果相互独立，已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，求该棋手恰能连胜两局的概率．
现有一象棋初学者与甲进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方先得分为止，先得分的一方赢得比赛，且每局比赛结果相互独立，比赛最多进行局．已知甲在第一局获胜的概率为，从第一局开始，每局结束后甲进行胜率调整如下：若本局获胜，则下一局获胜的概率为，若本局落败，则下一局获胜的概率为，为增长象棋初学者的学习热情，工程师设定甲赢得比赛的概率不超过，求的取值范围．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且
求角；
若，，为线段上一点，且，求线段的长；
法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；许多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的实数，都有当且仅当时等号成立，被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
19.本小题分
如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设，记几何体的体积为．
求证：平面；
若平面平面．
(ⅰ)求证：平面；
(ⅱ)当取得最大值时，求的值．
参考答案
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15.解：因为是实数，所以， ，
因此由得：，解得 或，
所以的取值范围是．
因为是实数，所以．
因为，所以为实数且该实数，
因此，解得．
16.解：在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为，
所以
解得．
“运动爱好者”即每天平均运动时间不低于分钟的学生，
与的频率和为，
该校共有名学生，所以“运动爱好者”的人数为人．
已知个数的平均数，
设剔除和后，剩余个数依次为，
其平均数为，其方差为，
剔除和后，个数的总和为，
则，
由个数的方差，得，
而
，
则．
17.解：棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，各局结果独立，
“恰好连胜两局”包含两种情况：
情况：胜甲、胜乙、负丙，概率为；
情况：负甲、胜乙、胜丙，概率为，
所以该棋手恰 能 连 胜两局的概率为；
甲赢得比赛的情况包括：
获胜：第一局胜且第二局胜，
概率为；
获胜：
第一局胜、第二局败、第三局胜：
概率为：；
第一局败、第二局胜、第三局胜：
概率为，
所以甲赢得比赛的概率为
，所以，
因为，
所以的取值范围为．
18.由，
得 ，
去分母得，
得
而，为三角形内角，所以
所以， 因为三角形内角，故．
由知，
据题意知则，
，得，
，
从而得，
则
，
故．
因，
从而
而由，
得，，，
得，
所以
，
，
当且仅当时取等号，即， 此时，，
故最小值为．
19.解：证明：在梯形中，因为，所以翻折后有，且，
因为平面，平面，故平面，同理可得平面，
因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面．
，，，平面，，
所以平面，平面，
所以，又，
则，
如图，在平面内过作，垂足为，
因平面平面，平面平面，
从而平面，平面，
所以，
，平面，，
所以平面．
(ⅱ)
，，则，
过点作的垂线，分别以，所在直线及直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
所以，
在平面中，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
所以，
因为平面平面，所以，
即，得，
因为，，所以，
则是锐角，当且仅当时，等号成立，
故当取得最大值时，即取得最小值，
连接，则几何体被分割成一个四棱锥和一个三棱锥，
，，，平面，，
平面，平面，平面平面，
从而点的纵坐标大小为四棱锥的高，
又由平面，平面平面，
则长是到平面的距离，也就是三棱锥的一条高，
所以，
由，，，所以，
则．
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