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2024-2025学年甘肃省兰州五十八中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，，
D. ，，，
3.下列三角恒等变换错误的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在中，为线段上的一点，且若，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.已知向量满足：，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面四边形中，，，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
8.已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是( )
A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
10.在中，，，所对的边分别是，，，，，则( )
A. 若，则角有一个解
B. 若，则边上的高为
C. 的周长不可能为
D. 若为锐角三角形，则面积的最值范围为
11.如图，正方体中，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面平行
C. 点与点到平面的距离相等
D. 平面截正方体所得大小两部分的体积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，点，，则向量在方向上的投影为______．
13.如图，平面，点为垂足，平面，，若，，则______．
14.棱长为的正方体中，为棱的中点，过点作平面，使得平面平面，则平面在正方体表面上截得的图形的周长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：．
化简；
若是第二象限角，且，求．
16.本小题分
如图，与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ求二面角的平面角的正弦值．
18.本小题分
设三个内角，，所对的边分别为，，已知，且．
求角的大小；
如图，是延长线上的一点，在的外角内取一点，使得过点分别作直线，的垂线，，垂足分别是，设，求的最大值及此时的取值．
19.本小题分
如图，四边形为菱形，，是边长为的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使，连接，如图，
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：；
因为是第二象限角，
所以，
又因为，
所以，
故
．
16.解：如图示：
作的中点，连接、，
与均为平行四边形，，，分别是，，的中点，
，，且，，
平面平面，
，，且，交于点，，交于点，
故平面平面，
又平面，
平面；
，，且、交于点，、交于点，
平面平面．
17.解：Ⅰ平面平面理由如下：
因为，
所以，，
所以底面分
又在平面内，所以．
又，所以平面分
因为在平面内，所以平面平面分
Ⅱ作，垂足为．
由Ⅰ知平面平面，
则有平面分
作，垂足为，连结，
则为二面角的平面角．分
设，则，，
，，由题意得．
中，，
所以二面角的平面角的正弦值为分
18.解：因为，所以，所以，
因为，又，
所以，即，
所以，所以．
因为，则依题意有，又设，所以，
在中，，在中，，又，
所以，
因为，所以，
所以当时，即时，有最大值．
所以的最大值为，此时．
19.证明：连接，因为是边长为的等边三角形，点为的中点，所以．
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
解：在上取点，使得，设，连接，，，
因为，所以，
在中，，所以，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
因为，所以，
又，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
解：假设线段上存在点，使得平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又，所以，
所以线段上存在点，使得平面，且．
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